第4章 拓展提升课2 数列求和的方法-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

(2)10年的出口总量S0-a10g1=10a(1-0.9°. 1-0.9 S1o≤80，.10a(1-0.90)≤80， 8 即a≤1-0.9 .∴.a≤12.3.故2024年最多出口12.3吨. 11.A设等比数列{an}的公比为q(g≠1)，因为S,是S,和S 的等差中项，得5，+。=2S,所以1-g)+41(1-9)。 1-g 1-q 21-g),整理得g(2g-g-1)=0,即24-9-1=0， 1-q 即(2g+1)·(g-1)=0,解得9=-之，则g=子，所以 S2-a(1-92）.1-g-1-g2 S6 1-9a(1-g)1-g =1+=1+= 12.D设共有(2m+1)项，由题意知奇=a1+a3+…+m+1= 85 2S得=a+a,+…+2三26S为=a+ag+…+a2 2+ga+a+…+a)=2+治-器放g=宁放卫 a1a2…an=aig+2*…+(m-1）=2" 2=2,当n=1或 1 2时，T的最大值为2. 13.【解析】（1)由2an+1+Sn=3,得2a2+a1=3. 因为a=子，所以=子 3 由2a+1+Sn=3,2an+Sn-1=3(n≥2)， a a12, 所以数列a,是以弓为首项，为公比的等比数列， 故a,=子·(3)=3(3)广aeN). (2)由(1)可得3 】-(门 1-3 所以3.=3-（分）门] 所受=1+（兮）月 1+(3)广>器得（分）>福 即2"<63，且neN*,故n的值可以为1,2,3,4,5. 14.Aca>1a,%>12-<04>1.0<a4<10<g <1,故A正确；又a,a,=a<1,故B正确；C中，T,是数列 {T.}中的最大项，故C正确；D中，：a,>1,0<ag<1,S.的 最大值不是S,,故D不正确.故选ABC. 17 练案[12] 1.D1-3+5-7+9-11+…+2021-2023+2025=(1-3) +(5-7)+(9-11)+·+(2021-2023)+2025=-2× 506+2025=1013. 2C数列1分345g,76…的通项公式为，=2n-1+ ()广，所以s=（+)+(3+)+(5+2)+(7 +z)++(2n-1+）=[1+3+5++(2n-1)]+ 1-2 +1-2 3.C由题意得S0=(a1+a3+…+a2y)+(a2+a4+…+a30) =(1+2+…+15)+(1+2+…+15)=1516x2=240. 2 4.C由a+2a,+4a,+…+2-a.=朵，①.得a1+2a+4a ++22a1”年(n≥2).②.①-②得2a,=子0 =(2）“(n≥2)，易得4=子，符合上式，a. (分）“一数列a,是以子为首项，2为公比的等比数列， 合1：（分）门 1-3 (1-)月 n(n+1) 5.A0,=1+2+3+…+n-2 1一 n+1 anan+l n4=4-+分+号 4 1111 1 6.(n-1)2+1+2设{n·2"}的前n项和为S.,则S,=1×2+ 2×22+3×2+…+n·2",①.所以2Sn=1×2+2×23+… +(n-1)2"+n·2*1,②.①-②得-S。=2+22+23+…+ 2°-n…2+1-2x1,22-n·21=21-n·21-2,所 1-2 以Sn=n·2+1-21+2=(n-1)2+1+2. 7.2"-1由题意可得log2a2=2-1=1,loga5=5-1=4,则a2 -2a16,数列，的公比9-区-酒=2，数列1a的 首项a=号号=1，前0项和，》=2 1-2 8 8.-4900a1=1+12,a2=1,a3=1-32,a4=1,…,又y= sin2的周期为4，Sm=10+12-32+52-7+…+972- 992=100-2×(1+3+5+7+.+99)=100-2× (1+99)×50=-4900. 2 9.【解析】(1)设数列{an}的公差为d, 由=9得 a1+4d=9, 【a2+a6=142a1+6d=14, 解得1， d=2. 所以{a.}的通项公式为an=2n-1. (2)由a.=2n-1得bn=2n-1+g2m-1 当q>0且q≠1时， Sn=[1+3+5+7+…+(2n-1)]+(g+g3+g+g+…+ 9-)=n2+91-9“) 1-g 当q=1时，bn=2n,则Sn=n(n+1). 所以数列{bn}的前n项和 rn(n+1),9=1, S= n2+41-92 1-9 2,9>0且9≠1. 10.【解析】(1)若选择①. 易知a4+a7=a2+ag=20, a2tag=20, 联立 [azao =51, 结合01>a,解得=3， [as =17. 设o}的公差为d,则=a+d=3, a。=a1+8d=17, 解得1， ld=2, 所以数列{an}的通项公式为a=2n-1. 若选择②. 设{an}的公差为d, 由S,=25a1,得5a3=25a1, 即a3=5a1, 则+2M=5a1, a1=1, 解得 la1+d=3, ld=2. 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1. 若选择③. 当n=1时，a1=S1=1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n- 1)2=2n-1,a1=1满足上式. 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1. 7 aa-2-2n-n2)】 所以Tn=b1+b2+b3+…+b =[(1-号)+（兮-5）+(5-）+…+ (点+)川 =(1) 11.B当n为奇数时，an+2=an,当n为偶数时，an+2-an=2,所 以a1=a3=…=a9=1,a2,a4,…,a是以2为首项，2为公 差的等差数列，所以S0=(a1+a3+…+a2g）+(a2+a4+… +a0）=15+15×2+15X14×2=25. 2 12.ABDa2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,由此可归纳 得a,-am-1=n(n>1),故A正确；将前面的所有项累加可得 a,=n-)n+2+a,=nn,+D,a=210,故B正确 2 2 令n(n,+1少-1024，此方程没有正整数解，故C错误：】+ 2 女+女)+（台号）* n)门=2(1-n+)=n放D正确 13.【解析】(1)因为对于任意的neN,点(n,Sn)均在函数y= b+r(b>0且b≠1，b,r均为常数)的图象上，所以S.=b+r, 当n=1时，a1=S1=b+r, 当n≥2时，an=S4-S-1=b+r-(b-1+r）=b“-b“-1= (b-1)6-1 又因为{an}为等比数列， 所以r=-1,公比为b, 所以a。=(b-1)b-1. (2)当b=2时，an=(b-1)6-1=2-1, 6n=n+1=n+1 4a.27, 则是+++ 2*1, +++…++ 两我指流，得宁=子+宁+宁+分++ 2,1,11 1-2 2m+2 3-1_n+1 =4227, 79 14.【解析】若n是偶数， Sn=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)+…+[-(n 1)2+m2] =3+7+11+…+2n-1, 共有项， 数感受×，登（经-） 2 4号+分 若n是奇数，5n=(-12+2)+(-32+42)+(-52+62)+ …+(-n2) =3+7+1++(-),英中箭“2项构虎等差数列， 故有 2 2 2×4-n2=-n2-n 221 ,n2+n ,n为偶数， 2 综上所述，S,= nEN". n+n 2,n为奇数， 练案[13] 1.C根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故no的取值应为3. 2.B本题证明了当n=1,3,5,7,…时，命题成立，即命题对 切正奇数成立 3.B因为n为正奇数，根据数学归纳法证明步骤，第二步应先 假设第k个正奇数也成立，本题即假设n=2k-1正确，再推 第(k+1)个正奇数即n=2k+1正确. 4D当n=k时，不等式左边的最后一项为2一，而当n=k+1 1 1 时，最后-顶为2一2一1+2，并且不等式左边每一项 分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2“项. 5.AD推理不正确，错在证明n=k+1时，没有用到假设n=k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确。 6.CD第一步应该验证当n=2时不等式成立，所以A不正确； 因为对+兮++…+分-（分+片+片+…+）= 222++keN),所以从n=k到n=k+1 。1 左边需要增加的代数式是2-十2+2+…+所以B 1 不正确；所以从“n=k到n=k+1”左边需要增加2“-1项，所以 C正确：当n-2时，2分，不等式左边是}，所以D正确 1 7.8据已知可转化为 1×-),兴，整理得2>128，解 1 1-2 641 得n>7,故原不等式的初始值为n=8. 18 8立++2注意未项与首项，所以+1)-) 1 1+ =3n+3n+1+3n+2 9.312“-1因为a+1=2am+1(n=1,2,3,…),且a1=1,所 以a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15,a5=2 ×15+1=31.猜想a.=2”-1.用数学归纳法证明：①当n=1 时，显然猜想成立；②假设n=k时，a=2-1,则a+1=2a+ 1=2×(2-1)+1=2+1-1.故n=k+1时，猜想也成立.综 上，对所有正整数n,都有an=2”-1. 10【证明1(0)当n=1时，左道=分右效=1-子-分，等 式成立 (2)假设当n=k(keN*)时，等式成立， 哪么盏n=+1时，左造=分+宁+分++点+字+ 1 1+112 所以当n=k+1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N都成立 1.C已知4>28)>316)>332)>子，即2)> 2生号2)>322)>4号22)>5生2，依此类推，可 得2)>"(n>1,n为正整数.因为2)是，所以 2)≥生(n为正整数. 12.(k3+5k)+3k(k+1)+6(k+1)3+5(k+1)=3+1+3k2 +3k+5k+5=(k2+5k)+32+3k+6=(k2+5k)+3k(k+ 1)+6.:k(k+1)为偶数，∴.3k(k+1)能被6整除，∴(k+ 1)3+5(k+1)应变形为(k3+5k)+3k(k+1)+6. 万+疗，右边=3+司 13.【证明】(1)当n=3时，左边=1++ =2,左边>右边，不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*,k≥3)时，不等式成立， 即1+L+1 当=+11+方方*…+店+后>m 1 1k+1+1=k+2>+2=+2=k+)+江， √k+I√k+I√k+I√R+2 所以1+ 25 +上+1>k+1)+Π. √E√+I 所以当n=k+1时，不等式也成立 由(1)(2)知对-切n>2,neN,不等式恒成立. 14.【解析】(1)：a1=1,Sn=n2an, ∴.S1=a1=1; 0练案[12] 第四章 拓展提升课二数列求和的方法 A组·基础巩固 9.已知等差数列{an}满足a5=9,a2+a6=14. 1.求值：1-3+5-7+9-11+…+2021-2023 (1)求{an}的通项公式； +2025等于 ( A.-2024 B.-1013 C.2024 D.1013 2数列1宁35g,76的前n项和为 A+1 2-1 B.n2+2-1 c+1-是 nn+2-23 (2)若bn=an+g(g>0),求数列{bn}的前n 项和Sn: 3.若数列{a.}的通项公式是a.= n+ 2n为奇数， 其前n项和为Sn,则So等 片n为偶数。 于 A.120 B.180 C.240 D.360 4.设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2"-a.= 子，则数列a,的前n项和S, A21-) &12 10.在①a+1>an,a2a,=51,a4+a,=20;②S3= c1-2) D.1-1 2" 25a1,2=3;③Sn=n2三个条件中任选一个， 5已知数列a:宁行+号好+子+写+ 补充到下面问题中，并解答 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且 +号+行…，若6=。d那么数列6的 anan+l (1)求数列{an}的通项公式； 前n项和为 ( A41-本 C.1-1 n+1 6.数列{n·2"}的前n项和等于 7.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，点 M(2,log2a2),N(5,log2a)都在直线y=x-1 上，则数列{an}的前n项和为 8.数列a的通项公式为a,=1+nsin,前n 项和为Sn,则So0=, 115 (2)若6，=1(nEN),求数列6.的前 (2)当6=2时，记6= (n∈N*),求数 anan+l n项和Tn 列{bn}的前n项和T B组·综合运用 11.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每 天入院治疗流感的人数依次构成数列{a.}, 已知a1=1,a2=2,且满足am+2-am=1+ (-1)”(n∈N*),则该医院30天入院治疗流 感的共有 ( A.225人 B.255人 C组·拓展提升 C.365人 D.465人 14.若a.=(-1)”n2,求数列{an}的前n项 12.（多选)在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6， 和Sn 10,15,21,28,36,45,…这些数叫作三角形 数.设第n个三角形数为an,则下面结论正确 的是 () A.am-an-1=n(n>l） B.420=210 C.1024是三角形数 D.L+L+L+…+L=2n a a2 a3 a.n+1 13.等比数列{an}的前n项和为S,已知对于任 意的neN,点(n,Sn)均在函数y=b+r(b >0且b≠1，b,r均为常数)的图象上 (1)求数列{an}的通项公式； —116