7.4.1 二项分布-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

056 7.4二项分布与超几何分布 7.4.1二项分布 新课程标准解读 学科核心素养 1.通过具体实例，了解伯努利试验及n重伯努利试验的概念. 数学抽象 2.理解并熟记服从二项分布的随机变量的概率、均值以及方差公式。 数学建模、数学运算 3.能利用二项分布概率模型解决简单的实际问题， 数学建模 教材梳理 明要点 ●情境导入 一次数学竞赛由20道选择题构成，每道选 [提示] 得到80分也就是答对 择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是 16道题，可看作在20 正确的，每道题答案选择正确得5分，不选 WP=2+2 次独立重复试验中成 或选错不得分，满分100分，某同学选对任 功16次的概奉，可利 题的概率为0.6，则此同学在这一次测验中 -b±Vb4a 用二项分布概奉公式 取得80分的概率是多少？ 计算 [提示] [知识点反思1] e新知初探 n重伯努利试验的 特点 知识点一n重伯努利试验 (1)对立性，即一次 1.伯努利试验：只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验， 试验中只有两个相互 2.n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的 对立的结果，即“成 称为n重伯努利试验， 功”和“不成功”， 而且有且只有一个 3.n重伯努利试验的共同特征 发生： (1)同一个伯努利试验重复做 次； (2)重复性，试验在 (2)各次试验的结果 D[知识点反思1] 相同条件下独立重复 地进行n次，且每一 知识点二二项分布 次试验“成功”的概 1.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p 奉和“不成功”的概 <1),用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=CP(1- 奉都保持不变。 p)"-,k=0,1,2,…,n. [知识点反思2] 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分 (1)由二项式定理可 布，记作X~ 知，二项分布的所有 2.二项分布的均值与方差 概奉和为1； (1)均值：若X~B(n,p),则E(X)= (2)两点分布是只进 行一次试验的二项分 (2)方差：若X~B(n,p),则D(X)= [知识点反思2] 布 057 自预习自测 1.下列事件是n重伯努利试验的是 A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B.依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上 C.某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中 D.口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球 2.小王通过英语听力测试的概率是？，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是 ( A.g R子 C 3.已知随机变量X服从二项分布B(n,P).若E(X)=2,D(X)= 3,则p= B子 0.3 0 题型探究 提技能 题型一n重伯努利试验中事件概率的计算 例1现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者 选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自 [方法总结1] 己参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人参加甲游戏，掷出点数大于2 求n重伯努利试验概 奉的步骤 的人参加乙游戏： (1)判断：依据n重 (1)求这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率； 伯努利试验的特征， (2)求这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率. 判断所给试验是否为 P[方法总结1] n重伯努利试验； (2)分拆：判断所求 事件是否需要分拆； (3)计算：就每个事 件依据n重伯努利试 验的概奉公式求解， 最后利用互斥事件概 奉加法公式或概奉乘 法公式或对立事件的 公式进行整合计算 058 》跟踪训练1 甲乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是号和)，假设两人击中目标 与否相互之间没有影响，每人各次击中目标与否相互之间也没有影响，若 两人各射击4次，求甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的 概率 题型二二项分布及其应用 例2“石头剪刀，布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是： 用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手 [方法总结2] 势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石 解决二项分布及其应 头”：双方出示的手势相同时，不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游 用问题的一般步骤 (1)根据题意设出随 戏时出示三种手势是等可能的. 机变量； (1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率； (2)分析随机变量是 (2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次 否服从二项分布； 数记作随机变量X,求X的分布列： [方法总结2] (3)若服从二项分 布，则求出n和p 的值； (4)根据已知条件列 出相关式子，并解决 问题 .059 〉跟踪训练2 一个盒子里有大小相同的3个红球和2个黑球，从盒子里随机取球，取到 每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分. (1)若从盒子里一次随机取出3个球，求得2分的概率； (2)若从盒子里每次取出一个球，看清颜色后放回，连续取3次，求得分 的分布列. 题型三二项分布的均值与方差 例3为了探究某市在高考志愿中报考“电子科学与技术类”专业的情况， [方法总结3] 求二项分布的均值和 现从该市考生中随机抽取50名学生进行调查，得到数据如下 方差的步骤 报考“电子科学与技术类” 不报考“电子科学与技术类” 合计 (1)先判断随机变量 人数 20 30 50 是否服从二项分布； (2)若服从二项分 以样本中各事件的频率作为概率估计全市考生的报考情况，现从该市 布，则代入二项分布 全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“电子科学与技 的均值和方差公式计 术类”专业的人数为随机变量X,求随机变量X的分布列、均值与方 算均值和方差，即 差 ●[方法总结3] X~B(n,p),则 E(X)=np,D(X)= (1-p).特别地， 当n=1时，X服从两 点分布. 060 》跟踪训练3 某一中学生心理咨询中，心服务电话的接通率为？，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问 该服务中心，且每人只拨打一次 (1)求他们中成功咨询的人数X的分布列； (2)求E(X)与D(X)的值 随堂检测重反馈 1设随机变量X~B6, ,则P(X=3)= B.3 16 16 C 8 03 2设随机变量X~B5,号，则D(3X)等于 A.10 B.30 C.15 D.5 3.某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题20道，已知该同学每道题答对的概率为0.6， 则该同学答对题目数量的均值和方差分别为 () A.16,7.2 B.12,7.2 C.12,4.8 D.16,4.8 4,某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均 为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[15]1149 2=324 2:【解析】(1)由分布列的性质，知) ”十 +a=1,故a= 子，从而P的分布列为 为 0 P 4 (2)由(1)知a=4,所以E(X)=-1×7+0×4+1×4 (w0=(-1+)广×+(0+子)×+(1+ (3)由(2)知E(x)=号(X)6 所以E()=4E(X)+3=4×(-4）+3-2, D(Y)=16D(X)=11 a+b+2=l, 跟踪训练2：兮 0+2b=子 5由题意可得 解得 0<a<2' 1 0<b<2 b= 1 因此.0=(0-号)x7+(1-号)x写+ 6 (2-子)x石=号即3x-)=90(0=5 例：【解析】(1)由离散型随机变量的分布的性质可知a+0.1 +0.6=1,∴.a=0.3. 同理0.3+b+0.3=1,b=0.4. (2)E(5)=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,E(7)=1×0.3+ 2×0.4+3×0.3=2, D()=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2× 0.6=0.81, D(n)=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3= 0.6. 由于E()>E(m),说明在一次射击中，甲的平均得分比乙 高，但D()>D(n),说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙 两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势. 跟踪训练3：【解析】(1)由已知可得，E(X)=-1×0.1+0× 0.8+1×0.1=0. E(Y)=-2×0.1-1×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0. (2)由(1)知，E(X)=0,E(Y)=0, 所以D(X)=(-1-0)2×0.1+(0-0)2×0.8+(1-0)2× 0.1=0.2. D(Y)=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4 +(1-0)2×0.2+(2-0)2×0.1=1.2. 所以E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), 所以两品牌手表的误差平均水平相当，但是甲品牌的手表走 时更稳定， 随堂检测重反馈 1.C由题意得E()=1×号+2×+3×石=名，所以 x)=(-8)x5+(2-g)广x分+(3-g)x 1 2.C因为D(X)=2,D(Y)=8,所以8=2a2.又a为正数，所以 a=2. 3.号由题意可知D(100=1g0,即100()=1gD(X) =)D灯=了即X的标准差为兮 4.【解析】专的所有可能取值为0,1,3， A A 所以飞的分布列为 0 1 3 1 3 6 ()=0x+1×+3×石=1， 1 0()=3×(0-1)°+2×(1-1)2+ ×6-1- 7.4二项分布与超几何分布 7.4.1二项分布 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.两个 2.随机试验 3.(1)n(2)相互独立 知识点二 1.B(n,p） 2.(1)p(2)p(1-p) 预习自测 1.C选项A为互斥事件，不符合n重伯努利试验的定义；选项 0 B,由于试验的条件不同（质地不同），因此不是重伯努利试 验；选项C,某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是n 重伯努利试验：选项D,每次抽取，试验的结果有三种不同的 颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利 试验 2D根据独立重复试验的概幸公式有P=C(兮)（号）°： 吾故选D 3.C由随机变量X服从二项分布B(n,P),E(X)=2,D(X)= 4=2, 3,可得 4 4解得p=了放选C p(1-p)=3 题型探究提技能 例1：【解析】（1)依题意知，这4个人中，每个人参加甲游戏的 凝率为了，参加乙游残的概率为号 设“这4个人中恰有k人参加甲游戏”为事件A(k=0,1,2,3, 4) 则)=G(兮）广() 故这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率为 4)=c×(兮）广×（号）=品 (2)设“这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人 数”为事件B,则B=A3+A4 由于4与A,互斥，放P(B)=P氏4)+P(A)=C×(号) 号+Gx()g 所以这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的 概率为) 跟踪训练1：【解析】设事件A表示“4次射击中甲恰好有2次 击中目标”，事件B表示“4次射击中乙恰好有3次击中目 标”，由题意知事件A与B相互独立， 所以P(AB)=P(A)P(B)=CG×(号)x(3)xC× (分)广x分号 例：【解析】(1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所 有可能结果是（石头，石头），（石头，剪刀），（石头，布），（剪 刀，石头)，（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），（布，剪 刀)，（布，布），共9个样本点.玩家甲胜玩家乙的样本点分别 是（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3个 所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P=令 (2)由题意知，X=0,1,2,3,X-B(3,号)） 所以P(X=0)=G×(子)）广=多 PX=)=G×(兮）×（号）=号 (x=2)=Gx(3)）x(号)=子 —17 P(X=3)=G×(兮）广= 所以X的分布列为 X 0 3 P 1 9 2 跟踪训练2：【解析】（1)记“一次随机取出3个球得2分”为事 件A,它表示取出的球中有2个红球和1个黑球， 则P(A)= C (2)由题意，5的可能取值为0,1,2,3， 因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率均为}，每 次取到黑球的概率均为子 则5-B(,), P(=)=C(号)广（号 (k=0,1,2,3), 故专的分布列为 0 2 3 P 8 36 54 27 125 125 125 例3：【解析】 估计该市的全体考生中任一人报考“电子科学与 技术类”专业的概率P=0 2 = 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，由题意，得X~B3, 则Px=)=G(号)广(1-号) (k=0,1,2,3), ·随机变量X的分布列为 X 2 3 27 54 36 8 125 125 125 125 ·.随机变量X的均值E(X)=3× 2 ,方差D(X)=3× 6 号×(1-号)=器 跟踪训练3：【解析】 (1)依题意知X~B3,子） 且P(=)=G×()）×(4）k=01,23. P(X=0)=C9× )×()广a P(X=1)=Cg× P(X=2)=C× P(X=3)=C× X的分布列为 0 1 2 9 27 P 27 64 64 64 64 (2)由X~B(3,子)及二项分布的性质得， E(X)=m=3×4=4' 39 0)=m(1-p)=3×子×(1-子)=2 随堂检测重反馈 1Ax-B(6,2)则P(x=3)=C×(分）×(1-3) =5 6故选A 2A由随机变量X~B(5,写），得D(X)=5×令×(1 分）-9所以0(30=3p)=9x9=10 3.C设该同学答对题目的数量为5，因为该同学每道题答对的 概率为0.6，共答20道题，所以~B(20,0.6),所以E()= 20×0.6=12,D(5)=20×0.6×(1-0.6)=4.8. 44道题目中，答对的题目数X~B(4,)）,所以P(X≥ 5 3)=P(X=3)+P(X=4)=C8× (分)+C×(3)= 7.4.2超几何分布 教材梳理 明要点 新知初探 知识点二 预习自测 1.ABD依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X 服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题， 故随机变量X不服从超几何分布. 2B取出的红球服从超几何分布，放P=S:C=7 C1024 3.0,1,2,37根据超几何分布的概念，若m=3时，随机变量 X的取值为0,1,2,3；若m=8时，随机变量X的取值为0,1， 2,…,7,故X的取值的最大值为7 题型探究提技能 例1：【解析】由题意知X=0,1,2,3. C91 CC 9 PX=0)-20P(X=1）= C。20 P(X=2)= C3C;9 C 1 是=P(X=3-00 所以X的分布列为 0 3 1 9 1 20 20 20 20 17 跟踪训练1：【解析】依题意，得随机变量X服从超几何分布，且 N=10,M=6,n=4, P(X=2)= CC9 二14 X2)=PX=2)+Px=3+P(X=4)=号+景+7 最 例2：【解析】(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院” 为事件A, 则P(A)= CC+CC49 Cio 60 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为 60 (2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N=10,M= 4,n=3,且随机变量X的可能取值为0,1,2,3. P(X=k)=- C- C。 k=0,1,2,3 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 1 1 3 1 30 所以随机支量X的均值E()=0×石+1×方+2×品+3× 1 3 0=号（或0=答-号）月 跟踪训练2：【解析】(1)依题意，既有豆沙棕又有蜜枣棕的概 率为CC+cC-9 141 (2)X的可能取值为0,1,2， 则P(X=0)= s=aPXw- CC 15 2 ,P(X=2)= 所以X的分布列如下 X 0 1 2 P 3 14 28 所以E()=0×+1×是+2×京-子 5 例3：【解析】(1)设X为甲正确完成面试题目的数量， 由题意可得X服从超几何分布，且N=6,M=4,n=3, ∴.P(X=1)= C4·C 1 C C C·C 、1 C 5 ·X的分布列为 X 1 2 3 5 2