4.1 第2课时 数列的递推公式及前 n 项和-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[2] 第四章4.1[第2课时 数列的递推公式及前n项和] A组·基础巩固 10.已知数列{an}中，a1=1,2=2,以后各项由 1.已知数列{an}的首项为3，am+1-an=2n-8 am=am-1+a.-2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前5项； (neN*),则ag等于 ( A.0 B.3 C.8 D.11 2.已知a1=1,am=an-1+3(n≥2，n∈N*),则数 列的通项公式为 ( A.a =3n +1 B.a =3n C.a =3n-2 D.an=3(n-1) 3.（多选)符合递推关系式an=√2an-1的数列是 A.1,2,3,4,… B.1,2,2,2√2，… C.2,2,22,4,… D.0,2,2,22,… 4.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a,= ( (2)通过公式b。=构造一个新的数列 an+l A.15 B.17 C.49 D.64 {bn},写出数列{bn}的前4项. 5.(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn= 2”+1-1,下列说法正确的是 ( A.a1=3 B.am=2n(n≥2) C.an=2” D.am=2"(n≥2) 6.数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足0m+2= a+1+an(n≥1)，那么1+a2+a4+a6+…+ a2025等于 ( A.a2023B.a224C.a2025 D.a2026 7.数列{an}中，已知a1=5,且an+1=an+ （-1)”,则a10= 8.已知在数列{an}中，a1a2…an=n2(n∈N*), 则ag= 9.设数列{an}满足a1+2a2+2a3+…+2”-a. =n(neN*),则a1= 095 B组·综合运用 C组·拓展提升 11.在数列{a.中，a1=2,a1=a+ln(1+1) 14.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=(n+ 1)an(n∈N*),且a1=2,求数列{an}的通项 则数列{an}的通项公式为an= 公式 A.2+In n B.2+(n-1)nn C.2+nln n D.1+n+In n 12.已知数列{an}满足a1=2,an=am-1+ 1 n+1+n (n≥2)，则an=一 13.已知数列{an}中，a1=1,当n∈N*且n≥2 时，(2n+1)an=(2n-3)an-1,求通项公 式an -096[练案部分] +4=10根火柴棒组成，…，第51个图中的火柴棒有51×2 练案[1] +52=154根.枚选B. 1.Aa1-a,=31-3=2×3>0,a+1>a,即a.}是递12.ABD由题意，数列a,的通项公式为a,=2n可得a 增数列. 号a=号4=4，a=-4,4=-号，显然<<a 4 4 2.D由题意得，√2n-1=35,即2n-1=45,解得n=23,故 选D. a6<a7,a5>a6.故满足a.<an+1的n的值有3,4,6. 3.B由数列3,5,9,17,33，…，所以a1=2+1=3,排除C、D选 项，通过验证，a1,a2,a,a4,a;都满足B项中数列的通项 13.【解析】(1)由已知，得-p+g=0, 4-2p+q=-4, 公式 P=7 解得 所以a=n2-7n+6, 4C由数列号，一专，号一8，可知，奇数项的符号为正 g=6, 所以a5=52-7×5+6=-4. 号，偶数项的符号为负号，而分子为偶数2n(n为项数)，分母 (2)令a,=n2-7n+6=150,解得n=16或n=-9(舍去)， 比分子大1，放可得到通项公式a,=(-1)1·,2n 2n+7所以 所以150是该数列中的项，并且是第16项. a0=(-1)"×20怎-20 :14.61从整体上来看，每个图形都是正方形的形状.都是由n 2=-27 行n列小正方形和(n-1)行(n-1)列小正方形构成.于是 5.A因为a3=-5,an=(-1)”·2"+a,所以-8+a=-5,解 f1)=12+02f2)=22+12,f(3)=32+2,f4)=42+32, 得a=3,故选A 故f(n)=n2+(n-1)2,当n=6时，f6)=62+52=61. 6.BC令n2-8n+15=3,解此方程可得n=2或n=6,所以3 可能是该数列的第2项，也可能是该数列的第6项，a=9- 练案[2] 24+15=0. 1.B由an+1-an=2n-8,得a2-a1=-6,a3-a2=-4,…,ag 7.20由通项公式得a2=2×2-2=2,a=3×3+1=10,所以 -a,=6,由累加法得ag-a=-6+（-4)+(-2)+0+2+4 a2a3=20. +6=0,所以ag=a1=3. 8674由a,=2024-3n>0,得n<2g4,又因为neN,所以2.C因为a.=a1+3,所以a.-01=3.所以-a=3e 正整数n的最大值为674. -a2=3,a4-4=3,…,an-an-1=3,以上各式两边分别相 9(）广}=(-0×分g=(-1×女易 加，得an-a1=3(n-1),因为a1=1,所以an=a1+3(n-1) =1+3(n-1)=3n-2.当n=1时，也适合上式，所以a.=3n (-1)产×分，=(-1)了×，所以其一个通项公式是 -2. 3.BCB与C中从第2项起，后一项是前一项的2倍，符合递推 =(号)月 公式am=√2a-1·A中，后一项与前一项之差为1，递推公式为 10.【解析】(1)令an=-n2+n+110=20, aw=a-1+1.D中，无法推出递推公式.综上，B、C正确， 即n2-n-90=0. 4.B由已知，ag=S,-Sg=92-82=17. ∴.(n+9)(n-10)=0, 5.ADSn=2+1-1,当n=1时，a=S,=2l1-1=3;当n≥2 n=10或n=-9(舍去) 时，an=Sn-S.-1=(2"+1-1)-(2-1)=2”.当n=1时，不 ∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项. 「3，n=1, 符合上式，故an={ (2)令an=-n2+n+110=0, 2",n≥2. 即n2-n-110=0, 6.D由于an+2=a+l+an(n≥1)，则1+a2+a4+a6+…+a2s ∴.(n-11)(n+10)=0, =a1+a2+a4+a6++a2025=a3+a4+a6++a225=a5+ .n=11或n=-10(舍去)， a6+…+a20ms=a224+a205=a202s .当n=11时，am=0. 7.4因为a4+1=a。+(-1)“,所以a+1-an=(-1)”,所以a10 11.B从横竖两个角度观察，第一个图由1×2+2根火柴棒组 =a10-%+ag-ag+…+a2-a1+a1=(-1)°+(-1)8+… 成，第二个图由2×2+3=7根火柴棒组成，第三个图由3×2+(-1)'+5=4. —167 881 a4…a=8,①，aaa=9,②.2÷①得，a,=g 9214.【解析】因为2S,=(n+1)an,neN, 所以2Sn+i=(n+2)am+l,n∈N, -80 两式相减得2a+l=(n+2)a+l-(n+1)aa, 整理得nam+1=(n+I)a:, 92由a1+2a,+2a+…+2-a.=n①得：当n=1时，4=1： 得=a,neN, 当n≥2时，a1+2a,+2a+…+2”-2a-1=n-1②，①-②得 n+1 n 24=1.a2六所以a12=2品 1 所以侣}为常釜列。 10.【解析】(1)因为a,=a-1+a-2(n≥3)，且a=1,a2=2, 所以号=号=2，所以a,=2n n 所以a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3= 5+3=8. 练案[3] 故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a=8. 1.D由题意知1+3(n-1)=298,解得n=100 (2)因为b.=0,且41=1,4，=2，=3,04=5,4，=8， an+l 2.A由an+1=a,+6得a+1-an=6,所以{an}是以6为公差的 等差数列，又a1=1,所以a,=a1+(5-1)×6=1+24=25,故 a=8 选A. 故数列6，的菌4项依次为么=2山=子，4=子， C由等龙中项的定义知=兰所以。 2 (),即a-2ab-36=0放a=-6或a=3h 山.Ag=a+n(1+十)a=a+h1+2）,a.= 4.B:a1=20,d=-3,∴.an=20+(n-1)×(-3)=23-3n, ∴.a,=2>0,ag=-1<0.故数列中第一个负数项是第8项. a1+n(1+n）(n≥2)，则a=a,+ln(2×弓×号×5.AcD对于A,a1-a,=3(n+1)+1-(3n+1)=3为常 3.4 数..此数列为等差数列，A正确；对于B,a1-a,=(n+1) ×n0)=2+hn(n≥2).又a=2=2+nl1,所以a,= +1-(n2+1)=2n+1,不是一个常数，故该数列不是等差数 2+In n. 列，B不正确；对于C,a+1-an=1-1=0为常数，该数列是等 12.√n+1因为a.=aa-1+ tn+i+后n≥2)，所以a,-a, 差数列，C正确；对于D,aa1-an=1-2(n+1)-(1-2n)= -2为常数，该数列是等差数列，D正确.故选ACD. ++石n+7-瓜，所以-a=厅-E,4-4,6.D由题意可知a,=-21+(m-11从第8项起开始为正 1 =4-5,…,an-a-1=n+-万(n≥2).以上各式相 数，a,=-21+6d≤0，a,=-21+7d>0,解得3<d≤子故 加，得aa-a1=√n+I-2(n≥2)，所以a=a1+√n+I- 选D. 2=√n+I(n≥2)，又a1=2适合上式，所以a.=√n+1. 7.16设等差数列an}的首项为a1,公差为d,则由a2=2, 13.【解析】当n≥2时，因为(2n+1)am=(2n-3)a.-1, 4=8,得+d=2 8解得=0， 所以a,=a1+8d=16. la1+4d=8,ld=2, 所以=2n-3 0m-12n+1: 8.2n3是ln9与n3的等差中项，∴2ln3=n9+ln3, 所以g.4.4..0.0 .ln32=ln(9.3)=ln3a+b,.32=32a+b,2a+b=2. an-2 an-1 9.an=2(n+1)2由题意得√a+l-√a=2,故数列{√an .2n-52n-3 1×3 2n-1*2n+1(2n-1)(2n+1) 是首项为/a=2√2，公差为2的等差数列，所以an=22 所以色。、 3 +√2(n-1)=2n+2,故an=2(n+1)2. a1(2n-1)(2n+1) 3 0.【解折】()由题意得+4=15， 得s7, 所以a,=(2n-1)(2n+1) la1+16d=39,ld=2, 当n=1时，a1=1符合上式， 所以am=7+2(n-1)=2n+5. 3 令2n+5=91,得n=43 所以a,=(2n-1)2n+i,neN, 因为43为正整数，所以91是此数列中的项. -168