4.2.1 第1课时 等差数列的概念与通项公式-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[3]第四章4.24.2.1[第1课时 等差数列的概念与通项公式] A组·基础巩固 10.在等差数列{an}中. 1.已知在等差数列{an}中，a1=1,d=3,则当 (1)若a=15,a17=39,试判断91是否为此 an=298时，n 数列中的项； A.90 B.96 C.98 D.100 2.已知数列{an}满足a1=1,a+1=an+6,则 a5= ( A.25 B.30 C.32 D.64 3.设x是a与b的等差中项，x2是a2与-b2的 等差中项，则a,b的关系是 ( A.a=-b B.a=3b C.a=-b或a=3b D.a=b=0 4.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是 ( A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 5.(多选)下列通项公式表示的数列为等差数列 (2)若a2=11,ag=5,求a1o 的是 ( A.a =3n+1 B.a,=n2+1 C.an=1 D.a =1-2n 6.若首项为-21的等差数列{a,}从第8项起开 始为正数，则公差d的取值范围是 A.(3,+∞） B(-, c3,3) n3.1 7.在等差数列{an}中，已知a2=2,a5=8,则ag= 8.设a>0,b>0,若ln3是ln9与ln3的等差 中项，则2a+b= 9.在数列{a.}中，若√a.1=√a。+2,a1=8,则 数列{a,}的通项公式为 —097 B组·综合运用 (2)设0.=（a.-1a.+2,若6.+6.1= 18 11.已知数列{an}是无穷数列，则“2a2=a1+a3” bm+3,求正整数m的值. 是“数列{an}为等差数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 12.（多选)在数列{an}中，已知a2=2,a6=0,且 数列a+} 1}是等差数列，公差为d,则 ( A.4-2 1 B.a3=1 cd- D.d=1 6 13.（2024·盐城月考)在等差数列{an}中，a1+ a3=8,且ai=42·ag (1)求数列{an}的首项和公差； C组·拓展提升 14.(多选)已知数列{an}满足：a1=10,a2=5, a。-am+2=2(n∈N*),则下列说法正确的有 () A.数列{an}是等差数列 B.a2=7-2k(k∈N) C.a2k-1=12-2k(k∈N*) D.an+am+1=18-3n 09888 92 aa,=8,①，a14…4,=9,②，②÷①得，4=8 8 92由a1+2a,+2a+…+2-a,=n①得：当n=1时，4=l: 当n≥2时，a1+2a,+22a+…+2-2a-1=n-1②，①-②得 2a,=1.a2所以a2品 1 1 10.【解析】(1)因为an=a.-1+am-2(n≥3)，且a1=1,a2=2, 所以a3=a2+a1=3,a4=a+a2=3+2=5,a5=a4+a= 5+3=8. 故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8. (2)因为b.=04,且a1=1,4=2,a=3,a4=5,a5=8, an+l a5-8 故发别么的首4项依次为6=分4=号么=是 6= 1.Ag=a+n(1+十)a=a+h1+2）,a. 1+h(1+n)(≥2)，则a.=a+n(2×子×号× ×n0)=2+nn(n≥2.又a=2=2+nl,所以a,= 2+In n. 12.√n+1因为a,=am-1+ +n+i+后n≥2)，所以a,-a, ++石T-瓜，所以-a=5-E,4-4 1 =4-5,…,an-a-1=n+I-n(n≥2).以上各式相 加，得a.-a1=√n+I-2(n≥2)，所以a=a1+√n+I √2=√n+I(n≥2)，又a1=√2适合上式，所以an=√n+I. 13.【解析】当n≥2时，因为(2n+1)an=(2n-3)a.-1, 所以=2-3. am-12n+1, 所以g.4.4..0.0 a a2 a3 0n-20m-l =写×号×号×…×2028 ,.2n-52n-3 1×3 所以色、 3 a1(2n-1)(2n+1)1 3 所以a,=(2n-1)(2n+1)' 当n=1时，a1=1符合上式， 3 所以a,=2n-12n+ineN 16 14.【解析】因为2Sn=(n+1)au,neN*, 所以2Sm+i=(n+2)am+1,n∈N, 两式相减得2am+1=(n+2)an+1-(n+1)a., 整理得nan+1=(n+1)a, -aeN, n 所以巴}为常数列， I n 所以%=号=2，所以。，=2n 、n 练案[3] 1.D由题意知1+3(n-1)=298,解得n=100 2.A由a+1=an+6得a+1-an=6,所以{am}是以6为公差的 等差数列，又a1=1,所以a5=a1+(5-1)×6=1+24=25,故 选A. 30由等龙中项的定义知=兰-，所以。 2 (空），即。2-2ab-36=0放a=-6或a=36 4.B.'a1=20,d=-3,∴.am=20+(n-1)×(-3)=23-3n, ∴.a,=2>0,ag=-1<0.故数列中第一个负数项是第8项. 5.ACD对于A,:aa+1-an=3(n+1)+1-(3n+1)=3为常 数..此数列为等差数列，A正确；对于B,an1-a,=(n+1) +1-(n2+1)=2n+1,不是一个常数，故该数列不是等差数 列，B不正确；对于C,a+1-a=1-1=0为常数，该数列是等 差数列，C正确；对于D,a+1-an=1-2(n+1)-(1-2n)= -2为常数，该数列是等差数列，D正确.故选ACD. 6.D由题意可知an=-21+(n-1)d.:从第8项起开始为正 数，a=-21+6d≤0，a=-21+7d>0,解得3<d≤子故 选D 7.16设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由a2=2, 48,得+d=2 解得=0， 所以a,=a1+8d=16. la1+4d=8,ld=2, 8.2ln3是ln9与n3的等差中项，∴.2ln3=ln9+ln3, .ln32=ln(9.3)=n32a+,.32=32a+b,2a+b=2. 9.an=2(n+1)2由题意得√a+l-√a,=2,故数列{√an 是首项为a=22,公差为√2的等差数列，所以an=2√2 +√2(n-1)=√2n+2,故an=2(n+1)2 a1+4d=15, 10.【解析】(1)由题意得 解得7， a1+16d=39,ld=2, 所以am=7+2(n-1)=2n+5. 令2n+5=91,得n=43. 因为43为正整数，所以91是此数列中的项. 8 (2)由题意得+d=11, 得厂12， la1+7d=5,ld=-1. 所以an=12+(n-1)×(-1)=13-n, 所以a1o=13-10=3. 11.B若“数列{a.}为等差数列”成立，必有“2a2=a1+a3”,而 仅有“2a2=a1+a3”成立，不能断定“数列{an}为等差数列” 成立，必须满足对任意的neN,都有2a+1=an+a+2成立 才可以，故“2a2=a1+a”是“数列{an}为等差数列”的必要 不充分条件 1 1 1 a+7a+1+d=3, a1+16, 12.ABD由题意得 解得{ 因 。11 Las+1=a+1+5d=1,d=6 1 1 11 1 此a++i+3d=3,故a已2a,+++2功 子解得4，=1 13.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知可 2a1+2d=8, 得 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d) 0 即数列{an}的首项是4，公差为0，或首项是1，公差为3. (2)由(1)可知a,=4或am=1+3(n-1)=3n-2, 当a,=4时，6.=4-)×4+2)=1， 18 此时bm+bm+1=2>bm+3=1,不满足题意； 当an=3n-2时， 6.=3n-2-1)(3n-2+22=n(n- 18 2 又bm+bm+1=bm+3 所以m(m-业+m(m+-(m+2)(m+3) 2 2 2 整理得m2-5m-6=0,因为m为正整数， 所以m=6: 14.BC由a.-am+2=2得a3=a1-2=8,由于2a2≠a1+a,所 以an}不是等差数列，A错误；由an-a+2=2,知{an}的偶 数项，奇数项分别构成等差数列，公差都为-2，当n=2k (keN*)时，a2=a2+(k-1)×(-2)=7-2k,当n=2k-1 (keN*)时，a2k-1=a1+(k-1)×(-2)=12-2k,故B、C 都正确；当n=2时，a2+a3=5+8=13不满足a.+a+1=18 -3n,故D错误 练案[4] 1.D因为a2+a6=2a4=6,所以a4=3.又a5=8,所以d=a5 a4=5,所以a1o=a5+(10-5)d=8+5×5=33 16 2.B由等差数列性质得a3+a6+a1o+a13=(a3+a1)+(a6+ a1o)=2ag+2ag=4ag=32,.ag=8,又d≠0，.m=8. 3.ACA中，a,b,c为等差数列，∴.2b=a+c,∴.2·(2b)=2a +2c,.2a,2b,2c成等差数列，故A正确：C中，.a,b,c成等 差数列，.2b=a+c,.2(b+2)=(a+2)+(c+2),∴.a+2, b+2,c+2成等差数列，故C正确；B、D显然错误 4.2由题意得a1+a2+a3=3a2=12,故a2=4,设公差为d,则 (a2-d)·a2·(a2+d)=4(4-d)(4+d)=48,解得d=4. 因为d>0,故d=2,a1=a2-d=4-2=2. 5.8方法一：：{bn}为等差数列，·可设其公差为d,则d= b。-b-2--2=2b,=h+(n-3)d=2n-8.∴6s= 10-3 7 2×8-8=8. 方法二：由亭0合=得，0含×5+62x5 +(-2)=8. 6.8因为an}为各项都为正数的等差数列，又2a3-a+2a1u =0,所以4a1-a7=0,即a7=4,所以a5+ag=2a7=8. 7.36方法一：设数列首项为a1,公差为d,则{ a+4d=2,解 a1+10d=11. r41=-4, 得 所以，=a+71=-4+-号=4+d d=2 4+是故-店（侵）”-(）146 方法二：因为a5+ag=a2+a11,则a1-a5=ag-a2=9,因此， a-a=(ag-a2)(ag+a2)=9×2a5=36. 8.1由等差数列的性质可得b3+b,=b+bg=2b6,a,+a5= 2%所以+a会会-8号1 9.【解析】(1)方法一：设am}的公差为d, 则厂+4l=10, ra1=4, 解得 3 1a+14d=25,d=2, 放as=a+24d=4+24×子=40， 方法二：因为5+25=2×15， 在等差数列{an}中，有a5+a2s=2a1s, 所以a2s=2a15-a5=2×25-10=40. (2)由等差数列的性质，得 a3+a7=a4+a6=2a5=a1+ag, 所以a3+a4+a5+a6+a,=5a5=70, 解得a5=14,故a1+ag=2a5=28. (3)令cn=am-bn, 因为an},{bn}都是等差数列， 所以{cn}也是等差数列. 9