4.4 数学归纳法-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[13] 第四章 A组·基础巩固 1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于 (n-2)π”时，归纳奠基中no的取值应为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.一个关于自然数n的命题，如果证得当n=1 时命题成立，并在假设当n=k(k∈N*)时命 题成立的基础上，证明了当n=k+2时命题成 立，那么综合上述，对于 ) A.一切正整数命题成立 B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对 3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x”+y 能被x+y整除”的第二步是 A.假设n=2k+1时正确，再推n=2k+3时 正确 B.假设n=2k-1时正确，再推n=2k+1时 正确 C.假设n=k时正确，再推n=k+1时正确 D.假设n=k(k≥1)，再推n=k+2时正确（以 上k∈N*) 4.(2025·济源月考)利用数学归纳法证明不等 式1+分+号+…+2<a(≥2.aeN) 的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加 了 () A.1项 B.k项 C.2-1项 D.2项 5.（多选)已知命题1+2+22+…+2m-1=2”-1 (n∈N*)及其证明： (1)当n=1时，左边=1，右边=2-1=1，所 以等式成立 (2)假设n=k(k∈N*)时等式成立，即1+2+ 22+…+2-1=2-1成立，则当n=k+1 时，1+2+2+…+2-1+2=1-2 1-2 2+1-1,所以n=k+1时等式也成立， 由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立. 则 () 4.4*数学归纳法 A.命题正确 B.命题不正确 C.推理都正确 D.推理不正确 6.(多选)用数学归纳法证明不等式号+兮+ +…+ 1 >?-1(n∈N*,n≥2)时，以下说 2->2 法正确的是 A.第一步应该验证当n=1时不等式成立 B.“n=k(keN*,k≥2)到n=k+1”左边需要 增加的代数式是， C.从“n=k(k∈N*,k≥2)到n=k+1”左边需 要增加21项 D当n=2时不等式左边是号 7.用数学归纳法证明不等式1+ 1 2+4 +…+ 2>(a=N)成立，其初始值至少垃取 8.(2024·宿迁月考)设n)=1++3+…+ BneN),那么f(n+1)-f(n)日 9.若数列{an}满足a1=1,am+1=2am+1(n=1, 2,3,…),则a5= ,归纳猜想an= 10证明分+宁+宁+… 2+201-月 11 2 (nEN*). B组·综合运用 C组·拓展提升 11.（2025·东营月考)设n是正整数，f(n)=1+14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn 分+日+…+，经计算可得2)=是. 3 =n2an(n∈N*). (1)写出S1,S2,S3,S4,并猜想S.的表达式； 4>28)>316)>332)>2 观 察上述结果，可得出的一般结论是( Af2n)>2n+1 2 B.fn2)≥n+2 2 Cf2")≥n+2 2 D.f(2)>n+2 12.用数学归纳法证明n3+5n(n∈N*)能被6整除 的过程中，当n=k+1时，(k+1)3+5(k+1) 式子应变形为 18.已知n>2,neN.求证：1+方++…+ 25 n >√n+1. (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a 的表达式 —11814.【解析】若n是偶数， Sn=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)+…+[-(n 1)2+m2] =3+7+11+…+2n-1, 共有项， 数感受×，登（经-） 2 4号+分 若n是奇数，5n=(-12+2)+(-32+42)+(-52+62)+ …+(-n2) =3+7+1++(-),英中箭“2项构虎等差数列， 故有 2 2 2×4-n2=-n2-n 221 ,n2+n ,n为偶数， 2 综上所述，S,= nEN". n+n 2,n为奇数， 练案[13] 1.C根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故no的取值应为3. 2.B本题证明了当n=1,3,5,7,…时，命题成立，即命题对 切正奇数成立 3.B因为n为正奇数，根据数学归纳法证明步骤，第二步应先 假设第k个正奇数也成立，本题即假设n=2k-1正确，再推 第(k+1)个正奇数即n=2k+1正确. 4D当n=k时，不等式左边的最后一项为2一，而当n=k+1 1 1 时，最后-顶为2一2一1+2，并且不等式左边每一项 分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2“项. 5.AD推理不正确，错在证明n=k+1时，没有用到假设n=k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确。 6.CD第一步应该验证当n=2时不等式成立，所以A不正确； 因为对+兮++…+分-（分+片+片+…+）= 222++keN),所以从n=k到n=k+1 。1 左边需要增加的代数式是2-十2+2+…+所以B 1 不正确；所以从“n=k到n=k+1”左边需要增加2“-1项，所以 C正确：当n-2时，2分，不等式左边是}，所以D正确 1 7.8据已知可转化为 1×-),兴，整理得2>128，解 1 1-2 641 得n>7,故原不等式的初始值为n=8. 18 8立++2注意未项与首项，所以+1)-) 1 1+ =3n+3n+1+3n+2 9.312“-1因为a+1=2am+1(n=1,2,3,…),且a1=1,所 以a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15,a5=2 ×15+1=31.猜想a.=2”-1.用数学归纳法证明：①当n=1 时，显然猜想成立；②假设n=k时，a=2-1,则a+1=2a+ 1=2×(2-1)+1=2+1-1.故n=k+1时，猜想也成立.综 上，对所有正整数n,都有an=2”-1. 10【证明1(0)当n=1时，左道=分右效=1-子-分，等 式成立 (2)假设当n=k(keN*)时，等式成立， 哪么盏n=+1时，左造=分+宁+分++点+字+ 1 1+112 所以当n=k+1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N都成立 1.C已知4>28)>316)>332)>子，即2)> 2生号2)>322)>4号22)>5生2，依此类推，可 得2)>"(n>1,n为正整数.因为2)是，所以 2)≥生(n为正整数. 12.(k3+5k)+3k(k+1)+6(k+1)3+5(k+1)=3+1+3k2 +3k+5k+5=(k2+5k)+32+3k+6=(k2+5k)+3k(k+ 1)+6.:k(k+1)为偶数，∴.3k(k+1)能被6整除，∴(k+ 1)3+5(k+1)应变形为(k3+5k)+3k(k+1)+6. 万+疗，右边=3+司 13.【证明】(1)当n=3时，左边=1++ =2,左边>右边，不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*,k≥3)时，不等式成立， 即1+L+1 当=+11+方方*…+店+后>m 1 1k+1+1=k+2>+2=+2=k+)+江， √k+I√k+I√k+I√R+2 所以1+ 25 +上+1>k+1)+Π. √E√+I 所以当n=k+1时，不等式也成立 由(1)(2)知对-切n>2,neN,不等式恒成立. 14.【解析】(1)：a1=1,Sn=n2an, ∴.S1=a1=1; 0 当n=2时，S2=a1+a2=4a, 可得4：=号品=1+行号： 1 当n=3时，S3=a1+a2+a3=9a3, 113 可得a=6S,=1+3+6=2 当n=4时，S4=a1+a2+a3+a4=16a4, 可得=0=号 精据5 (2)下面用数学归纳法证明猜想成立. ①当n=1时，猜想显然成立 ②很设当=(eN)时，精起成立，即及=治 则当n=k+1时，Sk+1=(k+1)2a+1=(k+1)2(S+1-S), (+2)=+1s-(+1产，4 91=2(k+1) k+2 故当n=k+1时，猜想也成立. ,2n.故猜想 由①和②可知，对于任意的neN都有S。=n+ 成立 .S.=nan, 2n a2 2 n(n+1) 练案[14] 1.B根据曲线在某点处切线斜率的意义知，该极限值只与x。 有关，而与h没有关系。 2.B△s=3+2×2.1-(3+2×2)=0.2,△t=2.1-2=0.1,则 是-片-2 3D令s=f()=P,则k=f6+△)-代)=(+△)2-6 △t △t =2+4出，2=）--40_云--4) △t △t =2t0-△t. 因为△t可大于零也可小于零，所以k,与k2的大小不确定. △tAs=1 4B4=2+ar+2+A-2-7=-224a如 △s 2(2+A如所以t=2时的瞬时速度为m 1-22+l子 5.CD由平均速度、瞬时速度及切线斜率的几何意义知C、D 正确. 6.8k=1imxo+△）-fxo三lim(△x+2o)=2=16,解得 △x x0=8. 18 7.-1 lim f+△)-f=m(24+4o)=4o=-4,解得 0 △t t0=-1. 8.2由题意，得物体M在[0，a]上的平均速度为a）=0) a-0 。+24=a+2,物体N在[2,3]上的平均速度为3)二2 3-2 =2×3-3-(2×2-3》=2.由题意知a+2=2×2,所以a =2. 9.6x+y+1=0k=1m-1+4)°=4{-1+A）=5=-6,所以 △x 切线方程为y-5=-6(x+1),即6x+y+1=0. 10.【解析】(1)因为物体在t∈[3,5]上的时间变化量为△t=5 -3=2, 物体在te[3,5]上的位移变化量为△s=3×52+2-(3×32 +2)=3×(52-32)=48, 所以每体在1e[3.5]上的早均建度为岁-号=24(mW0) (2)求物体的初速度，即求物体在t=0时的瞬时速度. 因为岁-10±0 △t =29+3[(0+4)-32-29-30-32 △t =3△t-18, 所以物体的初速度 vo lim mA=im(3At-18)=-18(ms). 0△t 11.A由题意可知，抛物线在点(0，b)处的切线的斜率为k= 画0+△+a0+△)+h-b=1,解得a=1,又0,6)在 △x 切线上，∴b=1. 12.D根据题意，函数y=ft)=at(a≠0)，则f(2)=4a,f1) =a所0-是-2)0=3a=-6,解得a-2 2-1 13.【解析】(1)由 y=x2+4, y=x+10, 得-2=3， 或 Ly=8 y=13, .抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)，(3,13) (2)若交点坐标为(-2,8)， 则k=lim Ax 4r0△x [(-2+△x)2+4]-[(-2)2+4] lim DY) △x =im-4+A)=-4 .∴.抛物线在点(-2,8)处的切线方程为y-8=-4(x+2), 即4x+y=0. 若交点坐标为(3,13)，