22.1 第3课时 比例的性质和黄金分割（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

22.1 比例线段 第22章 相似形 第3课时 比例的性质与黄金分割 优翼数学教学课件（HK）九上 如图的 (1) 和 (2) 都是故宫太和殿的照片，(2)是由 (1) 缩小得到的. 观察与思考 （1） （2） P Q P′ Q′ 在照片 (1) 中任意取四个点 P，Q，A ,B 在照片 (2) 找出对应的两个点 P′，Q′，A′, B′ 量出线段 PQ，P′Q′，AB， A′B′ 的长度.计算它们的长度的比值. A A' B' B 导入新课 2 比例的基本性质 合作探究 问题1：如果四个数 a，b，c，d 成比例，即 那么 ad = bc 吗？反过来如果 ad = bc，那么 a，b，c，d 四个数成比例吗？ 新课讲授 3 如果四个数 a，b，c，d 成比例，即 那么 ad = bc 吗？ 在等式两边同时乘以 bd，得 ad = bc 由此可得到比例的基本性质： 如果 ，那么 ad = bc.(b，d≠0) 4 由此可得到比例的基本性质： 如果 ad = bc，那么等式 还成立吗？ 在等式中，四个数 a，b，c，d 可以为任意数，而在分式中，分母不能为 0. 如果 ad = bc，那么 .(b，d≠0) 5 典例精析 例1：根据下列条件，求 a∶b 的值： （1） 4a = 5b ； （2） （2）∵ ，∴8a = 7b，∴ 解 （1）∵ 4a = 5b，∴ 例2 已知 ，求 的值. 解：解法1：由比例的基本性质， 得 2(a + 3b) = 7×2b. ∴a = 4b，∴ = 4. 解法2：由 ，得 . ∴ ， ，那么 、 各等于多少？ 2．已知 1．已知线段 a、b、c 满足关系式 且 b＝4，那么 ac＝______． ， 练一练 16 ，还有什么其他性质吗？ 在等式两边同时加上 1，得 . 由此可得到比例的合比性质： 如果 ，那么 .(b，d≠0) 9 问题2：已知 a，b，c，d，e，f 六个数，如果 (b + d + f ≠ 0)，那么 成立吗？为什么？ 设 ，则 a = kb，c = kd，e = kf . 所以 等比性质 10 由此可得到比例的又一性质： 11 例3 在 △ABC 与 △DEF 中，已知 ， 且 △ABC 的周长为 18 cm，求 △DEF 的周长. 解：∵ ∴ ∴4(AB + BC + CA) = 3(DE + EF + FD). 即 AB + BC + CA = (DE + EF + FD) . 又 △ABC 的周长为 18 cm，即 AB + BC + CA = 18 cm. ∴△DEF 的周长为 24 cm. 例4：若 a,b,c 都是不等于零的数，且 求 k 的值. 得 ，则 k＝2. 当 a＋b＋c＝0 时，则有 a＋b＝－c. 此时 . 综上所述，k 的值是 2 或－1. 解：当 a＋b＋c ≠ 0 时，由 ， 解：根据题意，得 即 例5 在地图或工程图纸上，都标有比例尺，比例尺就是图上距离与实际距离的比，现在一长比例尺为 1:5000 的图纸上，量得一个 △ABC 的三边：AC＝3 cm，BC＝4 cm，AB＝5 cm，这个图纸所反映的实际 △A′B′C′ 的周长是多少？ 14 答：实际 △A'B'C' 的周长是 600 m 15 黄金分割的概念 一个五角星如下图所示. 问题：度量 C 到点 A、B 的距离， 与 相等吗？ A C B A B C 16 例6 如图，已知线段 AB 的长度为 a，点 P 是 AB 上一点，且使 AB : AP = AP : PB，求线段 AB 的长和 的值. A P B 解： 设 AP = x，那么 PB = a - x.根据题意，得 a : x = x : (a - x)， 即 x2 + ax - a2 = 0. 解方程，得 . A P B 因为线段长不能是负值，所以取 . 即 . 于是 A B C 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段叫做黄金分割.分割叫做这条线段的黄金分割点，A 比值 叫做黄金数. 概念学习 19 如图所示，已知线段 AB 按照如下方法作图: 1.经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD = AB. 2.连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB. 3.在 AB 上截取 AC = AE. 思考：点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗? A B D E C 20 巴台农神庙 （Parthenom Temple） F C A E B D 想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现 ， 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？为什么? 点 E 是 AB 的黄金分割点 （即 ）是黄金比 矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形. A B C D E F 例7 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近 0.618 越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的身高为 1.60 m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得 ，解得 x = 0.96. 设穿上 y m 高的高跟鞋看起来会更美，则 解得 y≈0.075，而 0.075 m = 7.5 cm. 故她应该穿约为 7.5 cm 高的高跟鞋看起来会更美. 1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( ) (A) 12.36 cm (B) 13.6 cm (C) 32.36 cm (D) 7.64 cm A 练一练 【解析】选A. 0.618×20 = 12.36(cm). 2.如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割，已知 AB =10 cm，则 AC 的长约为_____cm.（结果精确到 0.1 cm） 【解析】本题考查黄金分割的有关知识， 由题意知 ∴AC2 = (10 - AC)×10，解得 AC ≈ 6.2 cm. 6.2 【解析】由黄金分割定义可知，AC = BD = ×AB =(40 - 40) cm，AD = AB - BD=(120 - 40 ) cm， 所以 DC = AC - AD=(80 - 160) cm. 3.如图所示，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A、B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC=______cm，DC =_______cm. 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬 30°左右.特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上.这不免让 人联想起许多与北纬 30° 有关 的地方.奇石异峰，名川秀水的 黄山，庐山，九寨沟等等.衔远 山，吞长江的中国三大淡水湖 也恰好在这黄金分割的纬度上. 大自然与黄金分割 图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为 0.618. 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比，普通树叶的宽与长之比也接近 0.618. 人与黄金分割 人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是 23℃ (体温)，也是正常人体温(37℃)的黄金点(23=37×0.618).这说明医学与 0.618 有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节.上肢与下肢长度之比均近似 0.618. 在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美． B C A 设计与黄金分割 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618. 东方明珠塔，塔高 468 米.设计师在 263 米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观. 35 人的俊美，体现在头部及躯干是否符合黄金分割. 美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例 0.618，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美． 黄金分割的魅力 Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是 0.6，而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。 1.(1)已知 ，那么 = ， = . (3)如果 ，那么 . (2)如果 ，那么 . 当堂练习 2.已知线段 AB，点 P 是它的黄金分割点，AP＞BP，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以 PB、AB 为边的矩形面积为 S2，则 S1 与 S2 的关系是（ ） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1 = S2 D．S1≥S2 P A B C 3.已知四个数 a，b，c，d 成比例. （1）若 a = -3，b = 9，c = 2，求 d； （2）若 a = -3，b= ，c = 2，求 d. 5.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到书房（书房高 3 米），请你帮他设计一下，挂在多高能给人赏心悦目的感觉？ 4.点 C 是线段 AB 的黄金分割点，如果 AB = 4，求线段 AC 的长度． AC = 4×0.618 = 2.472 或者 AC = 4×(1 - 0.618) = 1.518. 离地面的高度 h = 3×0.618 = 1.854 m 6.如图，设 AB 是已知线段，在AB 上作正方形 ABCD；取 AD 的中点 E，连接 EB；延长 DA 至 F，使 EF = EB；以线段 AF 为边作正方形 AFGH.点 H 就是 AB 的黄金分割点. 解: 设 AB = 1，那么在 Rt△BAE 中， A B C D E F G H 点 H 就是 HB 的黄金分割点. 比例的 性质 如果 那么 ad = bc.(b，d≠0) 基本 性质 等比 性质 如果 ad = bc都不等于 0，那么 (b，d ≠ 0) 课堂小结 黄金分割 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段叫做黄金分割.分割叫做这条线段的黄金分割点，A 比值 叫做黄金数. 一条线段有两个黄金分割点 定义 课堂小结 $