4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

001 第四章 数列 4.1 数列的概念 第1课时数列的概念与简单表示法 新课程标准解读 学科核心素养 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图 数学抽象 象、通项公式) 2.了解数列是一种特殊函数 数学抽象、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 自1984年我国首次全面参加夏季奥林匹克运动 [提示] 会以来，共参加了11次夏季奥运会.各次参赛获 依据原来的排列次序 得的金牌数依次为15,5,16,16,28,32,48,38,26 我们可以推算出具体 38.40. 哪一年获得的金牌 数.更改次序后，仅 将这组数据调整次序，重新排列为5,15,16,16,26,28,32,38,38,40,48.两 仅知道这1次参赛的 组数据中的数字是完全相同的，只是排列次序不同，它们提供给我们的信 成绩全貌，而无法确 定获得某一金牌数的 息有什么不同吗？ [提示] 具体年份. 台新知初探 [知识点反思1] 知识点一 数列的概念 (1)数相同而顺序不 1.一般地，我们把按照 排列的一列数称为数列，数列中的每 同的两个数列是不相 一个数叫做这个数列的 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的 同的数列.如1,2,3 与1,3,2代表不同 第 项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第 的数列； 项，用a2表示，…，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项， (2)符号{an}和an是 用 表示.其中第1项也叫做 不同的概念，an表 示一个数列，而um表 2.数列的一般形式是a1,a2,…,am,…,简记为 示数列中的第n项. ●[知识点反思1] 002 知识点二 数列的分类 分类标准 名称 含义 [知识点反思2] 按项的 有穷数列 项数 的数列 数列2,4,6,8， 个数 无穷数列 项数 的数列 10,…,是递增数 列，也是无穷数列： 递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列 数列10,9,8,7， 递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列 6,5,4,3,2,1.是 递减数列，也是有穷 按项的变 常数列 各项都 的数列 数列；数列7,7， 化趋势 周期数列 项呈现周期性变化的数列 7,7,…是常数列； 数列0，-1,2， 从第2项起，有些项 它的前一项，有些项 摆动数列 -3,4,-5,…是摆 它的前一项的数列 动数列，也是无穷 数列 D[知识点反思2] 知识点三数列与函数的关系 [知识点反思3] 数列中的项a,与它的序号n是一一对应的，数列{an}是从 (或 数列是一种特殊的函 它的有限子集{1,2，…，n})到 的函数，其自变量是序号n,对 数，是自变量取1， 应的函数值是数列的第n项an,记为 (nEN"). 2,3,…时的离散的 数的函数」 数列可以用 来表示 >[知识点反思3] 知识点四数列的通项公式 如果数列{a,}的第n项a,与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子 [知识点反思4] (1)并不是所有的数 来表示，那么这个式子叫做这个数列的 列都有通项公式； D[知识点反思4] (2)数列通项公式的 形式可以不唯一.例 目预习自测 如数列-1,1，-1， 1.(多选)下列叙述正确的是 )1,-1,1,…的通项 A.2,4,6,8与8,6,4,2是同一数列 公式可以写成an= B.2,2,2,2,…是常数列 （-1)”，an= C.数列0,1,2,3，…的通项公式为an=n (-1)"-2,an=cosn元 D.若两个数列的每一项均对应相同，则这两个数列相同 等； 2.下列数列中，既是递增数列又是有穷数列的是 (3)在数列通项公式 134 中neN”.简言之， B.-1,-2,-3,-4 数列的通项公式可能 有多个，也可能不存 D.1,2,3,…,n 在. 3.数列2,3,4,5,6，…的一个通项公式为 A.a =n,nEN* B.a =n+1,nEN* C.an=n+2,n∈N D.an=2n,n∈N 4.已知数列{an}的通项公式是am=2n+1,则a,= 003 题型探究提技能 题型一数列的概念与分类 例1（多选）下列说法中错误的有 A.数列23,24,25,26与26,25,24,23是不同的数列 [方法总结1] B.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} 数列的判定方法及其 分类 C.数列0,1,0,1，…是常数列 (1)判断所给的对象 D.数列0,1,1,2,3,5,8,13,21，…是递增数列 P[方法总结1] 是否为数列，关键看 》跟踪训练1 它们是不是按一定次 序排列的数； (多选)下列说法错误的是 (2)判断所给的数列 A.数列0,0,0,0，…是首项为0的常数数列 是递增、递减、摆动 B.-2,9,1,5,0,…不是数列 还是常数列，要从项 C.数列1,2,2,2,2，…，2是无穷数列 的变化趋势来分析； D.数列1,3,5,7与数列1,3,5,7，…是同一数列 而有穷还是无穷数 题型二数列的通项公式表示 列，则看项的个数是 例2写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 有限的还是无限的. 002298 2)-3-g1 [方法总结2] 根据数列的前几项求 (3)2,1,2,1； 通项公式的解题思路 (1)先统一各项的形 (4)9,99,999,9999. P[方法总结2] 式，如都化成分数、 根式等； (2)分析结构中变化 的部分与不变的部 分，探索变化部分的 规律与对应序号间的 函数解析式； (3)对于正负交替出 现的情况，可先观察 其绝对值，再用 (-1)”或(-1)n+「处 理符号； (4)对于周期数列， 可考虑拆成几个简单 数列之和的形式，或 者利用周期函数，如 三角函数等 004 》跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)2×3,3×4,4×5,5×6,…; （21234 5，…; (3)3,33,333,3333,…; (4)-1,0,-1,0,… [方法总结3] 题型三数列通项公式的简单应用 求项或判断某数是否 例3已知数列的通项公式为a.=-5n 为数列的项的方法 (1）如果已知数列的 (1)写出数列的第4项和第6项； 通项公式，那么只要 (2)14是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？25是否为该数列 将相应序号代入通项 的一项呢？ 公式，就可以求出数 (3)数列{an}中有多少个负数项？ [方法总结3] 列中的指定项； (2)判断某数是否为 数列的项，先假定它 是数列的第n项，然 后列出关于n的方程. 若方程的解为正整 数，则该数值是数列 的一项；若方程无解 或解不是正整数，则 该数值不是该数列的 一项， .005 》跟踪训练3 1 已知数列a.的通项公式为a.=n(n+2)neN), (1)计算a3+a4的值； (2)20是不是该数列中的项？若是，应为第儿项？若不是，说明理由. 随堂检测重反馈 1.下列说法正确的是 ( A.{0,1,2,3,4,5}是有穷数列 B.所有正整数构成的数列是无穷数列 C.数列中不能重复出现同一个数 D.数列1,2,3,4，…，n是无穷数列 2数列片，宁号、一号…的通项公式可能是 A.a=(-1)4- Ra=(-04 Can=(-l)“ n+2 D.a.=(-1)-ln +2 3在数列1a中，a,=n+2 n+7则1a,} ( A.是常数列 B.不是单调数列 C.是递增数列 D.是递减数列 4已知数到-1u,写…是…测略是其 A.第14项 B.第12项 C.第10项 D.第8项 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[1]学案及练案部分 参芳答案 [学案部分] 第四章数列 偶数项为正，所以原数列的一个通项公式为a,= (-1)2°-1 2" 4.1 数列的概念 (3)这个数列中的项是2与1交替出现，奇数项都是2，偶数 第1课时数列的概念与简单表示法 项都是1，所以通项公式可以写成a.= 2,n为奇数， 也可以 1,n为偶数， 教材梳理 明要点 写成a,=3-(-1 -(neN*)或an= 2 3-cos nE(nEN*). 2 新知初探 知识点一 (4)各项加1后，变为10,100,1000,10000，…，此数列的通项 1.确定的顺序项12a。首项 公式为10“，可得原数列的一个通项公式为a.=10“-1, 2.{an} nEN". 知识点二 跟踪训练2：【解析】(1)由2×3=(1+1)×(1+2)，3×4=(2 有限无限大于小于相等大于小于 +1)×(2+2),4×5=(3+1)×(3+2),5×6=(4+1)×(4 知识点三 +2),…,可得an=(n+1)(n+2). 正整数集N 实数集Ra.=f(n)解析法图象法列 (2)此数列的整数部分1,2,3,4，…，恰好是序号，分数部分 表法 与序号n的关系为n十，故所求数列的一个通项公式为a, 知识点四 nn2+2n 通项公式 n+n+i-n+(neN*)】: 预习自测 (3)联想特殊数列9,99,999，…的通项公式为an=10-1,于是该 1.BCD数列2,4,6,8与8,6,4,2中数的排列顺序不同，不是同 数列的-个通项公式为8=弓(10-1)，即a=弓 3(10-1). 一数列，故A错误；数列2,2,2,2，…每一项都是数2，是常数 列，故B正确：数列0,1,2,3，…的通项公式为an=n-1,故C (4)an= 厂-1(n为奇数)，是此数列的一个通项公式， 错误；由数列的定义可知D正确. L0(n为偶数) 由1分0=+ 11 2.DA、B都是递减数列，C是无穷数列，只有D符合题意. 3.B这个数列的前5项都比序号大1，所以它的一个通项公式 联想到(-1)“具有转换符号的作用，故此数列的通项公式也 为an=n+l,neN*. 4.15a7=2×7+1=15. 可写成a,=-)”-1 2 题型探究提技能 例3：【解析】(1)a4=16-5×4=-4,a6=36-5×6=6. 例1：BCDA说法正确，相同数字的排列次序不同，是不同的数(2)令n2-5n=14,解得n=7或n=-2(舍去)， 列；B说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素 所以n=7,即14是该数列的第7项。 是无序的；C说法错误，0与1不相等，不是常数列，是摆动数 令n2-5n=25,此方程无正整数解. 列；D说法错误，第二项与第三项相等，不是递增数列： 所以25不是该数列的项. 跟踪训练1：BCDA说法正确，数列每一项都是0，是常数列；B (3)an=n(n-5),令an<0,结合neN,解得n=1,2,3,4,即 说法错误，只要把数字排列好就是确定了次序，它就是数列；C 数列{an}中有4个负数项. 说法错误，虽然数字中间有省略号，结合前后项的指数规律可跟踪训练3：【解析】(1)：a,= 1 以判断该数列共有64项；D说法错误，前面一个是有穷数列， n(n+2), 后一个是无穷数列 1 11 a=3×5=15,a4=4×6=24 例2：【解析】(1)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将 1113 各项海统一成分数再现察宁专号9， 4+04=5+24=120 n2 (2)若0为数列a,中的项， 所以它的一个通项公式为a,=2n∈N 1 1 (2)这个数列的前4项的绝对值都是每一项的分子比分母小 则 (n+2)=120' 1,而分母组成的数列为2,2,2,2,25，…，并且奇数项为负， ∴.n(n+2)=120, -141 .n+2n-120=0, 跟踪训练1：【解析】由题意，得4，=3a1+-) 2 .n=10或n=-12(舍)， 即0是数列a,的第10项 而a=1,所以4，=3x1+-)2=7 2 2 随堂检测重反馈 同理a4,=3a,+-,=10,a4=34+)- 2 2 2,a5=3a4 1.B因为{0,1,2,3,4,5}是集合，不是数列，故A错误：所有正 +（-1) -=91 整数构成的数列是无穷数列，故B正确；由数列的定义可知， 2 数列中可以重复出现同一个数，如数列1,1,1,1，故C错误；数 例2：(1)B(2)D 列1,2,3,4，…，n,共有n项，是有穷数列，故D错误. 【解析】(1)方法一（归纳法）：数列的前5项分别为a1=1, 2.D方法一：将n=1,2,3,4代入各选项验证易得答案， 4=1+1--2-=+-2- 23 方法二：将数列宁宁房子…变为行子房 -2子%=子+日2日 a4=1 ,…,从而可知分子的规律为n,分母的规律为n+2,再结 4 ! 号，所以a=2-=20(n≥2)，又4=1满足上式，由此 9 n n 合正负的调节，可知其通项公式为a,=(-1)- n+2 可得数列的一个通项公式为a,=2n-」 n 3D在数列a巾，a,号=1+十由反比例函级的性 方法二（累加法）：am+1-a,= n-n+T,a=1,a-a=1- 11 1 质得{an}是递减数列. 1 11 11 2,a-a=2-3,04-a= 34,…4.-0-1= n-1 4.B令n-2-5 =元，整理，得5m-72n+14=0,解得n=12或 -片0≥2)，以上各式相布餐a-1+1-分+分-号+ n 1=号（含去）.放选B +所以a20a≥2.因为4=1电适合上 n 第2课时数列的递推公式及前n项和 式，所以a.=2-l(neN). n 教材梳理明要点 (2)方法一（累乘法）：由题意，因为数列a,满足a1-+0 新知初探 知识点一 nn+所以。，=%...a、 (neN*),所以aL=n am-1a4-2 相邻 4.a=n=lx-2x… 知识点二 a n n-l n 1.Sma1+a2+…+am 方法二（有造特殊数列法）：由a1=n十a,(neN),得 2.S。序号n (n+1)am+1=na,又1·a1=1,∴.数列{nan}是常数列，.nan 3.Sn-Sm-1,n≥2 1 预习自测 =1·a1=1,a.=n 上D后一项与前一项的比值为-2 跟踪训练2：(1)2n-1,neN(2)见解析 【解析】(1)由am+1=an+2得ar+1-an=2,.a2-a1=2,a 2.BB项中相邻的两项，后一项是前一项的2倍，符合递推关 -a=2,a4-a3=2,…,an-a-1=2,将上述n-1个式子累 系式am=2an-1 加得am=2n-1,n∈N". 3.Dan=2am-1+1(n≥2)，a1=1,a5=2a4+1=4a3+3= (2)由a1=2a,得0=2(n≥2)， 8a2+7=16a+15=31.故选D. an-1 4.128因为数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2"-1,所以ag= 所以=22=22=2，… ’2 a,=2(n≥2).将以上各等式 a S8-S7=28-1-(27-1)=27=128. 等号两边分别相乘， 题型探究提技能 得4.4.4.…a=04=2-1(n≥2). :C当n=1时4=1t0=-分当n=2时，4= a a2 a3 an-1 a1 因为a1=1, 2,当=3时=十0=1.当a=4时，4 所以数列{an}的通项公式为an=2-1(n≥2). 1+a2 当n=1时，a1=1,符合上式，所以an=2-l(neN*). 7十。=-分，所以数列a,的周期为3，因为20必=3×3：【解析】当2时4.=5- 1+a4 674+3,所以a2s=a3=-2. =(r+a+1）-[n-12+2m-1)+1=2n-2 —142