4.2.2 第1课时 等差数列的前 n 项和公式-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[5]第四章4.24.2.2[第1课时等差数列的前n项和公式] A组·基础巩固 9.在等差数列{an}中： (1)已知a6=10,S=5,求ag和S1o; 1.在等差数列{an}中，已知a1=10,d=2,Sn= 580,则n等于 A.10 B.15 C.20 D.30 2.（多选)在等差数列{an}中，d=2,an=11,Sn= 35,则a1可以等于 A.-1 B.3 C.5 D.7 3.已知数列{an}满足2an=an+1+an-1(n≥2)， a5=2,则S,= ( ) A.18 B.20 C.32 D.64 4.已知Sn=An2+Bn+C,下列选项中能使{an} 为以2作公差的等差数列的是 A.A=1,B=2,C=3 (2)已知a1=4,Sg=172,求ag和d. B.A=1,B=2,C=0 C.A=-1,B=2,C=0 D.A=-1,B=2,C=1 5.在等差数列{an}中，已知a1=-12,S13=0,则 使得am>0的最小正整数n= ( A.7 B.8 C.9 D.10 6设数列a,的前n项和为S,点(m,)ne N*)均在函数y=3x-2的图象上，则数列 {an}的通项公式am= 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3= S10,S6=S,则k= 8.在等差数列{an}中，已知公差d>0,a3+a= -4,a2a6=-12,则数列{1anI}的前4项和 S4= —101 10.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+c,13.已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n 求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等 项和，若S2=16,S4=24,求数列{|an1}的前 差数列 n项和Tn B组·综合运用 11.（多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和， 则下列选项中可能是S,所对应函数的图象 的是 ( o1234元 32 1 -2-101234n A B 41S 2 3 12 2 C组·拓展提升 O3 4 n -2-170i234元 14.若数列{an}是正项数列，且√a1+√a+… -3 C 0 +√an=n2+3n(neN*),则an= 12.记等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=3a1 a1+2+…+ 2+3 4 +6,a3n+1=3a+1-2,则an= —102设其公差为d, 由已知得c1=a1-b1=5,c7=17, 则5+6d=17,解得d=2, 故a19-b1g=c1g=5+18×2=41. 10.【解析】数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成 以3为首项，4为公差的等差数列， 由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列. (1)因为a1=3,d=-5, 所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n. 数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项，第7 项，第11项，…， 所以b1=a3=-7,b2=a,=-27 (2)设{an}中的第m项是bn}中的第n项， 即bn=am,则m=3+4(n-1)=4n-1, 所以bn=am=a4m-1=8-5×(4n-1)=13-20n, 即{bn}的通项公式为b.=13-20n(n∈N*). (3)b56=13-20×506=-10107, 设它是{an}中的第m项，则-10107=8-5m, 解得m=2023. 即{bn}中的第506项是{an}中的第2023项. 1.23因为301=3a,-2.所以a1-a.=-子，所以数列 a,是首项为15，公差为-号的等差数列，所以0，=15- 号a-)=-子+号令a=子+号>0得m< 2 2 47 23.5,又keN*,所以使a:·a+1<0的k值为23. 12.【解析】(1)由已知得a2-a=a21-a, 所以数列{a}是等差数列，设其公差为d. 由-4子。得成-店=2 所以2d=2,即d=1, 所以a2=a+(n-1)d=n. (2)由an>0,得an=n, 所以原不等式可化为√n+5+1<2n, 两边平方可得n+6+2/n+5<4n, 即2/n+5<3n-6 所以4(n+5)<(3n-6)2, 整理得(n-4)(9n-4)>0, 解得n>4或n<号 因为neN*,故n的最小值为5. 13.【解析】(1)由题表中数据可知，该数列从第2项起，每一 项与前一项的差都是常数9.8， 所以该模型是一个等差数列模型.因为a1=9.8,d=9.8, 所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s=9.8t. (2)当t=1min=60s时， s=9.8t=9.8×60=588(cm) 当s=49cm时，t=g.89.8 49 =5(s). 14.142记a,为第i行第j列的格中所填的数，则a2=x,a41=y. 由第3行得a-2y186,由第3列得4：=2×103-2x,所 2 以2x+y=113.①，由第1列得a21=3y,则由第2行得a23= 2×74-3y,由第3列得a3+103=a23+2x,则a23=3×103- 4x,所以2×74-3y=3×103-4x,即4x-3y=161②，联立① ②，得x=50,y=13,所以a15=2×186-a5=2×186-4x= 172,aB=2a-a=112,44=0sa5=142,放标有幸号的 2 空格应填142 练案[5] 1.C因为S=10m+a(n-)×2=斤+9n,所以2+9n= 580,解得n=20或n=-29(舍去). 2.AB由题意知a1+(n-1)×2=11, ① 5.=m+n(m,x2=35, 2 ② 由①②解得 m=5或m=7, la1=3la1=-1. 3.A因为2an=a+i+a-1(n≥2)，所以数列{an}是等差数列， 所以S,=9(a+a）-9x2a=9×2=18. 2 2 4.BC=0,公差为2A=2,故A=1,故选B. 5.B由5=13(a,+a=0,得a=12,则a,+12d=12,得 2 d=2,.数列{an}的通项公式为an=-12+(n-1)×2=2n -14,由2n-14>0,得n>7,即使得a,>0的最小正整数 n=8. 6.6n-5依题意得=3n-2,即8=3n-2,所以数列1a 为等差数列，且a1=S,=1,a2=S2-S,=7,设其公差为d,则 d=6,所以am=6n-5. 7.7:等差数列a,的前n项和8=+(a-号)n可 看作是关于n的二次函数且S,=So,·.对称轴方程为n= 30-号：8=56告-号解得=7 2 21 8.20由 a+21+a+d=-4,得-8或=4 或 (舍). (a+d)(a1+5d)=-12,ld=2,1d=-2 故a=2m-10,当≤4时a<0=-[4x(-8)+43 ×2=20. 0 9.【解析】(1) s=5a+34=5, a6=a1+5d=10, 解得厂5 d=3. .∴.ag=a6+2d=10+2×3=16, Sw=10a+10X94=10x(-5)+5x9x3=85. (2)由已知得S-8a,*al_84a-172. 2 2 解得ag=39 又：ag=4+(8-1)d=39, .d=5. l0.【解析】当n=1时，a1=S1=2+c, 当n≥2时，an=Sm-Sn-1=(n2+n+c)-[(n-1)2+(n- 1)+c]=2n. .数列{an}的通项公式是 r2+c,n=1, a, l2n,n≥2. (1)当c=0时，an=2n为等差数列； (2)当c≠0时，a1=2+c≠2×1， ·.数列an}不满足每一项与前一项的差是同一个常数， .am}不是等差数列，数列{am}是从第二项起以2为公差的 等差数列. 11.ABC因为Sn是等差数列{a,}的前n项和，所以S,=am2+ bn(a,b为常数，neN*),则其对应函数为y=ar2+bx.当 a=0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，C 满足题意；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一 些孤立的点，A,B满足题意；D中的曲线不过原点，不符合 题意。 12.2n-1因为s,=（a+9)x3=34=34,+6,所以a4-4 2 =2,即{an}的公差d=2.又aw+1=3an+1-2,故令n=1,得 a4=3a2-2.所以a1+3d=3a1+3d-2,所以a1=1.所以 am=2n-1. 13.【解析】设等差数列an}的首项为a1,公差为d, ,2×1d=16, 2a1+ 2 由S2=16,S4=24,得{ 4×3d=24 4a+ 即2a,+d=16, a1=9, 解得 2a1+3d=12,ld=-2, 所以等差数列{an}的通项公式为 a,=1-2n(neN*),前n项和为S,=n(9+】-2m=-n2 2 +10n. 17 由a,≥0，解得n≤5)，则 ①当n≤5时，Tn=la1l+la2l+…+1an|=a1+a2+…+an =Sn=-n2+10m. ②当n≥6时，Tn=|a1|+la21+…+1an|=a1+a2+…+a5 -a6-a,-…-an=2S5-Sn=2×(-52+10×5)-(-n2+ 10n)=n2-10n+50. 故7，={n+10m,n≤5， n2-10n+50,n≥6. 14.4(n+1)22n2+6n令n=1,得/a1=4,故a1=16.当n≥ 2时，a+a+…+/a-1=(n-1)2+3(n-1).与已 知式相减，得an=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2, .am=4(n+1)2.又n=1时，a1=16满足上式，an=4(n +0(aeN心年=4n+4号+号+…+ n+= n(8+4n+42=2m2+6n. 2 练案[6] 1.A 意0完号×1 2.D因为等差数列的前n项和S,是关于n的二次函数，以 由二次函数的对称性及S24=S2s,S:=S2,可得 2024+2025_k+2023,解得k=2026, 22 2 3.B由已知可知等差数列中S10=2000,S20=3500,因为S1o, Sn-S1o,S0-Sn成等差数列，所以2(Sn-S1o)=S10+(S0- S0),所以2×(3500-2000)=2000+(S0-3500),解得 S0=4500. 4.ABC根据等差数列的性质，若S=S1,则S!-S3=4(a,+ ag)=0,则a7+ag=0,S14= 4(a+a=7(a,+as)=0:根 2 据3的图象，当8=S时，对称轴是3-7，且d<0,那么 S7是最大值；若S,>Sg,则ag<0,且d<0,所以a,<0,所以 S,-Sg<0,即Sg>Sg;S-S6=ag+a,=2ag-d,符号不确定， 所以ABC正确. 5.C由条件知d<0,且a2m4>0,a2s<0,S4o7=4047a24> 0,S404s=2024(a1+a404s）=2024(a2m4+a2m）>0,S449= 4049a2o2s<0,故Sn>0的最大n值为4048. 6.12或1355-25(a,+0）=25a6=0,即a=0,又4，>0， 2 ∴.d<0,S12=S3最大 7.15等差数列有(2n-1)项，S奇-S偶=a.a。=15.又 S2m-1=(2n-1)am,.225+210=(2n-1)×15,.n=15.