7.1.2 全概率公式-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

所以P(MIN)=P(M4UM。IN)=P(M4IN)+P(M。IN)= 11 P(M4N),P(M。N)18,91 P(N) P(N) -5 +5 Γ5 6 6 随堂检测重反馈 1.B事件M=“两次所得点数均为奇数”，则事件M包含的样 本点有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)， (5,3),(5,5),故n(M)=9;N=“至少有一次点数是3”，则事 件MN包含的样本点有(1,3)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,3)， 放n(MN)=5,所以P(N0)=号 2A由题意知P(B)=1-P(a)=1-子=子，则P(B)= 3.D因为B,C是互斥事件，所以P(BUCIA)=P(BIA)+P(C 4号设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红 色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或 CC +Cz 黑色”，则D=BUC,且B与C互斥.又P(A)= C 10,P(AB)= EC2=,故P(D1A) 1 P(BUCIA)=P(BIA)+P(CIA)=P(AB)+P(AC)=5 PA+P=立 10 2 5 10 7.1.2全概率公式 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 ΣP(A)P(BIA:) i= 预习自测 LCP(B)=P(A)P(B1A)+P(AP(BIA)=子×石+(I 子）x兮方放选C 2.D令B=取到的零件为合格品，A,=零件为第i台机床的产 品，i=1,2.由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B1A1)+P(A2) P(B1A)=号×096+3×093=0.95故选D 1 3.0.8设B表示一辆汽车中途停车修理，A表示该车是货车， A2表示该车是客车，则B=ABUA,B,由贝叶斯公式有 P(A )P(BIA) P(AB)=P(A)P(BIA )+P(A.)P(BIA:) 子×0.02 =0.8. 号×0.02+3x0.01 2 —16 题型探究提技能 例1：【解析】(1)设事件A,=“第i次取到的是小兔盲盒”，i= 1,2 因为P4)=号，P风4M)合分 所以P)=PA)P代M)=号x宁号 即第1次，第2次取到的都是小兔官金的撬率为子 (2)设事件B,=“第i次取到的是小狗盲盒”，i=1,2. 因为P(B)=号P么B)=名=方P以BA,)=合=分 所以由全概率公式可知，第2次取到的是小狗盲盒的概率为 PB,)=P代B,)P(R,IB)+P(A,)P(B,1A)=多×+号 跟踪训练1：【解析】记事件A,B分别为“取到甲、乙两厂的产 品”，事件C为“取到废品”，则2=AUB,且A,B互斥， (①由莲落，得P4碧-号P代-品-号 P(C1A)=0.06,P(C1B)=0.05, 由全概率公式， 得P(C)=Pa)P(CIA)+P(B)P(IB)=号×品+号× 57 100=125 (2)所有产品开箱混放时， 30×100 20×120 P(430x100+20x120号P(B)0x100+20x120 P(C1A)=0.06,P(C1B)=0.05, 由全概率公式， 得P(G)=PAP(CIA)+P(BP(CIB)=号×品+号× 51 100-18 例2：【解析】设B表示“无人机被击落”，A,表示“无人机被i 人击中”，i=1,2,3,则B=A1B+A,B+AB, 依题意，得P(B1A1)=0.2,P(B1A2)=0.6,P(B1A3)=1. 由全概率公式P(B)=P(A)P(BIA)+P(A2)P(BIA2)+P(A) P(BIA), 设H表示“无人机被第i人击中”，i=1,2,3, P(A)=P(), P(A2)=P(), P(A3)=P(HH2H), 又P(H1)=0.4,P(H2)=0.5,P(H3)=0.7, 所以P(A)=0.36,P(A2)=0.41,P(A3)=0.14, P(B)=P(A)P(BIA)+P(A2)P(BIA2)+P(A3) P(B1A3)=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458. 即无人机被击落的概率为0.458. 跟踪训练2：【解析】设A,=“选出的是i级投手”，i=1,2,3,B =“选出的投手能通过选拔进入比赛”， 则A1UA2UA3=2,且A1,A2,A3两两互斥. 由意知P(4,)=亮P氏4)=0P氏A)=务 6 且P(B1A)=0.9,P(B1A2)=0.7,P(B1A3)=0.4, P(B)=P(A)P(BIA)+P(A2)P(BIA2)+P (A3) P(BIA3) 4 8 .8 =20×0.9+20×0.7+20×0.4=0.62. 故任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率为0.62. 例3：【解析】(I)设此人来自A,B,C三个地区分别为事件A, B,C,事件D为这个人患流感， 所以P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(C)=0.2, P(D1A)=0.06,P(D1B)=0.05,P(D1C)=0.04, 因此P(D)=P(A)P(DIA)+P(B)P(DIB)+P(C)P(DIC) =0.3×0.06+0.5×0.05+0.2×0.04=0.051. (2)P(AID)P(AD)=P(A)P(DIA)_0.3x0.066 P(D P(D) 0.051 171 跟踪训练3：【解析】设A表示“取到的是一只次品”，B,(i=1, 2,3)表示“所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的”，则 B1,B2,B3是样本空间的一个划分，且P(B1)=0.15,P(B2)= 0.80,P(B3)=0.05, P(AIB1)=0.02,P(AIB,)=0.01,P(AIB2)=0.03 (1)由全概率公式得P(A)=P(AIB,)P(B)+P(AIB2) P(B2)+P(AIB3)P(B3)=0.0125. (2)由贝叶斯公式可知该元件来自元件制造厂1的概率为 P(BIA) P(A1B)P(B)_0.02×0.15=0.24 P(A) 0.0125 由贝叶斯公式可知该元件来自元件制造厂2的概率为 P(B,1M）=P4B,）PB,）-0,01x0.8=0.64 P(A) 0.0125 由贝叶斯公式可知该元件来自元件制造厂3的概率为 P(B,M-PAIB,)P(B,2_0.03x0-05=0.12 P(A) 0.0125 随堂检测重反馈 1.CP(B)=P(BA)+P(BA)=0.4+0.2=0.6. 2.C设从仓库中随机提出的一台产品是合格品为事件B,事件 A:表示提出的一台产品是第i车间生产的，i=1,2,由题意可 得PA)=号=04，P(A)=号=06，P(B1A)=05, P(B1A2)=0.88,由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B1A1)+ P(A2)P(B1A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868.所以该产 品合格的概率为0.868. 3 设“小王从这8道题中任选1题且做对”为事件A,“选到 能完整做对的5道题”为事件B,“选到有思路的2道题”为事 件C,“选到完全没有思路的1道题”为事件D,则P(B)=令， P(C)=子=子，P(D)=g,由金概*公式可得P(A)= P(B)P(AIB)+P(G)P(AIG+P氏(D)P(AID)=冬x1+子× 5 4岩设4=“从乙袋中取出的是白球”，B,=“从甲袋中取出的 两球恰有i个白球”，i=0,1,2.则2=BUB2UB。,且B,B2,B。 两两互斥.由全概率公式，得P(A)=P(B,)P(AIB,)+ C34,CC25,C P(B,)P(MIB,)+P(B,)PAIB,)=C×70+CX0+C× 613 10=25 7.2离散型随机变量及其分布列 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.唯一的实数X(o》 2.有限个 一一列举大写英文字母小写英文字母 知识点二 1.p: 2.表格 3.01 知识点三 两点 预习自测 1.C根据离散型随机变量的定义可得，选项C是离散型随机变 量，其结果可以一一列出，用随机变量X表示取到白球的个 数，则X的可能取值为0,1,2 2.A由离散型随机变量分布列的性质可知，2m+3m=1,所以 m=5 3.D抛掷2枚骰子，其中1枚是x点，另一枚是y点，其中x,y =1,26面专=+y5=4[或2款适D 题型探究提技能 例1：(1)B(2)见解析 【解析】(1)对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举 出来，是离散型随机变量；对于②，沿x轴进行随机运动的质 点，质点在x轴上的位置不能一一列举出来，不是离散型随机 变量；对于③，某派出所一天内接到的报警电话次数可以一一 列举出来，是离散型随机变量；对于④，某同学上学路上离开 家的距离Y,可以为某一区间内的任意值，不能一一列举出 来，不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机 变量的有2个. (2)①能用离散型随机变量表示.X可能的取值为0,1,2,3,4。 {X=0},表示抽出0件次品；{X=1},表示抽出1件次品； {X=2},表示抽出2件次品；X=3},表示抽出3件次品； {X=4},表示抽出4件次品. ②不能用离散型随机变量表示.实际容量与规定容量差是在 0附近的实数，不能一一列举出来. 跟踪训练1：C由于X表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚 骰子掷出的点数的差”，因此“X>4”只有一种情况，也就是“X =5”,.“X>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点. 例2：【解析】根据题意，X=0,1,2,3, P(X=0)= a7202P(X=1)=CSC-0-5 C号101 C3。-120-121 P(X=2)= 品品= C101 C%12012 所以X的分布列为 X 0 2 3 豆 5 1 12 跟踪训练2：【解析】将0，A,B,AB四种血型分别编号为1,2， 3,4,则X的可能取值为1,2,3,4. P(X=1)=037 7.1.2 全概率公式 新课程标准解读 学科核心素养 1.结合古典概型，了解全概率公式的推导过程. 数学抽象 2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率 数学抽象、数学运算 3.了解贝叶斯公式，并会简单应用， 数学抽象、数学建模 教材梳理 明要点 e情境导入 李明下班回家有两条路可以选择，其中第一条路拥堵的概率是0.2，第二条 [提示] 路拥堵的概率是0.3，李明选择第一条路的概率是0.6，选择第二条路的概 可以利用全概奉公式 计算 率是0.4，那么如何计算李明回家路上拥堵的概率呢？ P[提示] [知识点反思1] 全概奉公式实质上是 曰新知初探 综合运用加法公式和 知识点一全概率公式 乘法公式解决“多因 般地，设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1UA2U…UAn=2,且 一果”的概奉问题， P(A)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件BC2,有P(B)= 是先将一个复杂事件 分解为若干个互斥事 称为全概率公式。 [知识点反思1] 件的和，再利用互斥 事件的概奉加法公式 知识点二·贝叶斯公式 求出复杂事件的 设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1UA2U…UAn=2,且P(A:)>0, 概奉. i=1,2,…,n,则对任意的事件BC2,P(B)>0,有P(A:IB)= [知识点反思2] P(A.)P(BIA)-P(A.)P(BIA)i=1.2.. (1)贝叶斯公式是 [知识点反思2] P(B) 含P(A)P(BIA:) “执果索因”的概奉 公式，是通过条件概 目预习自测 奉公式、概奉乘法公 1.已知事件A,B,且P(A)=4,P(B1A)=石P(B1A=行，则P(B) 式和全概奉公式实现 条件的转化； (2)在贝叶斯公式中， B.1 D.3 P(A:)是根据历史数 3 4 8 据发现的，通常称为 2.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为 先验概奉；获取了新 信息后算出的概奉 0.07,加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2 P(A,IB),通常称为后 倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为 验概奉.贝叶斯公式 A0.21 B.0.06 C.0.94 D.0.95 的作用是通过先验概 3.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率以及其他信息可以 率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概 算出后验概奉 率为 038 题型探究提技能 题型一全概率公式及应用 例1某同学买了7个盲盒，每个育盒中都有一个礼物，有4个装小兔，有3 个装小狗 (1)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小 兔盲盒的概率； [方法总结1] (2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的 全概奉公式及应用 概率. (1)判断所求问题是 D[方法总结1] 否为全概奉类型； (2)若是，正确假设事 件组A:}及事件B; (3)计算P(A:), P(BIA;); (4)将(3)所得结果代 入全概奉公式计算。 》跟踪训练1 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱 装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率. 039 题型二多个事件的全概率问题 例2三人同时对玩具无人机进行射击，三人击中无人机的概率分别为0.4， 0.5,0.7.无人机被一人击中而坠落的概率为0.2，被两人击中而坠落 的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定坠落，求无人机被击中而坠落 [方法总结2] 的概率. “化整为零”求多个 事件的全概奉问题 P[方法总结2] (1)如图，P(B)= ΣP(A)P(B1A:)； B BA BA BA2 A (2)已知事件B的发 生有各种可能的情形 A:(i=1,2,…, n),事件B发生的可 能性，就是各种可能 情形A:发生的可能性 与已知在A:发生的条 )》跟踪训练2 件下事件B发生的可 某投篮小组共有20名投手，其中一级投手4人，二级投手8人，三级投手8能性的乘积之和. 人，一、二、三级投手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.4.求任 选一名投手能通过选拔进入比赛的概率. 040 题型三贝叶斯公式(*)（选学） 例3在AB,C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人 患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地 [方法总结3] 区中任意选取一个人 利用贝叶斯公式求概 (1)求这个人患流感的概率； 奉的步骤 (2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率 第一步：利用全概奉 公式计算P(A),即 >[方法总结3] P(A)=含P(B,)· P(AIB;); 第二步：计算P(AB), 可利用P(AB:)= P(B,)P(AB:)求解； 第三步：代入P(B:IA) P(AB) P(A)求解， 》】跟踪训练3 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记 录有以下的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志。 (1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自 何厂，求此次品出自三家元件制造厂生产的概率分别是多少？ 041 随堂检测重反馈 1.已知P(BA)=0.4,P(BA)=0.2,则P(B)的值为 A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5 2.某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12， 两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2：3，今有一客户 从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为 () A.0.6 B.0.85 C.0.868 D.0.88 3.已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3 道题中，有2道题有思路，还有1道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为子，没有思路的题 只好从4个选项中随机选一个答案.小王从这8道题中任选1题，则他做对的概率为 4.甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取两球放入乙袋，再从 乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[11] 7.2 离散型随机变量及其分布列 新课程标准解读 学科核心素养 1.通过具体实例，了解随机变量、离散型随机变量的概念 数学抽象 2.理解离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的 数学抽象、数学运算 分布列. 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 在射击运动中，运动员射击一次的结果是命中的环数，是数字，可以用变量 做好规定即可，例如 “正面朝上”用1表 X表示.例如{X=0}表示脱靶，{X=1}表示命中1环，{X=10}表示命中 示，“反面朝上”用 10环.在掷一枚硬币的随机试验中，可能的结果有正面朝上和反面朝上两 0表示，这样试验的 结果就方便用变量X 个，它们不是数字如何用变量X来表示呢？ [提示] 来表示了.{X=1}表 示“正面朝上”，X 曰新知初探 =0}表示“反面朝 知识点一随机变量与离散型随机变量 上” [知识点反思1] 1.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间2中的每个样本点ω，都有 离散型随机变量的 与之对应，我们称X为随机变量. 特征： 2.离散型随机变量：可能取值为 或可以 的随机变量， (1）可以用数值 表示； 我们称之为离散型随机变量，通常用 表示随机变量，例 (2)试验之前可以判 如X,Y,Z;用 表示随机变量的取值，例如x,y,2 断其可能出现的所有 值，但不能确定取 [知识点反思1] 何值； (3)试验结果能一一 列出