7.4.2 超几何分布-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

061 7.4.2 超几何分布 新课程标准解读 学科核心素养 1.通过具体实例，理解超几何分布的概念 数学抽象 2.会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率、均值以及方差 数学运算 3.能利用超几何分布概率模型解决简单的实际问题， 数学建模 教材梳理 明要点 P情境导入 [提示] 可利用古典概奉模型 汛期临近，某单位有员工40人，其中有10人是 公式和互斥事件概奉 党员.现从中抽取10人组成抗险突击预备队，预 公式计算。 备队员中至少有5名党员的概率是多少？ [知识点反思1] 超几何分布的特点： ①不放回抽样；@考 察对象分两类；③实 质是古典概型.可以 [提示] 通过下面的实例理解 分布列中m和r的 ⊙新知初探 取值 知识点一 超几何分布的定义 随机变量x的取值 3 0 1,23 假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机 104 501,2,34 条件 抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数 712,34 [知识点反思2] X的分 P(X=k) CC,k=m,m+1,m+2,…,n其中n,N,Me 超几何分布与二项分 布的均值公式同为 布列 E(X)=吧，但字母含 N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M. 义不同，区别如下： 二项分布超几何分布 如果随机变量X的分布列满足上述形式，那么称随机变量X服 结论 独立重复试抽取产品 从超几何分布. 验的次数 的件数 在一次伯努 ●[知识点反思1] 利试验中确N件产品的 定事件A发次品奉 知识点二服从超几何分布的随机变量的均值 生的概奉 对于不放回抽样，当几 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件 远远小于N时，超几 产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p 兴，则D是N件产 何分布可以用二项分 布近似. 品的次品率，则E(X)= [知识点反思2] 062 白预习自测 1.(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有 () A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的次数为随机变量X D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 2.袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是() 品 cio n 3.在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选m个村庄中交通不方便的村 庄的个数，则X服从超几何分布.若m=3时，随机变量X的取值为 ;若m=8时，随机变 量X的取值的最大值为 题型探究提技能 题型一超几何分布模型的概率 例1一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，绢号 为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一 [方法总结1] 求超几何分布模型的 次随机抽取3个球，记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X 概奉的步骤 的分布列 (1)判定随机变量是 >[方法总结1] 否服从超几何分布， 把握等可能、不放回 两个特点； (2)确定参数N,M, n的值； (3)根据超几何分布 的概奉计算公式 P(X=k) CCN越t 算出随机变量取某一 个值k时的概奉 063 〉跟踪训练1 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出 4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数.求至少有2名男生参加 数学竞赛的概率. 题型二超几何分布的分布列与均值 例2某大学志器者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名 [方法总结2] 解决超几何分布问题 同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的 的三个关键点 七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支 (1)超几何分布是概 教活动（每位同学被选到的可能性相同） 奉分布的一种形式， (1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率； 一定要注意公式中字 (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列 母的范围及其意义， 及均值， 解决问题时可以直接 ●[方法总结2] 利用公式求解，但不 要机械地记忆； (2)超几何分布中， 只要知道M,N,n, 就可以利用公式求出 X取不同k值的概奉 P(X=),从而求出 X的分布列； (3)求与超几何分布 有关的均值问题时， 可利用均值公式，也 可直接利用E(X)= 岁求醉 064 》跟踪训练2 端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜 枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个 (1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率； (2)设X表示取到豆沙粽的个数，求随机变量X的分布列与均值， 题型三超几何分布的综合应用 例3甲，乙两人去某公司应聘面试该公司的面试方案为：应聘者从6道备 选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛 选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完 成：应聘者乙每题正确完成的概率都是子，且每题正确完成与否互不 影响。 (1)求甲正确完成面试题目数的分布列、均值与方差； [方法总结3] (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 二项分布和超几何分 布两类概奉模型的区 >[方法总结3] 别关键是“有放回抽 样”与“不放回抽 样”。 .065 〉跟踪训练3 某高校组织了一场知识竞赛，分为预选赛和决赛两部分，已知预选赛的题目共有9道，随机抽取3 道让参赛者回答，规定至少要答对其中2道才能通过预选赛，某参赛人员甲只能答对其中6道， 记甲抽取的3道题目中能答对的题目数为X. (1)求随机变量X的分布列和均值； (2)求甲没有通过预选赛的概率. 随堂检测重反馈 1.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为 ACC② B.CChn C.1 oC Co 个10 D. 100 2.（多选)下列关于超几何分布的说法正确的是 A.超几何分布的模型是不放回抽样 B.超几何分布的总体里可以只有一类物品 C.超几何分布中的参数是N,M,n D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成 3.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三 好学生”的人数，则当X取 时，对应的概率为SC 4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求 X的均值 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[16]0 1 2 9 27 P 27 64 64 64 64 (2)由X~B(3,子)及二项分布的性质得， E(X)=m=3×4=4' 39 0)=m(1-p)=3×子×(1-子)=2 随堂检测重反馈 1Ax-B(6,2)则P(x=3)=C×(分）×(1-3) =5 6故选A 2A由随机变量X~B(5,写），得D(X)=5×令×(1 分）-9所以0(30=3p)=9x9=10 3.C设该同学答对题目的数量为5，因为该同学每道题答对的 概率为0.6，共答20道题，所以~B(20,0.6),所以E()= 20×0.6=12,D(5)=20×0.6×(1-0.6)=4.8. 44道题目中，答对的题目数X~B(4,)）,所以P(X≥ 5 3)=P(X=3)+P(X=4)=C8× (分)+C×(3)= 7.4.2超几何分布 教材梳理 明要点 新知初探 知识点二 预习自测 1.ABD依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X 服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题， 故随机变量X不服从超几何分布. 2B取出的红球服从超几何分布，放P=S:C=7 C1024 3.0,1,2,37根据超几何分布的概念，若m=3时，随机变量 X的取值为0,1,2,3；若m=8时，随机变量X的取值为0,1， 2,…,7,故X的取值的最大值为7 题型探究提技能 例1：【解析】由题意知X=0,1,2,3. C91 CC 9 PX=0)-20P(X=1）= C。20 P(X=2)= C3C;9 C 1 是=P(X=3-00 所以X的分布列为 0 3 1 9 1 20 20 20 20 17 跟踪训练1：【解析】依题意，得随机变量X服从超几何分布，且 N=10,M=6,n=4, P(X=2)= CC9 二14 X2)=PX=2)+Px=3+P(X=4)=号+景+7 最 例2：【解析】(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院” 为事件A, 则P(A)= CC+CC49 Cio 60 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为 60 (2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N=10,M= 4,n=3,且随机变量X的可能取值为0,1,2,3. P(X=k)=- C- C。 k=0,1,2,3 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 1 1 3 1 30 所以随机支量X的均值E()=0×石+1×方+2×品+3× 1 3 0=号（或0=答-号）月 跟踪训练2：【解析】(1)依题意，既有豆沙棕又有蜜枣棕的概 率为CC+cC-9 141 (2)X的可能取值为0,1,2， 则P(X=0)= s=aPXw- CC 15 2 ,P(X=2)= 所以X的分布列如下 X 0 1 2 P 3 14 28 所以E()=0×+1×是+2×京-子 5 例3：【解析】(1)设X为甲正确完成面试题目的数量， 由题意可得X服从超几何分布，且N=6,M=4,n=3, ∴.P(X=1)= C4·C 1 C C C·C 、1 C 5 ·X的分布列为 X 1 2 3 5 2 E()=1×号+2×号+3×5=2 00=(1-22×写+(2-22×号+(3-2)产×5=号 (2)设学生乙答对的题目数为Y,则Y的所有可能取值为0,1， 2,3, 由题意知Y~B(3,子)， 因此E(0=3×号=2.0(0=m1-p)=3×号×号-子 2 .12 E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), ∴.甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的可能性较大. 跟踪训练3：【解析】(1)随机变量X的可能取值为0,1,2,3 且X服从超几何分布. C P(X=0)= CC C3=84,P(X=1)= 3 =14,P(X=2)= CC C C8_5 总PX=3-是 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 1 3 15 5 84 14 28 21 (0=0x4+1×4+2×2+3×=2 3 .15 (2)若甲没有通过预选赛，则甲答对了1道或0道题目，所以 甲没有通过预选赛的概率 P=P(X=0)+P(X=I)=84+i484 1319 随堂检测重反馈 1.D若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从 参数为W=100,M=80,n=10的超几何分布.取到10个球中 恰有6个红球，即X=6,P(X=6)-鸟C(注意袋中球的个 数为80+20=100). 2.ACD由超几何分布的定义，可知超几何分布模型为不放回 抽样，故A正确；超几何分布实质上就是有总数为N件的两 类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n(n≤ N)件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变 量，它取值为k时的概率为P(X=k)= CC(k≤r,r是n C 和M中较小的一个)，所以B错误，C、D正确. 3.3由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的C可以看 出“从5名三好学生中选取了3名”. 4.【解析】由题意，X的可能取值为0,1,2， P(X-k)= Ck=0,1,2 X的分布列为 0 1 2 1 3 3 所以E(X)=0×5+1×号+2×5=1 17 7.5正态分布 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 0 知识点二 1.正态曲线 2.(1)x(2)x=4(3)x=h72m 1 (4)无限增大无限接近(5)1 知识点三 1.X~N(4,σ)标准正态分布 2.u2 3.(2)0.68270.95450.9973 预习自测 L.B正态密度函数为x)=1一e2 e22,其中指数部分的 √/2 σ与系数部分的σ保持一致，系数为正，指数为负.选项A中 有两处错误，分别是σ√2亓错写为√2π石和指数为正；选项C 中由系数可得σ=2，由指数可得σ=√2，显然不符合题意；选 项D中指数为正，不符合题意. 2.B·~N(4,σ)，且E()=3,D()=1,∴.~N(3,1), ∴.P(2≤E≤4)=P(3-1≤E≤3+1)=P(μ-o≤E≤u+o)≈ 0.6827. 3.号由标准正态曲线关于y轴对称可知P(X<0)=之 题型探究提技能 例1：(1)A(2)202 【解析】(1)正态曲线的图象关于直线x=μ对称，结合图象 知山1<山2，当4一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越 “矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体 的分布越集中，利用这个性质可判断<2： (2)从题中的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对 #,最大血是方质烈4=0。行g朵0=5， 2石 因此总体的均值4=20，方差σ2=(2)2=2. 跟踪训练1：23将所给的函数解析式与正态分布密度函数的 解析式对照可得4=2，σ=3. 例2：【解析】专~N(1,22),∴u=1,o=2. (1)P(-1≤E≤3)=P(1-2≤E≤1+2) =P(u-o≤5≤u+σ)≈0.6827. (2):P(3≤E≤5)=P(-3≤5≤-1)， P3≤5≤5)=[P(-3ee5)-P(-1≤≤3)] =2[P1-4≤5≤1+4)-P1-2≤5≤1+2)] =2P(u-2a≤5≤+2a)-Pu-≤5≤+o)月 =7(09545-0.6827)=0.1359 跟踪训练2：ACD因为正态曲线在(-∞，80]上单调递增，在 [80,+∞)上单调递减，所以正态曲线关于直线x=80对称， 3