7.1.1 条件概率-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

033 第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1条件概率 新课程标准解读 学科核心素养 1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率. 数学抽象、数学运算 2.掌握概率的乘法公式，并能解决简单的实际问题 数学运算 3.理解条件概率的性质，能用性质计算互斥（对立）事件的条件概率。 数学抽象、数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 掷一枚质地均匀的骰 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点的概率是多少？ 子，朝上一面的点数 在已知是偶数点的前提下，出现2点的概率是多少？ 构成的样本空间2= 这两个事件的概率一样吗？ 1,2,3,4,5, 6},出现2点的概率 [提示] 1 是 “在已知是偶 e新知初探 数点的前提下”，此 时的样本空间2= 知识点一条件概率的概念与计算 2,4,6},出现2 1.条件概率：一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)>0,我们称P(B1A) 点的就奉光行 P(AB)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件 [知识点反思1] P(A) (1)P(AIB)表示在事 概率 件B发生的条件下事 2.条件概率的计算方法 件A发生的概奉， (2)当P(A)>0时，当 (1)定义法：P(B1A)=P(AB) 且仅当事件A与B相 P(A) 互独立时，有P(B|A) (2)缩小样本空间法：P(B1A)=n(AB) =P(B). n(A) [知识点反思1] [知识点反思2] 知识点二概率的乘法公式 在实际应用中， P(AB)可根据需要转化 对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)= 为P(A)P(BIA),也可 转化为P(B)P(AIB) [知识点反思2] 034 知识点三条件概率的性质 [知识点反思3] 设P(A)>0,则 (1)A与B互斥，即 A,B不同时发生，则 (1)P(21A)= P(AB)=0,故 (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BUCIA)= P(BIA)=0; (2)互斥事件的条件 (3)设B和B互为对立事件，则P(BIA)= 概奉公式可以将复杂 [知识点反思3] 事件分解为简单事件 概奉的和 白预习自测 1.下面几种概率是条件概率的是 A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率 B.一个盒子中有5个白球3个红球，从中任取2个球，则在所取的球中有一个是红球的条件下， 另一个也是红球的概率 C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是号，小明在一次上学中遇到红灯的 概率 2.已知A与B是两个事件，P(B)=4,P(AB)=8,则P(AB)= a兮 B.4 D I 3.已知P(A)=0.3,P(B1A)=0.6,且事件A与B相互独立，则P(AB)= 题型探究提技能 题型一条件概率的计算 [方法总结1] 1.利用定义计算条件 例1现有6个节自准备参加比赛，其中4个舞蹈节日，2个语言类节目，如 概奉的步骤 果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)分别计算概率 (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； P(AB)和P(A); (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (2)将它们相除得到 (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率. 条件概率P(B1A)= D[方法总结1] 明，这个公式走 用于一般情形，其中 AB表示A,B同时 发生 2.利用缩小样本空间 法求条件概奉的方法 (1)缩：将原来样本 空间2缩小为事件 A,原来的事件B缩 小为事件AB; 035 )】跟踪训练1 (2)数：数出A中事 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普件AB所包含的样 阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学 本点； 生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为 ()(3)算：利用古典概 A.22.5% B.30% C.40% D.75% 型求P(BIA)= 题型二概率乘法公式的应用 n(AB) n(A), n(AB)与 例2，个盒子中有6个白球4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取 n(A)是缩小样本空间 2次.求： 的计数 (1)第一次取得白球的概率； (2)第一、第二次都取得白球的概率； [方法总结2] (3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率 应用乘法公式求概奉 的一般步骤 [方法总结2] 概奉的乘法公式是一 种计算“积事件”概 奉的方法，当不容易 直接计算P(AB)时， 可先求出P(A)及 P(BIA)或先求出 P(B)及P(AIB),再 利用乘法公式P(AB) =P(AP(BIA= P(B)P(AIB)求解 〉跟踪训练2 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第 二次成功的概率是 [方法总结3] A.1o B.s c专 3 D.0 应用条件概奉的性质 解题的方法 题型三条件概率的性质 在应用条件概奉公式 例3在一个袋子中装有10个除颜色外完全相同的小球，设有1个红球，2 求概奉时，如果事件 个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球 包含的情况较复来， 的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 可将其分解为几个互 斥事件的和，然后根 P[方法总结3] 据条件概奉的性质求 解，即若B与C互 斥，那么P(BUCIA) =P(BIA)+P(CIA). 此公式可推广到多个 事件互斥的情况。 036 》跟踪训练3 抛掷两颗质地均匀的骰子各一次， (1)两颗骰子向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？ (2)两颗骰子向上的点数不相同时，向上的，点数之和为4或6的概率是多少？ 随堂检测重反馈 1.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M=“两次所得点数均为奇数”，N=“至少有一次点数是3”，则 P(NIM)等于 () c 2设A,B为两个事件，已知P(AIB)=3,P(B)=4,则P(AB)等于 B.3 C 1 9 3.若B,C是互斥事件且P(B)=},P(C0=4则P(BUCA)等于 B D.7 2 4.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一 瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[10](a+2b)4符合题目要求，进一步将(a+2b)4展开后与15c相 乘，符合题目要求的是15c·Ca(2b)2=360a2b2c,所以含 abc的系数为360. 方法二：把(a+2b+3c)5的展开式看成是5个因式(a+2b+ 3c)的乘积形式，展开式中，含abc项的系数可以按如下步骤 得到：第一步，从5个因式中任选2个因式，这2个因式取a, 有C种取法；第二步，从剩余的3个因式中任选2个因式，都 取2b,有C种取法；第三步，把剩余的1个因式中取3c,有C 种取法；根据分步乘法计数原理得含abc项的系数是C× 22C×3C=360. (2)642+m=(13×5-1)2+m=C9(13×5)2+ C24(13×5)2×(-1)'+C24(13×5)2m×(-1)2+… +C(13×5)'×(-1)2+1+m,因为C9m4(13×5)2 +C4(13×5)2m×(-1)1+C4(13×5)22×(-1)2+ …+C(13×5)×(-1)2能被13整除，所以m+1是13 的倍数时，6424+m能被13整除，所以m的最小正整数取值 为12. 第七章随机变量及其分布 7.1条件概率与全概率公式 7.1.1条件概率 教材梳理 明要点 新知初探 知识点二 P(A)P(BIA) 知识点三 (1)1(2)P(BIA)+P(CIA)(3)1-P(BIA) 预习自测 1.B由条件概率的定义知B为条件概率。 2D由条件概率的计算公式，可得P(AIB)=P4B=8 P(B) 3.0.18由概率的乘法公式可得P(AB)=P(A)·P(BIA)= 0.3×0.6=0.18. 题型探究提技能 例1：【解析】设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A,“第2次抽到 舞蹈节目”为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事 件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个， 试验的样本空间2包含的样本点数n(2)=A=30 根据分步乘法计数原理，得n(A)=A4A=20, 所以)-份-品-子 (2)因为n(AB)=A=12, 所以P(AB)=n(B)=12-2 n(2)=30=5 (3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽 2 到舞蹈节目的概率P(B1A)=PA=Σ=5 P(AB)5 3 3 16 (支P8)尝-号=号) 跟踪训练1：C设事件A为“抽到喜欢文学阅读的学生”，设事 件B为“抽到喜欢科普阅读的学生”，则P(A)=0.75,P(AB) =03,则P(B1A)=P4B=0.3」 P(A)0.75 =0.4,即在抽到的学生喜 欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为 40%.故选C. 例2：【解析】设A=“第一次取得白球”，B=“第二次取得白 球”，则A=“第一次取得黑球”，由题意，得 (1)P(A)=10=5 63 (2)P4)=PAPr8a)=号×g-分 (3)P0)=P(团P(BI团=×g-吉 4 跟踪训练2：A记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功， 则P(A)=品P(B1A)=g所以P(B)=(AP(BA)= 191 9×0=10故选A 例3：【解析】方法一：设“摸出第一个球为红球”为事件A,“摸 出第二个球为黄球”为事件B,“摸出第二个球为黑球”为事 件C, 则)=0H4)=0号=5P氏4C)=0号-0 .1×31 -气-百-号G4:0.高1 1 1 P(A) P(A)=1=3 0 10 215 :.P(BUCIA)=P(BIA)+P(CIA)=+3= ∴.在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概 事为日 方法二：.'n(A)=1×C。=9,n(BUCIA)=C2+C=5, P氏BUCM)=a(BSD= n(A) ∴.在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概 率为日 跟踪训练3：【解析】(1)记事件A表示“两颗骰子中，向上的点 数有一个是2”，事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为 7”,则事件AB表示“向上的点数之和为7，其中有一个的点数 是2”， 则P代=弟石八4=6=8所以P(A@)=兴8 21 (2)记事件M表示“两颗骰子向上的点数之和为”， 则事件“向上的点数之和为4或6”可表示为M=M4UM。, 其中事件M4与M。互斥，记事件V表示“两颗骰子向上的点 数不相同”， 则事件M,N表示“两颗骰子向上的点数不相同，且向上的点 数之和为”. 因为P(N)=沿=名，P(M,)=6=8P(,)=名 21 4 =9 5 所以P(MIN)=P(M4UM。IN)=P(M4IN)+P(M。IN)= 11 P(M4N),P(M。N)18,91 P(N) P(N) -5 +5 Γ5 6 6 随堂检测重反馈 1.B事件M=“两次所得点数均为奇数”，则事件M包含的样 本点有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)， (5,3),(5,5),故n(M)=9;N=“至少有一次点数是3”，则事 件MN包含的样本点有(1,3)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,3)， 放n(MN)=5,所以P(N0)=号 2A由题意知P(B)=1-P(a)=1-子=子，则P(B)= 3.D因为B,C是互斥事件，所以P(BUCIA)=P(BIA)+P(C 4号设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红 色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或 CC +Cz 黑色”，则D=BUC,且B与C互斥.又P(A)= C 10,P(AB)= EC2=,故P(D1A) 1 P(BUCIA)=P(BIA)+P(CIA)=P(AB)+P(AC)=5 PA+P=立 10 2 5 10 7.1.2全概率公式 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 ΣP(A)P(BIA:) i= 预习自测 LCP(B)=P(A)P(B1A)+P(AP(BIA)=子×石+(I 子）x兮方放选C 2.D令B=取到的零件为合格品，A,=零件为第i台机床的产 品，i=1,2.由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B1A1)+P(A2) P(B1A)=号×096+3×093=0.95故选D 1 3.0.8设B表示一辆汽车中途停车修理，A表示该车是货车， A2表示该车是客车，则B=ABUA,B,由贝叶斯公式有 P(A )P(BIA) P(AB)=P(A)P(BIA )+P(A.)P(BIA:) 子×0.02 =0.8. 号×0.02+3x0.01 2 —16 题型探究提技能 例1：【解析】(1)设事件A,=“第i次取到的是小兔盲盒”，i= 1,2 因为P4)=号，P风4M)合分 所以P)=PA)P代M)=号x宁号 即第1次，第2次取到的都是小兔官金的撬率为子 (2)设事件B,=“第i次取到的是小狗盲盒”，i=1,2. 因为P(B)=号P么B)=名=方P以BA,)=合=分 所以由全概率公式可知，第2次取到的是小狗盲盒的概率为 PB,)=P代B,)P(R,IB)+P(A,)P(B,1A)=多×+号 跟踪训练1：【解析】记事件A,B分别为“取到甲、乙两厂的产 品”，事件C为“取到废品”，则2=AUB,且A,B互斥， (①由莲落，得P4碧-号P代-品-号 P(C1A)=0.06,P(C1B)=0.05, 由全概率公式， 得P(C)=Pa)P(CIA)+P(B)P(IB)=号×品+号× 57 100=125 (2)所有产品开箱混放时， 30×100 20×120 P(430x100+20x120号P(B)0x100+20x120 P(C1A)=0.06,P(C1B)=0.05, 由全概率公式， 得P(G)=PAP(CIA)+P(BP(CIB)=号×品+号× 51 100-18 例2：【解析】设B表示“无人机被击落”，A,表示“无人机被i 人击中”，i=1,2,3,则B=A1B+A,B+AB, 依题意，得P(B1A1)=0.2,P(B1A2)=0.6,P(B1A3)=1. 由全概率公式P(B)=P(A)P(BIA)+P(A2)P(BIA2)+P(A) P(BIA), 设H表示“无人机被第i人击中”，i=1,2,3, P(A)=P(), P(A2)=P(), P(A3)=P(HH2H), 又P(H1)=0.4,P(H2)=0.5,P(H3)=0.7, 所以P(A)=0.36,P(A2)=0.41,P(A3)=0.14, P(B)=P(A)P(BIA)+P(A2)P(BIA2)+P(A3) P(B1A3)=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458. 即无人机被击落的概率为0.458. 跟踪训练2：【解析】设A,=“选出的是i级投手”，i=1,2,3,B =“选出的投手能通过选拔进入比赛”， 则A1UA2UA3=2,且A1,A2,A3两两互斥. 由意知P(4,)=亮P氏4)=0P氏A)=务 6