7.5 正态分布-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

066 7.5 正态分布 新课程标准解读 学科核心素养 1.了解正态密度函数、正态密度曲线与标准正态分布的概念 数学抽象 2.理解正态曲线的性质，会求正态分布在给定区间上的概率。 数学运算 3.能利用正态分布的概率模型解决简单的实际问题. 数学建模 教材梳理 明要点 ●情境导入 正常人群的身高、体重、考试成绩、家庭收入等等都会呈现一种中间密集、 两边稀疏的特征.以身高为例，大部分人的身高都会在人群的平均身高上 [提示] 下波动，特别矮和特别高的都比较少见.这样的共同特征的变量可建立什 用正态分布模型来描 么样的数学模型来刻画呢？ >[提示] 述这些变量的变化. 台新知初探 知识点一连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们 [知识点反思] 的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为 ,我 连续型随机变量的取 值不能一一列举.例 们称这类随机变量为连续型随机变量. P[知识点反思] 如，让连续型随机变 知识点二正态曲线 量Y是[0,1]这个区 间上的任意一点，那 1.定义：若f代x)=1 e,x∈R,其中u∈R,0>0 f (x) σ√2m 么Y的取值有无数多 个，我们数不清楚， 为参数，我们称代x)为正态密度函数，称它的图象为 所以Y取某一个具体 正态密度曲线，简称 (如图). 的值的概率是1除以 2.性质 无数，即可以看作 (1)曲线在 轴的上方，与x轴不相交； 是0. (2)曲线是单峰的，关于直线 对称； (3)曲线在 处达到峰值 (4)当1x1 时，曲线 x轴； (5)曲线与x轴之间的区域的面积为 3.参数u和σ对正态曲线形状的影响 (1)当σ一定时，曲线的位置由u确定.曲线随着u的变化沿x轴平移，参 数“反映了正态分布的集中位置. (2)当4一定时，曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体 的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.σ反映了 随机变量的分布相对于均值，的离散程度 067 知识点三正态分布 1.定义：若随机变量X的概率分布密度函数为代x)=一e,则称随机变量X服从正态分 0√J2T 布，记为 .特别地，当4=0，σ=1时，称随机变量X服从 2.均值与方差：若X~N(u,σ2)，则E(X)= ,D(X)= 3.变量取值概率的计算 (1)几何意义 个f(x) 若X~N(u,σ)，则如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A G2元 的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积. (2)三个常用的概率值 u a b 假设X~V(u,σ2)，可以证明：对给定的k∈N*,P(u-ko≤X≤u+ko)是一个只与k有关的定 值.特别地， P(L-σ≤X≤+O)≈ P(u-2o≤X≤u+2o)≈ P(u-3σ≤X≤u+3σ)≈ (3)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(u,σ2)的随机变量X只取[u-3σ，4+3σ]中的值，这 在统计学中称为3σ原则， @预习自测 1.下列函数是正态密度函数的是 ( A.f(x)=- 1e(u,>0) B.f(x)=2πe号 2m 2T 1 -(x-1)2 1 C.f(x)= 4 D.f(x)=- e 22T 2T 2.如果专~N(u,σ2)，且E()=3,D()=1,那么P(2≤专≤4)的值约为 A.0.5 B.0.6827 C.0.9545 D.0.9973 3.若随机变量X~N(0,1),则P(X<0)= 题型探究 提技能 题型一正态密度函数与正态密度曲线的认识 [方法总结1] 例1(1)设两个正态分布N(仙，)(>0)和 由正态曲线确定均值 N(μ1，o 1.4 与方差的方法 N(2,σ2)（σ2>0）的密度函数图象如图 1.2 1.0 Nu2) 正态分布的两个重要 所示.则下列结论正确的是 () 0.8 参数是4与σ2,4 A.1<,01<02 0.4 0.2 刻画了随机变量取值 B.1<W2,01>02 -1.0-0.50 0.51.0 的平均水平，σ2是衡 C.1>2,01<02 量随机变量总体波动 大小的特征数，因此 D.1>w,01>02 我们由正态曲线的形 (2)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如 状与位置可比较参数 图所示，则总体的均值私= ,方差 的大小，反之利用参 2= 数之间的大小关系， 510152025303540 也可以确定正态曲线 的形状与位置. P[方法总结1] 068 )跟踪训练1 已知正态曲线的函数解析式为f(x)=,。e学(x∈R),则4= [方法总结2] 32T 利用正态分布求概率 的两个方法 题型二利用正态曲线的性质求指定区间的概率 (1)对称法：由于正 例2设-N1,2),试求： 态曲线是关于直线 x=:对称的，且概 (1)P(-1≤≤3)； 奉的和为1，故关于 (2)P(3≤≤5). 直线x=业对称的区 ●[方法总结2] 间上概奉相等.如： ①P(X<a)=1- P(X>a); ②P(X<4-a)= P(X>μ+a); (2)“3σ”法：利用 X落在区间[4-O, 4+o],[4-2g, μ+2o],[g- 30,4+3o]内的概 奉分别是0.6827， 0.9545,0.9973求解. 》跟踪训练2 [方法总结3] (多选)已知随机变量X服从正态分布N(u,σ2)，其正态曲线在(-∞，80] 求正态变量X在某区 上单调递增，在[80，+∞)上单调递减，且P(72≤X≤88)≈0.6827，则 间内取值的概奉的基 本方法 (1)）根据题目中给出 A.u=80 B.o=4 的条件确定以与σ C.P(X>64)=0.97725 D.P(64<X<72)=0.1359 的值； 题型三正态分布的实际应用 (2)将待求问题向[u 例3.（多选）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区轴 -0,4+σ]，[4 取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2= 2o,u+2g],[h- 0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假 3σ，u+3σ]这三个区 设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,s2),则 () 间进行转化； (3)利用X在上述区 (若随机变量Z服从正态分布N(,σ2)，则P(Z<u+σ)≈0.8413) 间的概奉、正态曲线 A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 的对称性和曲线与x C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 轴之间的面积为1求 ●[方法总结3] 出最后结果 069 〉跟踪训练3 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5000个，试求： (1)这批零件中尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比； (2)若规定尺寸在24~26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 随堂检测重反馈 1.随机变量X~N(8,σ2).若P(7≤X≤9)=0.4，则P(X>9)= A0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 2.设随机变量X~N(2,σ2)，若P(X≤1-a)+P(X≤1+2a)=1,则实数a= A.0 B.1 C.2 D.4 3.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，且P(X>5)=0.2,则P(1<X<3)= A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 4.某班有50名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布N(100,σ2)，已知P(90≤≤100)=0.3， 估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[17]E()=1×号+2×号+3×5=2 00=(1-22×写+(2-22×号+(3-2)产×5=号 (2)设学生乙答对的题目数为Y,则Y的所有可能取值为0,1， 2,3, 由题意知Y~B(3,子)， 因此E(0=3×号=2.0(0=m1-p)=3×号×号-子 2 .12 E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), ∴.甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的可能性较大. 跟踪训练3：【解析】(1)随机变量X的可能取值为0,1,2,3 且X服从超几何分布. C P(X=0)= CC C3=84,P(X=1)= 3 =14,P(X=2)= CC C C8_5 总PX=3-是 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 1 3 15 5 84 14 28 21 (0=0x4+1×4+2×2+3×=2 3 .15 (2)若甲没有通过预选赛，则甲答对了1道或0道题目，所以 甲没有通过预选赛的概率 P=P(X=0)+P(X=I)=84+i484 1319 随堂检测重反馈 1.D若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从 参数为W=100,M=80,n=10的超几何分布.取到10个球中 恰有6个红球，即X=6,P(X=6)-鸟C(注意袋中球的个 数为80+20=100). 2.ACD由超几何分布的定义，可知超几何分布模型为不放回 抽样，故A正确；超几何分布实质上就是有总数为N件的两 类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n(n≤ N)件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变 量，它取值为k时的概率为P(X=k)= CC(k≤r,r是n C 和M中较小的一个)，所以B错误，C、D正确. 3.3由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的C可以看 出“从5名三好学生中选取了3名”. 4.【解析】由题意，X的可能取值为0,1,2， P(X-k)= Ck=0,1,2 X的分布列为 0 1 2 1 3 3 所以E(X)=0×5+1×号+2×5=1 17 7.5正态分布 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 0 知识点二 1.正态曲线 2.(1)x(2)x=4(3)x=h72m 1 (4)无限增大无限接近(5)1 知识点三 1.X~N(4,σ)标准正态分布 2.u2 3.(2)0.68270.95450.9973 预习自测 L.B正态密度函数为x)=1一e2 e22,其中指数部分的 √/2 σ与系数部分的σ保持一致，系数为正，指数为负.选项A中 有两处错误，分别是σ√2亓错写为√2π石和指数为正；选项C 中由系数可得σ=2，由指数可得σ=√2，显然不符合题意；选 项D中指数为正，不符合题意. 2.B·~N(4,σ)，且E()=3,D()=1,∴.~N(3,1), ∴.P(2≤E≤4)=P(3-1≤E≤3+1)=P(μ-o≤E≤u+o)≈ 0.6827. 3.号由标准正态曲线关于y轴对称可知P(X<0)=之 题型探究提技能 例1：(1)A(2)202 【解析】(1)正态曲线的图象关于直线x=μ对称，结合图象 知山1<山2，当4一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越 “矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体 的分布越集中，利用这个性质可判断<2： (2)从题中的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对 #,最大血是方质烈4=0。行g朵0=5， 2石 因此总体的均值4=20，方差σ2=(2)2=2. 跟踪训练1：23将所给的函数解析式与正态分布密度函数的 解析式对照可得4=2，σ=3. 例2：【解析】专~N(1,22),∴u=1,o=2. (1)P(-1≤E≤3)=P(1-2≤E≤1+2) =P(u-o≤5≤u+σ)≈0.6827. (2):P(3≤E≤5)=P(-3≤5≤-1)， P3≤5≤5)=[P(-3ee5)-P(-1≤≤3)] =2[P1-4≤5≤1+4)-P1-2≤5≤1+2)] =2P(u-2a≤5≤+2a)-Pu-≤5≤+o)月 =7(09545-0.6827)=0.1359 跟踪训练2：ACD因为正态曲线在(-∞，80]上单调递增，在 [80,+∞)上单调递减，所以正态曲线关于直线x=80对称， 3 所以4=80：因为P(72≤X≤88)≈0.6827，结合P(4-σ≤ X≤4+c）≈0.6827，可知o=8;因为P(μ-2σ≤X≤4+2a) ≈0.9545，且P(X<64)=P(X>96),所以PX<64)≈2× 1 (1-0.9545)=7×0.0455=0.02275,所以P(X>64)= Q9725:因为P(X<72)=[1-P(72≤X≤8)]=3× 1 (1-0.6827)=0.15865,所以P(64<X<72)=P(X>64) P(X>72)=0.97725-(1-0.15865)=0.1359. 例3：BC由题意，X~N(1.8,0.12),所以X的均值为4o=1.8, 标准差为σ。=0.1，故随机变量X的正态曲线如图1，由图可 知，P(X>2)<P(X>1.9)=1-P(X<1.9)=1-P(X<+ 。)=1-0.8413=0.1587<0.2,故A项错误，B项正确；又 Y~N(x,2),x=2.1,s2=0.01,所以Y的正态曲线如图2，由 图形的对称性可知，P(Y>2)=P(Y<2.2)=P(Y<x+s)= 0.8413,故C项正确，D项错误 1.81.91 22.12.2 u0uo+T0μ0+2T0 X-s X 图1 图2 跟踪训练3：【解析】(1)X~N(20,4),∴u=20,σ=2，∴4- 0=18,4+0=22, 于是尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比大约是 68.27%. (2).4-3σ=144+3σ=26,4-2o=16,4+2σ=24， '.尺寸在24~26mm间的零件所占的百分比大约是 99.73%-95.45%=2.14%. .尺寸在24~26mm间的零件大约有5000×2.14%=107 (个). 随堂检测重反馈 1.D:随机变量X~N(8,σ2)，P(7≤X≤9)=0.4，.P(X>8) =0.5,P(8≤X≤9)=0.2，.P(X>9)=P(X>8)-P(8≤X ≤9)=0.3，故选D. 2.C因为P(X≤1-a)+P(X≤1+2a)=1,所以l-a+1+2a 2 =2,所以a=2. 3.CP(1<X<3)=P(3<X<5)=0.5-P(X>5)=0.5-0.2 =0.3. 4.10由题意知，P(>10)=1-2P(90,≤≤100)=0.2，故估 计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10. 章末复习与总结 核心考点培优 1:(1c(2)A(3)9 【解析】(I)既有男选手又有女选手的情况有C;C+CC+ CC;=65(种)，其中男选手甲被选中的情况有C+CC?+ CC;=35(种)，所以在代表队中既有男选手又有女选手的条 -17 件下，男选手甲发选中的挺率为总 (2)由已可行，A(B)--6因为A)=号所 P(A) 以P(AB)=又P(A)=P(AB)+P(AB)=号，所以 PB)=洽又P4B)8=子所以PB=子 1 (3)设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表 示“骑共享单车”，事件D表示“迟到”，由题意可知P(A)= (=P(C)(D)(D)- 名，则PD)=P()P(DIA)+P(B)P(DI)+P(CP(DIC) =x(片+方+右)谒P(A0)=P4)P(D1A) ×4 专×片立考小明送到了，则他自驾去上班的横水是 1 P(A1D)=PAD=2-15 P(D)=37=37 180 例2：(1)C(2)见解析 【解析】(1)因为E(X)=了，根据随机变量X的分布列得 1 6+a+b=1, 「a= 31 解得】 1 +(0言）广x分+1-吉）×宁=日所以0(3x-2) =90(X0=9×g=5 (2)甲保护区的违规次数的均值和方差分别为E()=0× 0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3, D(5)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2× 0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21. 乙保护区的违规次数？的均值和方差分别为 E(η)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3， D(m)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2× 0.4=0.41. 因为E()=E(n),D()>D(?),所以两个保护区每个季度 发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次 数相对分散，乙保护区的违规事件次数更集中. 例3：【解析】(1)由题知，从这12人中随机抽取2人，共有C2 =66种可能情况， 记“这2人恰好来自同一班级”为事件A, 则事件A包含的可能情况有C+C号+C+C=3+1+3+6 =13种， 所以P(A)=66 13 (2)由题知，5的可能取值为0,1,2,3， 因为选A,B两款软件学习的概率都是行，且他们选择AB,C 任一款软件都是相互独立的，