4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[4]第四章4.24.2.1[第2课时 等差数列的性质及应用] A组·基础巩固 (2)已知等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+ 1.在等差数列{an}中，若a2+a6=6,a5=8,则 a1=70,求a1+ag的值； 1等于 A.20 B.25 C.30 D.33 2.已知等差数列{a.}的公差为d(d≠0)，且a+ a6+ao+a13=32,若am=8,则m=( A.12 B.8 C.6 D.4 3.（多选)下列命题中正确的是 ) A.若a,b,c成等差数列，则2a,2b,2c成等差 数列 B.若a,b,c成等差数列，则log2a,log2b,log2c 成等差数列 (3)已知数列{an},{b.}都是等差数列，且 C.若a,b,c成等差数列，则a+2,b+2,c+2 a1=2,b1=-3,a-b7=17,求a19-b19 成等差数列 的值. D.若a,b,c成等差数列，则a3,b3,c3成等差 数列 4.已知等差数列{a.}是递增数列，前3项的和为 12,前3项的积为48，则它的首项是 5.已知{bn}为等差数列，若b3=-2,b1o=12,则 b8= 6.各项都为正数的等差数列{an}中，2a3-a+ 2a11=0,则a5+ag= 7.已知等差数列{an}满足a5=2,a1=11,则 d-ai= 8.等差数列{an},{bn}满足对任意n∈N,都有10.已知无穷等差数列{a,}中，首项a1=3,公差 4=2n+3,则，4 +a5 d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组 b 4n-9'b3 +b9 b4 +bs 成数列{bn} 9.(1)已知等差数列{an}中，a5=10,a15=25,求 (1)求b1和b2; a2s的值； 099 (2)求{b.}的通项公式； 13.甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某 种类型的甲虫的爬行距离： 时间t/s 1 2 ? … 60 距离s/cm9.819.629.4… 49 … (1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲 (3){bn}中的第506项是{an}中的第几项？ 虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ B组·综合运用 11.已知数列{an}满足a1=15,且3an+1=3a.-2, 则ak·a4+1<0的k值为 12.已知正项数列{a.}满足a1=1,+a2+2= (2)利用建立的模型计算，甲虫1min能爬多 2a1,且a4-a=2 远？它爬行49cm需要多长时间？ a4+a) (1)求数列{}的通项公式； (2)求满足不等式an+5+1<2an的正整数n C组·拓展提升 的最小值 14.在下表所示的5×5正方形的25个空格中填 入正整数，使得每一行、每一列都成等差数 列，则标有*号的空格应填的数是 74 2y 186 103 0 2x —100(2)由题意得+d=11, 得厂12， la1+7d=5,ld=-1. 所以an=12+(n-1)×(-1)=13-n, 所以a1o=13-10=3. 11.B若“数列{a.}为等差数列”成立，必有“2a2=a1+a3”,而 仅有“2a2=a1+a3”成立，不能断定“数列{an}为等差数列” 成立，必须满足对任意的neN,都有2a+1=an+a+2成立 才可以，故“2a2=a1+a”是“数列{an}为等差数列”的必要 不充分条件 1 1 1 a+7a+1+d=3, a1+16, 12.ABD由题意得 解得{ 因 。11 Las+1=a+1+5d=1,d=6 1 1 11 1 此a++i+3d=3,故a已2a,+++2功 子解得4，=1 13.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知可 2a1+2d=8, 得 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d) 0 即数列{an}的首项是4，公差为0，或首项是1，公差为3. (2)由(1)可知a,=4或am=1+3(n-1)=3n-2, 当a,=4时，6.=4-)×4+2)=1， 18 此时bm+bm+1=2>bm+3=1,不满足题意； 当an=3n-2时， 6.=3n-2-1)(3n-2+22=n(n- 18 2 又bm+bm+1=bm+3 所以m(m-业+m(m+-(m+2)(m+3) 2 2 2 整理得m2-5m-6=0,因为m为正整数， 所以m=6: 14.BC由a.-am+2=2得a3=a1-2=8,由于2a2≠a1+a,所 以an}不是等差数列，A错误；由an-a+2=2,知{an}的偶 数项，奇数项分别构成等差数列，公差都为-2，当n=2k (keN*)时，a2=a2+(k-1)×(-2)=7-2k,当n=2k-1 (keN*)时，a2k-1=a1+(k-1)×(-2)=12-2k,故B、C 都正确；当n=2时，a2+a3=5+8=13不满足a.+a+1=18 -3n,故D错误 练案[4] 1.D因为a2+a6=2a4=6,所以a4=3.又a5=8,所以d=a5 a4=5,所以a1o=a5+(10-5)d=8+5×5=33 16 2.B由等差数列性质得a3+a6+a1o+a13=(a3+a1)+(a6+ a1o)=2ag+2ag=4ag=32,.ag=8,又d≠0，.m=8. 3.ACA中，a,b,c为等差数列，∴.2b=a+c,∴.2·(2b)=2a +2c,.2a,2b,2c成等差数列，故A正确：C中，.a,b,c成等 差数列，.2b=a+c,.2(b+2)=(a+2)+(c+2),∴.a+2, b+2,c+2成等差数列，故C正确；B、D显然错误 4.2由题意得a1+a2+a3=3a2=12,故a2=4,设公差为d,则 (a2-d)·a2·(a2+d)=4(4-d)(4+d)=48,解得d=4. 因为d>0,故d=2,a1=a2-d=4-2=2. 5.8方法一：：{bn}为等差数列，·可设其公差为d,则d= b。-b-2--2=2b,=h+(n-3)d=2n-8.∴6s= 10-3 7 2×8-8=8. 方法二：由亭0合=得，0含×5+62x5 +(-2)=8. 6.8因为an}为各项都为正数的等差数列，又2a3-a+2a1u =0,所以4a1-a7=0,即a7=4,所以a5+ag=2a7=8. 7.36方法一：设数列首项为a1,公差为d,则{ a+4d=2,解 a1+10d=11. r41=-4, 得 所以，=a+71=-4+-号=4+d d=2 4+是故-店（侵）”-(）146 方法二：因为a5+ag=a2+a11,则a1-a5=ag-a2=9,因此， a-a=(ag-a2)(ag+a2)=9×2a5=36. 8.1由等差数列的性质可得b3+b,=b+bg=2b6,a,+a5= 2%所以+a会会-8号1 9.【解析】(1)方法一：设am}的公差为d, 则厂+4l=10, ra1=4, 解得 3 1a+14d=25,d=2, 放as=a+24d=4+24×子=40， 方法二：因为5+25=2×15， 在等差数列{an}中，有a5+a2s=2a1s, 所以a2s=2a15-a5=2×25-10=40. (2)由等差数列的性质，得 a3+a7=a4+a6=2a5=a1+ag, 所以a3+a4+a5+a6+a,=5a5=70, 解得a5=14,故a1+ag=2a5=28. (3)令cn=am-bn, 因为an},{bn}都是等差数列， 所以{cn}也是等差数列. 9 设其公差为d, 由已知得c1=a1-b1=5,c7=17, 则5+6d=17,解得d=2, 故a19-b1g=c1g=5+18×2=41. 10.【解析】数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成 以3为首项，4为公差的等差数列， 由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列. (1)因为a1=3,d=-5, 所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n. 数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项，第7 项，第11项，…， 所以b1=a3=-7,b2=a,=-27 (2)设{an}中的第m项是bn}中的第n项， 即bn=am,则m=3+4(n-1)=4n-1, 所以bn=am=a4m-1=8-5×(4n-1)=13-20n, 即{bn}的通项公式为b.=13-20n(n∈N*). (3)b56=13-20×506=-10107, 设它是{an}中的第m项，则-10107=8-5m, 解得m=2023. 即{bn}中的第506项是{an}中的第2023项. 1.23因为301=3a,-2.所以a1-a.=-子，所以数列 a,是首项为15，公差为-号的等差数列，所以0，=15- 号a-)=-子+号令a=子+号>0得m< 2 2 47 23.5,又keN*,所以使a:·a+1<0的k值为23. 12.【解析】(1)由已知得a2-a=a21-a, 所以数列{a}是等差数列，设其公差为d. 由-4子。得成-店=2 所以2d=2,即d=1, 所以a2=a+(n-1)d=n. (2)由an>0,得an=n, 所以原不等式可化为√n+5+1<2n, 两边平方可得n+6+2/n+5<4n, 即2/n+5<3n-6 所以4(n+5)<(3n-6)2, 整理得(n-4)(9n-4)>0, 解得n>4或n<号 因为neN*,故n的最小值为5. 13.【解析】(1)由题表中数据可知，该数列从第2项起，每一 项与前一项的差都是常数9.8， 所以该模型是一个等差数列模型.因为a1=9.8,d=9.8, 所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s=9.8t. (2)当t=1min=60s时， s=9.8t=9.8×60=588(cm) 当s=49cm时，t=g.89.8 49 =5(s). 14.142记a,为第i行第j列的格中所填的数，则a2=x,a41=y. 由第3行得a-2y186,由第3列得4：=2×103-2x,所 2 以2x+y=113.①，由第1列得a21=3y,则由第2行得a23= 2×74-3y,由第3列得a3+103=a23+2x,则a23=3×103- 4x,所以2×74-3y=3×103-4x,即4x-3y=161②，联立① ②，得x=50,y=13,所以a15=2×186-a5=2×186-4x= 172,aB=2a-a=112,44=0sa5=142,放标有幸号的 2 空格应填142 练案[5] 1.C因为S=10m+a(n-)×2=斤+9n,所以2+9n= 580,解得n=20或n=-29(舍去). 2.AB由题意知a1+(n-1)×2=11, ① 5.=m+n(m,x2=35, 2 ② 由①②解得 m=5或m=7, la1=3la1=-1. 3.A因为2an=a+i+a-1(n≥2)，所以数列{an}是等差数列， 所以S,=9(a+a）-9x2a=9×2=18. 2 2 4.BC=0,公差为2A=2,故A=1,故选B. 5.B由5=13(a,+a=0,得a=12,则a,+12d=12,得 2 d=2,.数列{an}的通项公式为an=-12+(n-1)×2=2n -14,由2n-14>0,得n>7,即使得a,>0的最小正整数 n=8. 6.6n-5依题意得=3n-2,即8=3n-2,所以数列1a 为等差数列，且a1=S,=1,a2=S2-S,=7,设其公差为d,则 d=6,所以am=6n-5. 7.7:等差数列a,的前n项和8=+(a-号)n可 看作是关于n的二次函数且S,=So,·.对称轴方程为n= 30-号：8=56告-号解得=7 2 21 8.20由 a+21+a+d=-4,得-8或=4 或 (舍). (a+d)(a1+5d)=-12,ld=2,1d=-2 故a=2m-10,当≤4时a<0=-[4x(-8)+43 ×2=20. 0