4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[7]第四章4.34.3.1[第1课时 等比数列的概念及通项公式] A组·基础巩固 9.已知a,}是等比数列，a=2,a=4,则a,= 1.在数列{an}中，an+1=2am,且a1=1,则a4= ,a1203040506= ）10.在等比数列{a.}中，a3=32,a=8. A.4 B.6 C.8 D.16 (1)求数列{an}的通项公式an; 2.已知a是1,2的等差中项，b是-1，-16的等 比中项，则ab= A.6 B.-6 C.±6 D.±12 3.设a1=2,数列{1+2an}是公比为3的等比数 列，则a6= ( A.607.5 B.608 C.607 D.159 4.已知等差数列{a.}的公差为1，且a2,a4,a7成 等比数列，则an= A.2n+1 B.2n+2 C.n+1 D.n+2 5.（多选)如果数列{a,}是等比数列，那么 A.数列{a}是等比数列 B.数列{2}是等比数列 C.数列{lgan}是等差数列 D.数列{an}(k≠0)是等比数列 6.(多选)已知正项等比数列{an}满足a1=2, a4=2a2+a3,若设其公比为g,则 A.9=2 B.a。=2” C.18是数列中的项D.an+an+1<a+2 7.若数列an}是等比数列，且a。=3-1+a-2, 则a= 8.写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数 列an= 105 (2)若a,=方，求n C组·拓展提升 14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c, 若a,b,c成等比数列，且a2-c2=ac-bc,求 角A的大小及0的值 B组·综合运用 11.已知不等式x2-5x-6<0的解集中有三个 整数解，构成等比数列{α}的前三项，则数列 {an}的第四项是 ( A.8 C.8或2 D8或号 12.若正项数列{an}满足a1=2,a+1-3am+1a.- 4a2=0,则数列{an}的通项公式an=（ A.22m-1 B.2” C.22m+1 D.22m-3 13.一个各项均为正数的等比数列，其每一项都 等于它后面的相邻两项之和，则公比9= —106&.202“s,是等差数列a的前n项和元} S是等差数 列，设其公差为d.“20252023 =2,∴.2d=2,d=1,a1= -2=-2, S2025 1 S=-2+(m-1)×1=n-3205 2025-3=2022, 9.【解析】从12月20日到第二年的1月1日共13天，每天领 取的奖品价值是以100为首项，以10为公差的等差数列， 设为{an},则a1=100,d=10,n=13, 所以共获奖品价值 S6=13×100+1312×10=2080(元). 2 因为2080>2000 所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 10.【解析】(1)设等差数列的公差为d, 因为在等差数列{an}中，a1o=18,S,=-15, ra1+9d=18, 所 5a+3x4xd=-15 解得9， d=3. 所以an=3n-12,neN. (2)因为a1=-9,d=3,am=3n-12, 所以又-a2=号(3r-21)=子(a-子)】 2 147 8 所以当n=3或4时，数列{an}的前n项和Sn取得最小值S3 =S4=-18. 11.B钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数 列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.·钢管总数为 1+2+3+…+n=n(n,+D.当n=19时，Sg=190.当n=20 2 时，S0=210>200.∴.当n=19时，剩余钢管根数最少，根数 为10根. 12.4am=Sm-Sm-1=-2+3=1,am+1=Sm1-Snm=0+2=2, 可知公差d=am+1-am=2-1=1,则am=a1+(m-1)d= a+m-1=1,即a1+m=2.又由Sn=ma1+m(仍-山： 2 -2,解得m=4(m=-1舍去). 13.【解析】设等差数列{an}共有(2n+1)项， 则奇数项有(n+1)项，偶数项有n项，中间项是第(n+1) 项，即an+1 所g.立a+aa+) S两 2(asta)n -m+1)a4-n+1-44-4 nan+1 n=33=3 —17 所以n=3. 因为S者=(n+1)a+1=44,所以am+1=11. 所以这个数列的中间项为11，共有2n+1=7项. 14.【解析】(1)设7月n日售出的服装件数为a.(neN,1≤ n≤31)，最多时售出a4件. ak=3+3(k-1), 「k=13, 由题意知 解得 a4-2(31-)=3,a4=39, ∴.7月13日该款服装销售最多，最多售出39件. (2)设S,是数列{am}的前n项和， r3n,1≤n≤13， .a= 65-2n,14≤n≤31， S,=3+3mn,1≤n≤13， 2 又S13=273, .Sn=273+(51-n)(n-13),14≤n≤31. S13=273>200, .∴.当1≤n≤13时，由Sn>200,得12≤n≤13， 当14≤n≤31时，日销售量连续下降， 由am<20,得23≤n≤31， .该款服装在社会上流行11天（从7月12日到7月22日）. 练案[7] 1.C因为a+1=2a.,a1=1,所以{a.}为公比为2的等比数列， 所以a4=a1·23=8,故选C. 2.ca-l2=公=(-0x(-16)=16,6=±4h =±6. 3.C因为1+2an=(1+2a1)×3-1,所以1+2a6=5×35,所以 0,=5×243-1=607 2 4.D因为a2,a4,a,成等比数列，故a=a2a,又因为等差数列 {an}的公差为1，即(a1+3)2=(a1+1)(a1+6),解得a1=3, 所以am=a1+(n-1)d=n+2. 5AD设1a,的公t为4=则会-会-(=)广 b a g,所以a}是等比数列：2=21-≠常数：当0，<0时， an 6a无意又：设6=a时分经=9，所以血，是等比 数列.故选AD. 6.ABD由题意可得2g3=4g+2g2,即g2-9-2=0,解得q=2 (负值舍去)，选项A正确；an=2×2-1=2",选项B正确，C 错误；a.+an+1=3a,而an+2=4an>3au,选项D正确. 2 7.2由题意可得，a1=a-1,a,=a+1,4=a+7,所以g+ a-T= 日7解得a=2 &0×3(答案不唯一）设数列a,的公比为9，则g=3,由 已知可得，<1,9a,<14<g,故a,可取0故满足条 件的等比数列的通项公式可能为a,=。×3 9.322”因为数列a,}是等比数列，且a1=7,4=4.所以等 比数列a,的公比g=受=8，所以=4，=4×8=2，所以 a1a2a3a4a5a6=a·g5=(2-1)6×(23)15=29. 10.【解析】(1)因为a5=a19,a3=a192, 所以寸-合=分4=128 1 所以q=±2 当g=2时，a=a91=128×(分）-2 当g=-时a,=a9=128×(-3)-(-10-2 所以an=28-"或an=(-1)"-128-a. (2)当0，=7时，即2-“=7或(-1)-2=7 解得n=9. 11.D不等式x2-5x-6<0的解集为{x-1<x<6},其中成 等比数列的三个整数为1,2,4，若数列前3项为1,2,4，则第 4项为8，若数列崩3项为4,21，则第4项为分 12.A由at1-3au+1am-4a7=0,得(am+l-4aa）·(a+l+a.） =0.又a}是正项数列，所以a1-4a,=0,出=4.由等 a 比数列的定义知数列{a.}是以2为首项，4为公比的等比数 列.由等比数列的通项公式，得an=2×4“-1=22m-1. 13.51由题意得a,=a1+a2,所以1=9+分，即)+g 2 -1=0,解得g=1,5或g=1)5(舍去. 2 14.【解析】a,b,c成等比数列，.b=ac, 又a2-c2=ac-bc,.a2-c2=b2-bc,即b2+c2-a2=bc, 在△ABC中，由余弦定理得cosA=+c2-d=c=1 ∴.A=60° 在△ABC中，由正弦定理得sinB=bsin A .bsin Bbsin A=sin A ac 2 —17 练案[8] 1C根据等比数列的性质可知aa,=心%，一名- 2.B依题意，不妨设a1=1,9=2,数列是递增的等比数列，由此 判断CD选项错误设4=-1,9=子，数列是递增的等比数 列，由此判断A选项不正确.故正确的选项为B. 3D由已知，a1=子4，则。=子，所以数列a是以 为公比的等比数列，则a,+,=g·(a,+a,)=子(a,+a,)= 2,所以a3+a4=8. 4.A因为{an}为等比数列，所以a3a,=a4a6=a1ag·所以 (a1a,)2=81,即a1a,=±9.因为在等比数列{an}中，奇数项 （或偶数项)的符号相同，所以a1,ag同号，所以a1ag=9. 5C当：=时，由-1得4宁+分=1，-日+3= 1,…,an=1,所以{an}是等比数列，充分性成立；反之若{an} 是等比数列，则a2=ta1+t=2t,a3=ta2+t=2t+t,又因为 a1,a,a3也成等比数列，所以aG=a1a,即4t=2t2+t,又t≠0， 所以1=方，此时a,=1(neN~),满足题意，必要性也成立 所以1=子”是“数列a,是等比数列”的充要条件放选C 6.D方法一：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数 列{an},设其公比为g(g≠0)，由上面3节的容积之积为3，下 「a1·a19·a1q=3, 面3节的容积之积为9可知 解得a1g la19·a19·a19=9, =3,g3=3,所以第5节的容积为a9=a19·g3=5·3 =3.故选D. 方法二：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列 {an},由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9 可知a1a2a3=3,a,aga,=9,由等比数列的性质可知 a1a2a3 ag dy=（a1ag）·(a2ag）·（a3a,）=a=27.所以a5= √3.故选D. 7.1536由题意知g=0a5=8,an+15=an·g5=3×8= am 1536. 8①④在①帅，。=9，是等比数列：在2中，令a=2 ,3 数列3为3,3,3，…，而，≠，故不是等比数列：在 中，数列的项可能为零，故不一定是等比数列；在④中， 2a·361=q92,是等比数列. 2am·3b 3