4.3.2 第2课时 等比数列前 n 项和的性质及应用-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[11]第四章4.34.3.2[第2课时等比数列前n项和的性质及应用] A组·基础巩固 7.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天 1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2= 植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2 倍，则需要的最少天数n(n∈N)为 1,S4=4,则a7+ag= ( A.40 B.30 C.27 D.9 2已知数列1a,为等比数列，且g=2,5,=1,则 8.（2025·舟山月考)在等比数列{an中，若a1 Ss= =2,4=-4,则公比g= ,1a11+ A.15 B.17 C.19 D.21 la21+|a3l+…+1an|= 3.已知等比数列a,共有32项，其公比g=3,g.设正项等比数列{a,}的前n项和为S,且 且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 21S0-(210+1)S20+S10=0,则公比g= an}的所有项之和是 ( A.30 B.60 C.90 D.120 10.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的 4.已知各项均为正数的等比数列{a.}的前n项 出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2024 和为Sn,若S2n=6,S3n=14,则S4n-Sn= 年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量 均比上一年减少10%， A.18 B.20 C.24 D.28 (1)以2024年为第一年，设第n年出口量为 5.（多选)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句 an吨，试求an的表达式； 话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺 长的木棰每天截取一半，永远都取不完”.设第 一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天 被截取剩下的一半剩下α2尺，…，第六天被截 取剩下的一半剩下a。尺，则 A.a6=32 1 B.4=8 C.a5+a%Q】 63 D.a1+a2+…+a6= 64 6.（多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn,则 下列数列一定是等比数列的有 A.a1+a2,a2+a3,a3+a4, B.a1+a3,a3+a5,a5+a7, C.S2,S4-S2,S6-S4, D.S3,S6-S3,S9-S6, -113 (2)国家计划10年后终止该矿广区的出口，间13.已知数列a,的首项a=,前n项和为S, 2024年最多出口多少吨？(0.910≈0.35， 保留一位小数) 且满足2a.+1+S。=3(n∈N*) (1)求a2及am; (2米满安求加的值 B组·综合运用 11.Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项 和，S,是S,和S。的等差中项，则2= C组·拓展提升 ）14.(多选)设等比数列a的公比为4，其前n c 项和为Sn,前n项积为T,并且满足条件 12.等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇 a1>1,aag>1, ,-1 as-1 <0,则下列结论正确的 数项之和为贺偶数项之和为，记这个等比 是 () A.0<q<1 数列前n项的积为Tn（n≥2)，则T的最大 B.ads <1 值为 ( C.Tn的最大值为T, A B.2 C.1 D.2 D.Sn的最大值为S, 114两式相减，得an1=3an(n≥2). 当n=1时，a2=2S1+a1=3a1,又an≠0， 所以数列{a.}是首项为a1,公比为3的等比数列. 因此an=a1·3"-l(neN*). (2)在因为安43-名 1 1 所以6，=1-S=1+2a-24·3” 要使{bn}为等比数列，则1+2a1=0, 即a1=-2.此时bn=3“,符合题意. 14.【解析】(1)证明：当n=1时，S+a1=4,则a1=2, 当n≥2时，Sn+a.=n+3 ① Sn-1+am-1=n+2 ② 1 1 作差得a=2am-1+2, 1 。11 所以a,-1=21-2=2(a1-10, 又4-1=1，则a-L=1 所以0，-1是以1为首项，为公比的等比数列： (2)由(1)得a,-1=, 2-1 所以a,2六+1，所以。品-2r1 Tn=(2°+1)+(2+1)+…+(2-1+1) =(2°+2+…+2"-1)+n 1x(1,22+n 1-2 =2"+n-1. 练案[11] 1.C由于{an}是等比数列，所以S2,S4-S2,S6-S4,S-S6也 成等比数列，其中S2=1,S4-S2=3,所以S。-S4=3×3=9, Sg-S6=9×3=27,所以a,+ag=Sg-S6=27. 2B方法一：因为9=2,3=1，所以S=1- 1-9 2=1,解得4=方所以5=12 1-2 1-9 51-29 1-2一=17.故选B 方法二：由题意得Sg=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a,+ ag）=S4+g(a1+a2+a3+a4)=S4(1+g)=17. 3.D设等比数列{a.}的奇数项之和为S1,偶数项之和为S2,则 S1=a1+a3+a5+…+a31,S2=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+ 17 a3+a5+…+a31)=3S1,又S1+60=S2,则S1+60=3S1,解得 S1=30,S2=90,故数列{a,}的所有项之和是30+90=120.故 选D. 4.D由等比数列的性质，知Sn,S2m-Sn,Sn-S2,S4n-Sn构成 等比数列，设Sn=x,则x,6-x,14-6构成等比数列，可得(6 -x)2=8x,即x2-20x+36=0,解得x=2或x=18(舍去).从 而S,S-S,5-S,-S是以2为首项，S。8_62 2 =2为公比的等比数列，则S4m-S.=24=16,故S4n=30,所以 S4n-S.=30-2=28. 5.BD依题意可知，a1,a2,a,…成等比数列，且首项与公比均 为分则a=(行）广=高爱=84+a=后a+++ 4是放选即 6.BD设数列{an}的公比为q,9≠0，对于A和C,都有首项a +a2=a1(1+g),当g=-1时，a1+a2=0,不满足等比数列， 故A,C错误；对于B,a1+a=a1(1+g)≠0，且+a= a1+a3 今(a+a）=g,同理9十=g,故数列a+a,4+a5,4+ a1+a3 a3 as a7,…为等比数列，故B正确；对于D,S3=a1+a2+a3=a1(1 +9+9)0,且的3=矿爱袋=，微数列- -S6,…为等比数列，故D正确.故选BD. 7.6由题意知，第n天植树2”棵，则前n天共植树2+2+… +2”=(21-2)棵，令2+1-2≥100，则2+1≥102，又26= 64,2’=128,且y=2*+1是增函数，所以n≥6，即n的最小值 为6. 8.-22-1-7设等比数列a,的公比为q,则a=a,9,代 入数据解得g3=-8,所以g=-2.等比数列{Ia.I}的公比为 1ql=2,则1a,=×2-1,所以1a1+1a,1+al+…+ 1a1=71+2+2+…+2)=7(2-10=2-7 9.2由2S0-(20+1)Sm+50=0,得2(S0-Sm)=5m So又5o,5m-So,50-5n成等比数列0-=g° S20-S1o (兮分)”又a为正项等比数到g=子 10.【解析】(1)由题意知每年的出口量构成等比数列{a.},且 首项a1=a,公比g=1-10%=0.9, ∴.am=a·0.9n-1. (2)10年的出口总量S0-a10g1=10a(1-0.9°. 1-0.9 S1o≤80，.10a(1-0.90)≤80， 8 即a≤1-0.9 .∴.a≤12.3.故2024年最多出口12.3吨. 11.A设等比数列{an}的公比为q(g≠1)，因为S,是S,和S 的等差中项，得5，+。=2S,所以1-g)+41(1-9)。 1-g 1-q 21-g),整理得g(2g-g-1)=0,即24-9-1=0， 1-q 即(2g+1)·(g-1)=0,解得9=-之，则g=子，所以 S2-a(1-92）.1-g-1-g2 S6 1-9a(1-g)1-g =1+=1+= 12.D设共有(2m+1)项，由题意知奇=a1+a3+…+m+1= 85 2S得=a+a,+…+2三26S为=a+ag+…+a2 2+ga+a+…+a)=2+治-器放g=宁放卫 a1a2…an=aig+2*…+(m-1）=2" 2=2,当n=1或 1 2时，T的最大值为2. 13.【解析】（1)由2an+1+Sn=3,得2a2+a1=3. 因为a=子，所以=子 3 由2a+1+Sn=3,2an+Sn-1=3(n≥2)， a a12, 所以数列a,是以弓为首项，为公比的等比数列， 故a,=子·(3)=3(3)广aeN). (2)由(1)可得3 】-(门 1-3 所以3.=3-（分）门] 所受=1+（兮）月 1+(3)广>器得（分）>福 即2"<63，且neN*,故n的值可以为1,2,3,4,5. 14.Aca>1a,%>12-<04>1.0<a4<10<g <1,故A正确；又a,a,=a<1,故B正确；C中，T,是数列 {T.}中的最大项，故C正确；D中，：a,>1,0<ag<1,S.的 最大值不是S,,故D不正确.故选ABC. 17 练案[12] 1.D1-3+5-7+9-11+…+2021-2023+2025=(1-3) +(5-7)+(9-11)+·+(2021-2023)+2025=-2× 506+2025=1013. 2C数列1分345g,76…的通项公式为，=2n-1+ ()广，所以s=（+)+(3+)+(5+2)+(7 +z)++(2n-1+）=[1+3+5++(2n-1)]+ 1-2 +1-2 3.C由题意得S0=(a1+a3+…+a2y)+(a2+a4+…+a30) =(1+2+…+15)+(1+2+…+15)=1516x2=240. 2 4.C由a+2a,+4a,+…+2-a.=朵，①.得a1+2a+4a ++22a1”年(n≥2).②.①-②得2a,=子0 =(2）“(n≥2)，易得4=子，符合上式，a. (分）“一数列a,是以子为首项，2为公比的等比数列， 合1：（分）门 1-3 (1-)月 n(n+1) 5.A0,=1+2+3+…+n-2 1一 n+1 anan+l n4=4-+分+号 4 1111 1 6.(n-1)2+1+2设{n·2"}的前n项和为S.,则S,=1×2+ 2×22+3×2+…+n·2",①.所以2Sn=1×2+2×23+… +(n-1)2"+n·2*1,②.①-②得-S。=2+22+23+…+ 2°-n…2+1-2x1,22-n·21=21-n·21-2,所 1-2 以Sn=n·2+1-21+2=(n-1)2+1+2. 7.2"-1由题意可得log2a2=2-1=1,loga5=5-1=4,则a2 -2a16,数列，的公比9-区-酒=2，数列1a的 首项a=号号=1，前0项和，》=2 1-2 8