4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[8]第四章4.34.3.1[第2课时 等比数列的性质及应用] A组·基础巩固 9.在等比数列{an中，若a,+as+a+ao=8, 15 1.已知等比数列a巾，a=14=)则a,= aa=-8则+++ 10.已知三个数成等比数列，其积为512，如果第 1 1 A.±81 B.一81 一个数与第三个数各减去2，则此时的三个 c D.±2 ,1 数成等差数列，求原来的三个数的和. 2.若数列{a}是公比为g的递增等比数列，则 ( A.a1>0,9>1 B.a1(g-1)>0 C.(a1-1)q>0 D.(a1-1)g<0 3.已知数列{an}满足an+1= 44,若a4+a,=2, 1 则a3+a4= ( A司 B.1 C.4 D.8 4.在等比数列{an}中，a3a4a6a,=81,则a1ag= A.9 B.-9C.±9 D.18 5.数列{an}满足a1=1,an+1=tan+t(n∈N, t≠0)，则“1=”是“数列a,是等比数列的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 B组·综合运用 D.既不充分也不必要条件 11.我国生物科技发展日新月异，其中生物制药 6.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的 发展尤其迅速，某制药公司第一年共投入资 竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面 金50万元进行新药开发，并计划每年投入的 3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为 研发资金比上一年增加20%.按此规律至少 9,则第5节的容积为 ( 到第 年每年投入的资金可达250万 A.2 B.67 C.3 D.3 元以上（精确到1年）.（参考数据1g1.2≈ 66 0.08,1g5≈0.70) 7.在等比数列{an}中，存在正整数m,有am=3,12.在等比数列{a.}中，已知a1>0,则“a,>a,” am+5=24,则am+15= 是“a3>a6”的 () 8.已知项数相同的等比数列{an}和{bn},公比 A.充分不必要条件 分别为91,9(91,92≠1)，则数列①{3.}，② B.必要不充分条件 13},③12an-3b.},④12a。·3bn}中是等比 C.充要条件 数列的是 (填序号) D.既不充分也不必要条件 107 13.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)am, C组·拓展提升 设6=丹 ! 14.某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预 测这种车每年按10%的速度贬值 (1)求b1,b2,b3; (1)用一个式子表示n(neN*)年后这辆车 的价值； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明 理由； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大 概能得到多少钱？（精确到0.1) (3)求{an}的通项公式 —1087.2由题意可得，a1=a-1,a,=a+1,4=a+7,所以g+ a-T= 日7解得a=2 &0×3(答案不唯一）设数列a,的公比为9，则g=3,由 已知可得，<1,9a,<14<g,故a,可取0故满足条 件的等比数列的通项公式可能为a,=。×3 9.322”因为数列a,}是等比数列，且a1=7,4=4.所以等 比数列a,的公比g=受=8，所以=4，=4×8=2，所以 a1a2a3a4a5a6=a·g5=(2-1)6×(23)15=29. 10.【解析】(1)因为a5=a19,a3=a192, 所以寸-合=分4=128 1 所以q=±2 当g=2时，a=a91=128×(分）-2 当g=-时a,=a9=128×(-3)-(-10-2 所以an=28-"或an=(-1)"-128-a. (2)当0，=7时，即2-“=7或(-1)-2=7 解得n=9. 11.D不等式x2-5x-6<0的解集为{x-1<x<6},其中成 等比数列的三个整数为1,2,4，若数列前3项为1,2,4，则第 4项为8，若数列崩3项为4,21，则第4项为分 12.A由at1-3au+1am-4a7=0,得(am+l-4aa）·(a+l+a.） =0.又a}是正项数列，所以a1-4a,=0,出=4.由等 a 比数列的定义知数列{a.}是以2为首项，4为公比的等比数 列.由等比数列的通项公式，得an=2×4“-1=22m-1. 13.51由题意得a,=a1+a2,所以1=9+分，即)+g 2 -1=0,解得g=1,5或g=1)5(舍去. 2 14.【解析】a,b,c成等比数列，.b=ac, 又a2-c2=ac-bc,.a2-c2=b2-bc,即b2+c2-a2=bc, 在△ABC中，由余弦定理得cosA=+c2-d=c=1 ∴.A=60° 在△ABC中，由正弦定理得sinB=bsin A .bsin Bbsin A=sin A ac 2 —17 练案[8] 1C根据等比数列的性质可知aa,=心%，一名- 2.B依题意，不妨设a1=1,9=2,数列是递增的等比数列，由此 判断CD选项错误设4=-1,9=子，数列是递增的等比数 列，由此判断A选项不正确.故正确的选项为B. 3D由已知，a1=子4，则。=子，所以数列a是以 为公比的等比数列，则a,+,=g·(a,+a,)=子(a,+a,)= 2,所以a3+a4=8. 4.A因为{an}为等比数列，所以a3a,=a4a6=a1ag·所以 (a1a,)2=81,即a1a,=±9.因为在等比数列{an}中，奇数项 （或偶数项)的符号相同，所以a1,ag同号，所以a1ag=9. 5C当：=时，由-1得4宁+分=1，-日+3= 1,…,an=1,所以{an}是等比数列，充分性成立；反之若{an} 是等比数列，则a2=ta1+t=2t,a3=ta2+t=2t+t,又因为 a1,a,a3也成等比数列，所以aG=a1a,即4t=2t2+t,又t≠0， 所以1=方，此时a,=1(neN~),满足题意，必要性也成立 所以1=子”是“数列a,是等比数列”的充要条件放选C 6.D方法一：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数 列{an},设其公比为g(g≠0)，由上面3节的容积之积为3，下 「a1·a19·a1q=3, 面3节的容积之积为9可知 解得a1g la19·a19·a19=9, =3,g3=3,所以第5节的容积为a9=a19·g3=5·3 =3.故选D. 方法二：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列 {an},由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9 可知a1a2a3=3,a,aga,=9,由等比数列的性质可知 a1a2a3 ag dy=（a1ag）·(a2ag）·（a3a,）=a=27.所以a5= √3.故选D. 7.1536由题意知g=0a5=8,an+15=an·g5=3×8= am 1536. 8①④在①帅，。=9，是等比数列：在2中，令a=2 ,3 数列3为3,3,3，…，而，≠，故不是等比数列：在 中，数列的项可能为零，故不一定是等比数列；在④中， 2a·361=q92,是等比数列. 2am·3b 3 9-+=2，+=t,又= a7a10 a7a10’ag ag g 15 5 a7 as ag ao agay 9 31 -8 10.【解析】依题意，设原来的三个数依次为日，0，a叫： 因为a ·a·ag=512,所以a=8. 又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差 数列， 所以（日-2+(ag-2)=2a 所以2g2-5g+2=0, 所以g=2或9=2， 所以原来的三个数为4,8,16或16,8,4. 因为4+8+16=16+8+4=28， 所以原来的三个数的和等于28 11.10由题知，该制药公司每年投入的研发资金满足等比数列 模型，且a1=50,g=1.2,所以an=50×(1.2)m-1,令an=50 ×(1.2)-1=250,所以(1.2)-1=5，所以n-1=log25= 点28=875，所以=975，又因为a为正整数，所以 n=10. 12.Aa2>a,.a19>a192,又a>0,.9>g,解得0<g<1, .等比数列{a.}是递减数列，∴.a3>a6,∴.充分性成立.反 之，由a3>a6,得a19>a19,又a1>0,∴.1>9，.9<1且 q≠0，∴.等比数列{a.}是递减数列或摆动数列，不一定得出 a2>a,.必要性不成立..“a2>a3”是“a3>a6”的充分不 必要条件，故选A 1B.【解析】（(1)由条件可得a1-2(m+D。 n 将n=1代入得，a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 将n=2代入得，a3=3a2,所以a3=12. 所以b1=1,b2=2,b3=4. (2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. 理由如下：由条件可得出=2a n+l n 即bn+1=2bn,又b1=1, 所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. (3)由(2)可得=2"-1，所以a,=n·2- 14.【解析】(1)从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为 a1,2,a3,…,0m, 由题意，得a1=13.5,a2=13.5×(1-10%),a3=13.5×(1 -10%)2,… 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9, 所以an=a1·g"-1=13.5×0.9-1, 所以n年后车的价值为am+1=13.5×0.9”万元 (2)由(1)得a5=a1·9=13.5×0.9≈8.9（万元）， 所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元 练案[9] 1.D由a1=a-1,得a1-1=Aa.-2=A(.-只) 数列{a,-1是等比数列…二=1，A=2, 2.B因为a1=0,+瓜+行=（瓜+分）广，所以 -a,=3,即a,是首项为瓜=1，公差为的等差数 列，可求得a,=(n+12,放an=10=250. 4 3.C因为am+1=4an-3,所以aa+1-1=4(an-1),所以b+1= 4b.,又b,=a1-1=-1≠0，所以数列{bn}是首项为-1，公比 为4的等比数列，所以bn=-1·4-1=-4-1,故选C. 4.Ba+a+…ta=nn),瓜+a+… 2 +a,-nn)卫(n≥2)，两式相减得a=n,+山 2 2 nn-山=n(n≥2)a,=n2(n≥2)，①.又当n=1时，Va 2 =12=1,a=1,适合①式，a,=n,neN.故选B, 2 5.B由题意得S2=4a1+2,所以a1+a2=4a1+2,解得a2=8, 又a+2=S+2-S+1=4an+1-4a,于是am+2-2am+l=2(aa+l -2an),因此数列{an+1-2an}是以a2-2a1=4为首项，2为 公比的等比数列，即a1-2a,=4×2=2,于是% 会=1，因此数列会}是以1为首项，1为公老的等老数列，得 )=1+(n-1)×1=n,即a,=n·2.所以a2=12×22 49152. 6.D由a+1=2a.+3可得a+1+3=2(a.+3),当a1=-3时， @。=二3，满足题意；当41≠一3时，。+3=2，所以数列 {an+3}是首项为a1+3,公比为2的等比数列，所以a。+3= (a1+3)×2-1,所以a.=(a1+3)×2"-1-3,所以☑2ms= (a1+3)×2224-3≥a1,所以(a1+3)×2224≥a1+3,所以 a1>-3.综上a1≥-3.