安徽省安庆市望江县新桥中心学校2025-2026学年九年级上学期第二次学情检测数学试卷

2025~2026学年度第一学期第二次学情检测 九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。 3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1．的值等于（ ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象经过点，下列各点在此反比例函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ） A．m B．5m C．m D．m 5．设函数的图象与轴交点的横坐标分别为，，函数的图象与轴交点的横坐标分别为，，当和时，函数的值分别为，；当和时，函数的值分别为，，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，是边延长线上一点，交于，则图中的相似三角形共有（ ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 7．如图，在中，，是边上的高线，设，则（ ） A． B． C． D． 8．函数于在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 9．如图，直线与与，轴正半轴交于，两点，则（ ） A．2 B． C． D． 10．如图，中，，于点，若，则的值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．计算：______________. 12．如图所示，的顶点，分别在轴正半轴，轴负半轴上，点在第一象限内，交轴于点，反比例函数分别交，于点，，过点作轴交于点，且，，若的面积为36，则的值为____________. 13．如图，，，，，则点到直线的距离是_____________. 14．已知点，都在抛物线上，且. （1）若，则_____________； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是_____________. 三.解答题（共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（1）计算：； （2）已知是锐角，且，求的值. 16．已知在中，已知； （1）求解三个角的度数大小； （2）是上的一点，在以下三个条件里选择两个条件，求解的长度. ①是的角平分线； ②已知，，的长度为，的比例中项； ③. 四.解答题（共2小题，每小题8分，满分16分） 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，（每个方格的边长均为1个单位长度）. （1）作关于轴的轴对称图形，请在平面直角坐标系中画出，并填写，的坐标. 点的坐标为（_______，________）；点的坐标为（_______，________）. （2）的顶点坐标分别为，，，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（_______，________）. 18．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点. （1）求反比例函数的关系式与的值； （2）根据图象直接写出不等式时的取值范围； （3）若动点在轴上，求的最小值. 五.解答题（共2小题，每小题10分，满分20分） 19．如图，在中，，于，，，连接交于点. （1）求证：四边形是矩形； （2）如果，，求的长. 20．综合与实践活动中，要测量一个信号塔的高度，如图，信号塔前有一段高为的台阶，已知的长为5米，高为3米，点、、在同一条水平直线上.在点处测得点的仰角为45°，在点处测得点的仰角为38.7°. （1）求的长； （2）设塔的高度为（单位：m） ①用含有的式子表示线段的长； ②求塔的高度（，结果保留整数） 六.解答题（本题满分12分） 21．（12分）【阅读理解】如图1，在中，、、所对的边分别为、、，可以得到：. 【证明】：过点作，垂足为，在中，， ，同理， ； 【学以致用】 （1）如图2，在中，，，，求的长. （2）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择、、三个测量点，在点测得在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18m到达点，测得在北偏西45°方向上，根据以上信息，求、、三点围成的三角形的面积.（本题参考数值：，，，结果取整数） 图1 图2 图3 七.解答题（本题满分12分） 22．（12分）【问题探究】 （1）如图①，在矩形中，点、分别是、边的中点，连接、，求证：； 【问题拓展】 （2）如图②，在四边形中，，，点是的中点，点是边上一点，连接、交于点，. ①求证：； ②若，，直接写出的值. 八.解答题（本题满分14分） 23．（14分）如图①，二次函数的图象与直线交于，两点，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为. （1）____________，_____________； （2）将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）. ①记的面积为，的面积为，如点在直线的上方，且满足，求：及相应的、的值； ②当时，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接、、，若，求：点的坐标. 2025~2026学年度第一学期第二次学情检测 九年级数学（沪科版）参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D A B A C C A 1．【答案】B 【解答】解：原式. 2．【答案】A 【解答】解：抛物线，当时，， 抛物线的顶点坐标是. 3．【答案】D 【解答】解：反比例函数的图象经过点，， A.，故点不在反比例函数图象上，该选项不符合题意； B.，故点不在反比例函数图象上，该选项不符合题意； C.，故点不在反比例函数图象上，该选项不符合题意； D.，故点，在反比例函数图象上，该选项符合题意； 4．【答案】D 【解答】解：过点作，垂足为，根据题意得：，m， 设m，则m，由勾股定理， 得：，解得：（负值已舍去）. 5．【答案】A 【解答】解：、是方程的两根，、是方程的两根， ，，，，当和时，函数的值分别为，， ， .当和时，函数的值分别为，， ， ， ， ，. 方法二：函数的图象与轴交点的横坐标分别为，， 则，函数的图象与轴交点的横坐标分别为， 则，，， ，，. 6．【答案】B 【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，. 7．【答案】A 【解答】解：由题知，，是边上的高线， ，. 在不同的直角三角形中，根据正弦、余弦及正切的定义可知，； ；；， 由得，，所以，即，故A选项符合题意. ，显然与一定不相等， 所以一定不等式，故B选项不符合题意， ，显然与一定不相等，所以一定不等于，故C选项不符合题意. ，显然与不一定相等， 所以不一定等于.故D选项不符合题意. 8．【答案】C 【解答】解：分两种情况讨论： ①当时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数开口向上，与轴交点为，都不符； ②当时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数开口向下，与轴交点为，C符合. 9．【答案】C 【解答】解：，令，则，令，则，解得， ，，，，. 10．【答案】A 【解答】解：由条件可得，，， . 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．【答案】1 【解答】解：. 12．【答案】24 【解答】解：，设，则，， ，，即：，设，， 分别过点，，，作的垂线，垂足分别为，，，，如图： ，，， 即：，，，同理：，， ，点的坐标为， ，，，， ，设，则，， ，， 点的坐标为，点，均在反比例函数的图象上， ，整理得：①，的面积为36，， ，②，由①②得：，. 13．【答案】4.8 【解答】解：设点到直线的距离是，，， ，，，，解得：， 即点到直线的距离是4.8. 14．【答案】（1）；（2）. 【解答】解：（1），点，关于直线对称， ，，联立，得，解得，； （2）点，在直线两侧，且，点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ，，，，即，， 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远，，， 解得，，，，即， 由题意知当时，有最大值0，，即，的取值范围是. 三.解答题（共2小题，每小题8分，满分16分） 15．【答案】（1）2；（2） 【解答】解：（1）； （2）且是锐角，， 原式 . 16．【答案】（1），，；（2）. 【解答】解：（1），，，； （2）选条件①②.如图，平分，，，， ，，的长度是，的比例中线，， ，. 四.解答题（共2小题，每小题8分，满分16分） 17．【答案】（1）画图见解答：；0；；2（2）0；. 【解答】解：（1）如图，即为所求. 点的坐标为，点对的坐标为. （2）如图，作射线，，，相交于点， 则点为与的位似中心，点的坐标为. 18．【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）或；（3）10. 【解答】解：（1）点反比例函数的图象上，， 反比例函数的表达式为，点代入，得，点的坐标为， 直线过点，，，解得，一次函数的表达式为； （2）不等式时的取值范围为：或； （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长， 点，，，，的最小值为10. 五.解答题（共2小题，每小题10分，满分20分） 19．【答案】（1）见详解；（2）10. 【解答】（1）证明：，，四边形是平行四边形， ，，四边形是矩形. （2）解：，， ，，， ，，，，. 20．【答案】（1）；（2）①② 【解答】解：（1）由题意得：， 在中，，，，的长为； （2）①由题意得：，在中，，， ，，，线段的长为； ②过点作，垂足为，由题意得：，， 在中，， ，， ，解得：，塔的高度约为31m. 六.解答题（本题满分12分） 21．【答案】（1）的长为；（2）、、三点围成的三角形的面积约为38km2. 【解答】解：（1）在中，，，， ，解得，故的长为； （2）由题意得：，， ，，解得：，. 点在直线的上方，令， 整理得，，或， 解得：，，， 存在，，满足， 当时，，；当时，，； ②当旋转后点在点左侧时， 过点作轴于点，过点作轴，作于点，作于点，交轴于点，如图3，直线的解析式为，， 将线段绕点顺时针旋转90°得到线段， ，，， ， ，，， ，， ，， ，，，， ，，，点的坐标是， 当旋转后点在点右侧时，满足的点不存在； 综上所述，点的坐标是. ，由得，km， （km2） 答：、、三点围成的三角形的面积是38km2. 七.解答题（本题满分12分） 22．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②. 【解答】（1）证明：四边形是矩形，，， 点是的中点，点是的中点，，即，； （2）①证明：如图2，取的中点，连接、， 是的中点，是的中点，，， 又，，，， 四边形是平行四边形，，， 又，是的中点，，， ，； ②解：.理由如下： 如图2，连接、，过点作，则四边形是矩形，， ，， 设，则，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ，是的中点，垂直平分，，. 八.解答题（本题满分14分） 23．【答案】（1）1，；（2）①当时，，；当时，，； ②. 【解答】解：（1）二次函数的图象与直线交于，两点，， 解得：，，把代入，得， （2）①由题意得：的解析式为，的解析式， 当时，，点， ，， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $