4.3.2 第1课时 等比数列的前 n 项和公式-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[10] 1.D因为a1=2an,且a1=1,所以数列{an}是首项为1，公比 为2的等比数列，所以数列。，的前5项的和为二=31 2AD根据已知可得方程产：-7，整理得6-g-1=0, 解得q=了（含去）g=分又a=1,放a=4因此，等比 1 数列0，的通项0.=2-，3，=4×122=8-2由此 1-2- 可知A,D两个选项是正确的因为4=2=子≠)，所以 1 B述项不正确因为、=8-25=斗≠8，所以C选项不正 确.综上，正确结论是AD. 3.B由题意得，在等比数列a}中， ,S1=a1=-1, 0=ag=8-=瓷-号%=--沿解得g g<0, 子a-()广受 4.A设数列{an}的公比为q,由27a4+a7=0,得a4(27+g)= 0.因为a0,所议21+9-0，则g=3,放号-音=0 5.AD因为等比数列{an}中，a1≠a2,所以g≠1，因为a·a4= 2a1,a3-a2=2(a4-a3）=2g(a3-a2）,所以ag=2a1,且2g =1,即g=2A正确：所以a=6,a=64×(3）广=1，B 64×(1-) 1- =126,D正确.故选AD. 6.ABC由8a2+a5=0得8a2+a2g3=0,a2≠0，∴.g=-8, a(1-g) 六g=-2A中，2=g=4:8中，京d-g五-7 an-1 1-9 a(1-g) c巾=巾 二与n有关，不确定，故选ABC 1-g+1 7115因为4=2，=4，所以4=9=2 解得 la3=a9=4, 所以号=5 g=2, 17 &(分)）”由题知S=a=分a)…4=方5 子a-051=3a-0S1-S=31-30 1 1 即a1=301-30心01=-20心数列1a.}是以 -方为首项，一方为公比的等比数列口，的通项公式是 -() 9.1设等比数列{an}的公比为g,当q=1时，a1=S,=(1-2) +2入=1，则S。=n,显然与题设不符，g≠1，即等比数列不是 常数列及=品g。1-2）+以·2，则 【a1=1-2λ=-入可得=1. 1-9 lg=2, 10.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q, 由题意得an=q-1,9=4g, 解得q=0(舍去)，9=-2或9=2. 故a.=(-2)"-1或an=2-1 (2)若0=(-2)-1，则3=1-(-2)” 3 由5=63得1-（，-2)=63， 3 即(-2)”=-188，此方程没有正整数解. 若an=2-1,则Sn=2”-1. 由Sm=63得2m-1=63, 即2m=64,解得m=6. 综上，m=6. 11.C设数列a,}的公比为g,由9S,=3。,得g≠1，则9二 1-9 =1二，即1+9=9，解得g=2.所以数列{位}是首项为1山， -1-g 公比为分的等比数列，则数列{日}的前5项和为万= 1-( 1-2 器版孩C 12.BC设等比数列{a.}的公比为g(qg≠0)，由aa3a4=64,得 a=4,则a,=4,由a,+a=10,得4+4g=10,即2g2-59 +2=0,解得g=2或9=2又因为数列a,}是递增数列， 所以g=2,所以2a1+8a1=10,解得a1=1.所以an=2-1,Sn -1×12）=2-1,所以S4-S=21-1-(2-1)= 1-2 2.故选BC. 13.【解析】(1)依题意，得2S=am+1-a1 当n≥2时，有 [2S=an+1-a1, 2S.-1=a.-a1 6 两式相减，得an1=3an(n≥2). 当n=1时，a2=2S1+a1=3a1,又an≠0， 所以数列{a.}是首项为a1,公比为3的等比数列. 因此an=a1·3"-l(neN*). (2)在因为安43-名 1 1 所以6，=1-S=1+2a-24·3” 要使{bn}为等比数列，则1+2a1=0, 即a1=-2.此时bn=3“,符合题意. 14.【解析】(1)证明：当n=1时，S+a1=4,则a1=2, 当n≥2时，Sn+a.=n+3 ① Sn-1+am-1=n+2 ② 1 1 作差得a=2am-1+2, 1 。11 所以a,-1=21-2=2(a1-10, 又4-1=1，则a-L=1 所以0，-1是以1为首项，为公比的等比数列： (2)由(1)得a,-1=, 2-1 所以a,2六+1，所以。品-2r1 Tn=(2°+1)+(2+1)+…+(2-1+1) =(2°+2+…+2"-1)+n 1x(1,22+n 1-2 =2"+n-1. 练案[11] 1.C由于{an}是等比数列，所以S2,S4-S2,S6-S4,S-S6也 成等比数列，其中S2=1,S4-S2=3,所以S。-S4=3×3=9, Sg-S6=9×3=27,所以a,+ag=Sg-S6=27. 2B方法一：因为9=2,3=1，所以S=1- 1-9 2=1,解得4=方所以5=12 1-2 1-9 51-29 1-2一=17.故选B 方法二：由题意得Sg=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a,+ ag）=S4+g(a1+a2+a3+a4)=S4(1+g)=17. 3.D设等比数列{a.}的奇数项之和为S1,偶数项之和为S2,则 S1=a1+a3+a5+…+a31,S2=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+ 17 a3+a5+…+a31)=3S1,又S1+60=S2,则S1+60=3S1,解得 S1=30,S2=90,故数列{a,}的所有项之和是30+90=120.故 选D. 4.D由等比数列的性质，知Sn,S2m-Sn,Sn-S2,S4n-Sn构成 等比数列，设Sn=x,则x,6-x,14-6构成等比数列，可得(6 -x)2=8x,即x2-20x+36=0,解得x=2或x=18(舍去).从 而S,S-S,5-S,-S是以2为首项，S。8_62 2 =2为公比的等比数列，则S4m-S.=24=16,故S4n=30,所以 S4n-S.=30-2=28. 5.BD依题意可知，a1,a2,a,…成等比数列，且首项与公比均 为分则a=(行）广=高爱=84+a=后a+++ 4是放选即 6.BD设数列{an}的公比为q,9≠0，对于A和C,都有首项a +a2=a1(1+g),当g=-1时，a1+a2=0,不满足等比数列， 故A,C错误；对于B,a1+a=a1(1+g)≠0，且+a= a1+a3 今(a+a）=g,同理9十=g,故数列a+a,4+a5,4+ a1+a3 a3 as a7,…为等比数列，故B正确；对于D,S3=a1+a2+a3=a1(1 +9+9)0,且的3=矿爱袋=，微数列- -S6,…为等比数列，故D正确.故选BD. 7.6由题意知，第n天植树2”棵，则前n天共植树2+2+… +2”=(21-2)棵，令2+1-2≥100，则2+1≥102，又26= 64,2’=128,且y=2*+1是增函数，所以n≥6，即n的最小值 为6. 8.-22-1-7设等比数列a,的公比为q,则a=a,9,代 入数据解得g3=-8,所以g=-2.等比数列{Ia.I}的公比为 1ql=2,则1a,=×2-1,所以1a1+1a,1+al+…+ 1a1=71+2+2+…+2)=7(2-10=2-7 9.2由2S0-(20+1)Sm+50=0,得2(S0-Sm)=5m So又5o,5m-So,50-5n成等比数列0-=g° S20-S1o (兮分)”又a为正项等比数到g=子 10.【解析】(1)由题意知每年的出口量构成等比数列{a.},且 首项a1=a,公比g=1-10%=0.9, ∴.am=a·0.9n-1.练案[10]第四章4.34.3.2[第1课时等比数列的前n项和公式] A组·基础巩固 8.已知数列a,的前n项和s=子(a,-1),则 1.在数列{an}中，已知an+1=2an,且a1=1,则数 数列{an}的通项公式是an= 列{an}的前5项的和等于 9.一个等比数列的前n项和Sn=(1-2入)+入· A.-25B.25 C.-31D.31 2”,则入= 2.(多选)(2025·全国Ⅱ卷)设5为等比数列10.在等比数列a,中，a,=l,a=4a {an}的前n项和，9为an}的公比，g>0.若S3 (1)求{an}的通项公式； =7,a3=1,则 Ag=号 1 B.as= C.S5=8 D.an +S=8 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,下表给出 了Sn的部分数据： n 1 2 3 4 5 6 -1 13 55 S 8 16 则数列{an}的第4项a4= ( B33 8 c-8g8 D-或照 4.设Sn为等比数列{an}的前n项和，若27a4+ =0,则 ( (2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63, A.10 B.9 C.-8 D.-5 求m. 5.(多选)已知等比数列{an}的前n项和为Sn, 公比为q,若a1≠a2,a3a4=2a1,a3-a2=2(a4 -a3),则下列结论正确的是 ( Ag=为 B.a7=2 C.as=8 D.S6=126 6.（多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若 8a2+a=0,则下列式子中数值确定的是 ( A,1 an-1 写 GS D. 03 S, 7.设等比数列{an}的前n项和为S.(n∈N), 若a2=2,a3=4,则a1= ,S4= -111 B组·综合运用 C组·拓展提升 11.已知数列{an}是首项为1的等比数列，S,是14.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足S.+an 数列{an}的前n项和且9S,=S6,则数列 =n+3. )的前5项和为 (1)证明：数列{an-1}是等比数列； a 数5 c沿 g 12.（多选)已知等比数列{an}是递增数列，其前 n项和为Sn,若a2+a4=10,a2a3a4=64,则 A.S+1-Sn=2"+1B.an=2-l C.Sn=2"-1 D.Sn=2m-1-1 13.设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0，a1 为常数，且-a1,Sn,an+1成等差数列. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列二}的前a项和刀 (2)设bn=1-Sn,问：是否存在a1,使数列 {bn}为等比数列？若存在，求出a的值； 若不存在，请说明理由. 一112-