第4章 拓展提升课1 构造法求数列的通项公式-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

9-+=2，+=t,又= a7a10 a7a10’ag ag g 15 5 a7 as ag ao agay 9 31 -8 10.【解析】依题意，设原来的三个数依次为日，0，a叫： 因为a ·a·ag=512,所以a=8. 又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差 数列， 所以（日-2+(ag-2)=2a 所以2g2-5g+2=0, 所以g=2或9=2， 所以原来的三个数为4,8,16或16,8,4. 因为4+8+16=16+8+4=28， 所以原来的三个数的和等于28 11.10由题知，该制药公司每年投入的研发资金满足等比数列 模型，且a1=50,g=1.2,所以an=50×(1.2)m-1,令an=50 ×(1.2)-1=250,所以(1.2)-1=5，所以n-1=log25= 点28=875，所以=975，又因为a为正整数，所以 n=10. 12.Aa2>a,.a19>a192,又a>0,.9>g,解得0<g<1, .等比数列{a.}是递减数列，∴.a3>a6,∴.充分性成立.反 之，由a3>a6,得a19>a19,又a1>0,∴.1>9，.9<1且 q≠0，∴.等比数列{a.}是递减数列或摆动数列，不一定得出 a2>a,.必要性不成立..“a2>a3”是“a3>a6”的充分不 必要条件，故选A 1B.【解析】（(1)由条件可得a1-2(m+D。 n 将n=1代入得，a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 将n=2代入得，a3=3a2,所以a3=12. 所以b1=1,b2=2,b3=4. (2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. 理由如下：由条件可得出=2a n+l n 即bn+1=2bn,又b1=1, 所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. (3)由(2)可得=2"-1，所以a,=n·2- 14.【解析】(1)从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为 a1,2,a3,…,0m, 由题意，得a1=13.5,a2=13.5×(1-10%),a3=13.5×(1 -10%)2,… 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9, 所以an=a1·g"-1=13.5×0.9-1, 所以n年后车的价值为am+1=13.5×0.9”万元 (2)由(1)得a5=a1·9=13.5×0.9≈8.9（万元）， 所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元 练案[9] 1.D由a1=a-1,得a1-1=Aa.-2=A(.-只) 数列{a,-1是等比数列…二=1，A=2, 2.B因为a1=0,+瓜+行=（瓜+分）广，所以 -a,=3,即a,是首项为瓜=1，公差为的等差数 列，可求得a,=(n+12,放an=10=250. 4 3.C因为am+1=4an-3,所以aa+1-1=4(an-1),所以b+1= 4b.,又b,=a1-1=-1≠0，所以数列{bn}是首项为-1，公比 为4的等比数列，所以bn=-1·4-1=-4-1,故选C. 4.Ba+a+…ta=nn),瓜+a+… 2 +a,-nn)卫(n≥2)，两式相减得a=n,+山 2 2 nn-山=n(n≥2)a,=n2(n≥2)，①.又当n=1时，Va 2 =12=1,a=1,适合①式，a,=n,neN.故选B, 2 5.B由题意得S2=4a1+2,所以a1+a2=4a1+2,解得a2=8, 又a+2=S+2-S+1=4an+1-4a,于是am+2-2am+l=2(aa+l -2an),因此数列{an+1-2an}是以a2-2a1=4为首项，2为 公比的等比数列，即a1-2a,=4×2=2,于是% 会=1，因此数列会}是以1为首项，1为公老的等老数列，得 )=1+(n-1)×1=n,即a,=n·2.所以a2=12×22 49152. 6.D由a+1=2a.+3可得a+1+3=2(a.+3),当a1=-3时， @。=二3，满足题意；当41≠一3时，。+3=2，所以数列 {an+3}是首项为a1+3,公比为2的等比数列，所以a。+3= (a1+3)×2-1,所以a.=(a1+3)×2"-1-3,所以☑2ms= (a1+3)×2224-3≥a1,所以(a1+3)×2224≥a1+3,所以 a1>-3.综上a1≥-3. 7.ABCa1=1,an·am+1=2",∴a2=2,a3=2,a4=4,由an· a1=2°可得a,1·02=2,822=2,a2.},a-1} a 分别是以2,1为首项，公比为2的等比数列，a2m=2·2- =2”,a2m-1=1·2"-1=2-1,.a2n-a2m-1=2"-,a2m-1+a2m= 3·2"-1≠2“1，综上可知，A、B、C正确，D错误. 8.222在“差等比数列”{a.}中，a1=1,a2=2,a3=4,可得 -4=2,4-a=1,即数列a1-a,}是首项为1，公比为 a2-a1 2的等比数列，可得a1-a,=2-1,则as-44=22m。 9.64当n≥2时，由a1+2a2+3a3+…+nam=(n-1)·2+ 1,①，得a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)·2"-1+ 1,②，①-②，得nan=[(n-1)·2"+1]-[(n-2)·2"-1+ 1]=n·2"-1(n≥2)，当n=1时，a1=1符合上式，所以a.= 2-1,则a,=64。 l0.【解析】当n≥2时， 设a,+n+B=分[a1+4(n-)+B, 24=2, 1 与原式比较系数得 -74-B=-1, 解得A4, B=6. 所以a.-4n+6=[a1-4(n-1)+6], 所以数列{am-4n+6}是首项为a1-4+6=3, 公比为了的等比数列， 所以am-4n+6=3· 所以a,2是+4n-6,eN 11.6由Sn=am1-3=S1-Sn-3,得Sm+1+3=2(Sn+3),又 S1=a1=1,所以S,+3=4,所以{Sn+3}是首项为4，公比为 2的等比数列，所以Sn+3=4×2-1=2”1,Sn=2"1-3,所 以S=2+1-3≥125，解得k≥6.所以k的最小值为6. 12.【解析】(1)当a=bn,n≥2时，aa-1=bn-1, 所以an+bm-1=3,即an=-am-1+3, 整理将a-子=-（口-名） 所以{，一}是以4号=分为首项，1为公比的等比 数列 故a,-号分x(-1)-， 即a,=2+分×(-1)叫 (2)当n≥2时，由an+bn-1=3,得an+1+bn=3, 又am-1+bn=1, 所以am+1-am-1=2(n≥2)， 因为b1=0,所以a2=3, 则a2k-1}是以a1=2为首项，2为公差的等差数列，a-1=2 +(k-1)×2=2k,k∈N*; {a2k}是以a2=3为首项，2为公差的等差数列，a24=3+(k- 1)×2=2k+1,keN*. 综上所述，an=n+1. 所以an-am-1=(n+1)-n=1,n≥2， 故an}是以2为首项，1为公差的等差数列. 当n≥2时，b.=1-aa-1=1-n,且b1=0满足bn=1-n, 所以b=1-n. 13.【解标】()由已知得a=3a-4+2=3×子-4+2=5， a3=3a2-4×2+2=3×5-8+2=9. (2)am+1=3an-4n+2, .a+1-2n-2=3an-6n 即a+l-2(n+1)=3(aa-2n). 由(0知4-2=子-2=方 1 ∴.an-2n≠0，n∈N*. :1-2(n+D=3, an-2n 数列0-2m是首项为行，公比为3的等比数列， 1 六0，-2n=3×3-1=3-2, .a.=3m-2+2n. 143:?+考虑递推关系式对应的不动点，令x3+出 3·21-1 x+3 解得x=士1.当x=1时，0+1=4a+,当x=-1时， a +3 am+1-1= 0,+3,通过不动点得到两个式子a1+1= 2(a.-1) g+301-1=2(g,-1)） 4(a+1) ,+3,两式等号两边分别相除，可 1-72.8*1 得1+1 6,7由于8+1 于后30，因此{径是首 项为3，公比为2的等比数列，放公=3·2，解得 。 5练案[9] 第四章 拓展提升课一构造法求数列的通项公式 A组·基础巩固 8.定义：若0+2-a。+1=q(n∈N°，g为非零常数 an+l-an 1.数列{an}满足am+1=入a,-1(n∈N,入∈R且 且g≠1)，则称{an}为“差等比数列”，已知在 入≠0)，若数列{an-1}是等比数列，则入的值 “差等比数列”{an}中，a1=1,a2=2,a3=4,则 为 ( a2025-a2024= A.1 B.-1 c D.2 9.（2024·韶关质检)数列{an满足a1+2a2+ 3a3+…+nan=(n-1)·2”+1,则a= 2.若在数列an}中，a1=1,am+1=a,+√a.+4? 则ag9= 10.已知a1=1,当n≥2时，a.=2a-1+2n-1, A.25501 B.2500 求{an}的通项公式 c24504 D.2401 3.已知数列{an}满足a1=0,a.+1=4an-3,数列 {bn}满足bn=am-1,则数列{bn}的通项公式 为 ( A.b =4" B.bn=4"- C.bn=-4"- D.bn=-4"+1 4.已知正项数列{an}中，√a+√a2+…+√a -n(n+1),则数列a,的通项公式为( 2 A.an=n B.a=n2 ca=号 hag 5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,Sn+1 =4an+2,则a12= ( A.20480 B.49152 C.60152 D.89150 6.数列{an}满足an+1=2an+3,n∈N*,若a2os ≥a1,则a1的取值范围为 ( ) A.(-∞，-3] B.（-0,-3) C.(-3,+0) D.[-3,+∞) 7.(多选)已知数列{an}中，a1=1,am·am+1= 2”,n∈N,则下列说法正确的是 A.a4=4 B.{a2m}是等比数列 C.a2n-a2n-1=2- D.a2m-1+a2n=2+1 109 B组·综合运用 13.已知数列a.满足a=3a1=3a,-4n+ 7 11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sm 2(neN*). =am+1-3,若S.≥125，则k的最小值为 (1)求2，a3的值； 12.已知数列{am}和{bn}满足a1=2,an+bn-1= 3(n≥2). (1)若an=bn,求an}的通项公式； (2)若b1=0,a.-1+bn=1(n≥2)，证明{an} (2)证明数列{an-2n}是等比数列，并求出 为等差数列，并求{an}和{bn}的通项 数列{an}的通项公式 公式 C组·拓展提升 14.已知数列{an}中，a1=2,am+1= 3an+1 a.+3,则a —110