5.1.2 导数的概念及其几何意义-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[15] 第五章5.15.1. A组·基础巩固 1.已知函数f(x)=ax2+b的图象在点(1,3)处 的切线斜率为2，则= ( A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)图象如 图所示，则下列不等式正确的是 A.f'(a)<f'(b)<f'(c) B.f'(b)<f'(c)<f'(a) C.f'(a)<f'(c)<f'(b) D.f'(c)<f'(a)<f'(b) 3.若曲线y=f(x)在其上一点(1,3)处的切线过 点(0,2)，则 ( A.f'(1)>0 B.f'(1)=0 C.f'(1)<0 D.f'(1)不存在 4(多选)曲线y是在点P处的切线的倾斜角 为3”则点P的坐标可能为 A.(3,3) B.(-3,-3) C.(9,1) D.(1,9) 5.（多选)已知f(x),g(x)在R上连续且可导， 且'(x。)≠0，下列关于导数与极限的说法中 正确的是 A.lim f-A)-f八o）=f'(） △x B.limf+△h)U-△h2=f'(e) Ab- 2△h C.lim f(x+3△x)-fxo) △x-→0 3△x =f'(xo) 12 2导数的概念及其几何意义 g(x+△x)-g(x)g'(x） D.四6+Ax)-o)f'(o） 6.已知函数y=f(x)=2x2+1在x=xo处的瞬时 变化率为-8，则f(x)= 7.如图，直线1是曲线y=f(x)在x=4处的切 线，则f'(4)= 1'(45∠ =x) 4 8.过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程是 9.已知直线x+y=b是函数f(x)=x+2的图 象在点(1，m)处的切线，则a+b= m= 10.已知曲线C:y=x3. (1)求曲线在点(3,27)处的切线1的方程； 7 (2)求切线1与两坐标轴所围成的三角形的13.点P在曲线y=f(x)=x2+1上，且曲线在点 面积 P处的切线与曲线y=-2x2-1相切，求点P 的坐标 B组·综合运用 11.如图，曲线y=f(x)在点P(1, f(1))处的切线1过点(2,0)，且 f'(1)=-2,则f(1)=( ）012x A.-1 B.1 C.2 D.3 12.（多选)设P为曲线C:y=f(x)=x2+2x+3 C组·拓展提升 上的点，且曲线C在点P处切线的倾斜角14.（多选）已知函数()=x+,若曲线y= α∈[牙，)，则点P的横坐标的取值可能为 f(x)存在两条过点(1,0)的切线，则a的值可 以是 () A C.- A.-4B.-2 C.0 D.2 B.-1 一122则=四8 =m3+Ax)2+4-(3+4 △x limx+(Ar) △x =lim(6+△x）=6, .抛物线在点(3,13)处的切线方程为y-13=6(x-3), 即6x-y-5=0. 4,c在0到6范周内，甲，乙的平均速度都为：=云放A错 误，B正确：在到4范围内，甲的平均速度为2-·，乙的平 t-to 均速度为二因为，-。>5-，4->0，所以2二> t-to t1-to 之放C正确，D结灵 练案[15] 1.Bf'(1)）=2,又1i1+A=f1=1ima1+A)-a △x △x lim(aAx+2a)=2a,.2a=2,a=1.又f(1)=a+b=3, 4b=2,6=2. 2.A如图，分别作曲线在x=a,x=b,x=c三处的切线l1,b2,3, 设切线的斜率分别为k1,k2,k3,易知k1<k2<k3,又f'(a)= kf'(b)=k2f'(c)=k,所以f'(a)<f'(b)<f'(c.故选A 3.A由题意知切线过点(1,3)，(0,2)，所以切线的斜率为k= f0-号1>0 99 -91 4AB由导数定义得y=四+。三-回【A] =一是，设P66,调由导数的几有意义可得一是=回子 3π =-1,解得x=±3，从而。=±3，即点P的坐标为(3,3)或 （-3,-3). 5BCDm-a)-m+(-A]-】 Δx -△x =f(),放A错误；画u+)t- 2△h +2》-0-f0.B正确：+3》-6 2△h 3△x 18 f(幻)，由导数的定义知C正确：m0+A)-o) g(x0+4x)-g(x) g(x0+△x)-g(x） △x 。+A)-)（放D正确；故选BCD i Ar 69由题知-8=是- 2(x+△x)2+1-(26+1) DY-H △x 4x,得x0=-2,所以f()=2×(-2)2+1=9. 7.)根据导数的几何意义知f(4)是曲线y=f(x)在x=4处 2 的切线的斜率k,注意到k-名=分，所以了(4)=宁 8.2x-y+4=0由题意知，△y=3(1+△x)2-4(1+△x)+2-3 +4-2=3(△x)2+24xy11=m=2所求直线的 Ar0△x 斜率k=2.故所求直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4 =0. 9.53由题意知m=a+2,1+m=b,:f'(1)= -0=(0-子)=a-2商线 在点(1，m)处的切线斜率为a-2,由a-2=-1,得a=1,m= 3,b=4,a+b=5. 10.【解析】（1)f'(3)=1m3+△)°-3°=27， △x .曲线C在点(3,27)处的切线方程为y-27=27(x-3),即 y=27x-54. (2)·切线l:y=27x-54与x,y轴分别相交于点（2,0)，(0， -54), 六所求三角形的面积为S=子×2×54=54， 11.C曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线1过点(2,0)，且 f'(1)=-2,所以切线方程为y=-2(x-2).因为切点在曲 线上也在切线上，所以f(1)=-2×(1-2)=2. 12.AC设点P的横坐标为xo,则点P处切线的倾斜角a与xo 的关系为tana=f'(xo)=lim o+△)=f）=2+2 Ax) △x ae[年号）mae[1,+x)2+2≥1，即o≥ 号放选AC 13.【解析】设P(x,少o),则o=后+1， f0）=+)°t-(+）-2 △x 所以过点P的切线方程为y-y=2x(x-x), 即y=2xox+1-x, 而此直线与曲线y=-2x2-1相切， 所以切线与曲线y=-22-1只有一个公共点， 由=24x+1-6, Ly=-2x2-1, 得22+2x0x+2-x后=0， 则△=4x-8(2-x)=0, 每得6=25，周0=子 7 所以点P的坐标为（子）文(29子） 14.AD由已知得f'(x)=lim fx+△x)-fx）= △ △x （x+A+2x+△）2xL=1-0,设切点坐标 △x 为（西+2元）则切线方程为y-云。=(12元)✉ -o.又切线过点(1.0)，可得-2名=(1-2是)）1- xo),整理得2x6+2axo-a=0(*).因为曲线y=f(x)存在 两条过点(1,0)的切线，所以方程(*)有两个不等实根，即 满足4=4a2-8(-a)>0,解得a>0或a<-2.故选AD. 练案[16] 1Df()=将=e代人，得f(e)=日 2.A因为y=3x2,当x=2时，y=12,故切线的斜率为12，切 线方程为y=12x-16. 3.Bs'=-sint,当t=1时，s'=-sin1,所以当t=1时质点的 瞬时速度为-sin1. 4AB切线的斜率长=m子=-1，了()=亭，设切点为 3 (,0),则f()=-1,所以-之=-1，所以。=1或= -1,所以切点坐标为(1,1)或(-1，-1) 5.A(simx)'=c0sx,k,=c0sx,:-1≤cosx≤1，.-1≤ ama≤1，又ae[0,m),倾斜角ae[0,年]U[要 6.4f'(x)=aa-1f'(-1)=a(-1)-1=-4,.a=4. 7.100因为水波的半径扩张速度为：=二 m,故水波面积为 S=πr2=π(t)2=t子，故水波面积的膨胀率为S=2t.当水波 的半径为0时，由t=0,解得1=50，即可得S”=2×50 √行 =100. 8.(1,1)由y'=e,知曲线y=e*在点(0,1)处的切线斜率k =e”=1设P(m,),又y=(x>0)的导数y=-,曲线 -18 y=（x>0)在点P处的切线斜率与=一依题意6 -1,所以m=1,从而n=1.则点P的坐标为(1,1). 9.(解折】()y=(派)y=()y=号=子子 3 (2:y=-2sin(1-2ms￥） =2sin(2aos2-1） =2sincw =sin x,.'.y'=sinx)'=cos x. 10.【解析】(1)曲线y=e在x=2处的切线的斜率为y1,=2= e1x=2=e2,切点坐标为(2，e2), 故所求切线方程为y-e2=e2(x-2), 即y=e2x-e2. (2)设切点坐标为(x,eo), 在该点处的切线的斜率为y1:=0=0, 故切线方程为y-e0=eo(x-x。), 当切线过原点时，有0-eo=e0·(0-x。), 解得o=1, 因此所求切线方程为y-e=e(x-1), 即y=ex. 11.AD设两切点坐标分别为(x,y),(x2,).A中，y= c0sx,对于cosx1Cos2=-1,当x1=0,x2=T时满足，故A 中的函数具有T性质；D中，y'=8x3,对于8x·8x=-1,当 ,=方。子时满足，放D中的函数具有T性质选项 B,C中函数的导数均为正值，故两点处的导数之积不可能为 -1. 12.x(答案不唯一)由题意，可考虑二次函数，如函数f(x)= x2,则f代x1x2)=xx号，f(x)=x,f(x2)=x,所以f(x1x2）= fx1)f2);因为f'(x)=2xf'(-x)=-2x=-f'(x),所以 f'(x)为奇函数，且当x>0时f'(x)>0.故函数f(x)=x2符 合题意 13.【解析】不存在，理由如下： 因为y1=sinx,y2=c0sx, 所以y1'=cosx,2'=-sinx 设两条曲线的一个公共点为点P(x0,), 则两条曲线在点P(,少)处的切线斜率分别为k1=c0sx, k2 =-sin xo. 若两条切线互相垂直， 则cosx0·（-sinx)=-1, 即sin0·cos %o=1, 3