6.3.3 二项式定理的综合应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

030 随堂检测重反馈 1.(多选)已知x-3 ,则该展开式中二项式系数最大的项可以是 ( A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 2.二项式(x-1)”的展开式中奇数项的二项式系数和是64，则n= A.5 B.6 C.7 D.8 3.在(2-3x)5的展开式中，二项式系数的最大值为 A.Cis B.Cis C.-Cos D.-Cis 4.已知二项式(1-x)8,求： (1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中系数最小的项. 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[8] 6.3.3二项式定理的综合应用 新课程标准解读 学科核心素养 1.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题 数学运算 2.掌握三项或多项展开式问题， 数学抽象 3.能利用二项式定理解决整除（余数）问题 数学运算、逻辑推理 题型探究提技能 题型一 求两个多项式乘积的特定项问题 [方法总结1] 两个二项式乘积的展 例1.已知(2x-)x+2 的展开式中x2的系数为-240，则该多项展开 开式中特定项问题 （1)分别对每个二项 式中的常数项为 >[方法总结1] 展开式进行分析，发 现它们各自项的 》跟踪训练1 特点； 若2x-1” (2)找到构成展开式 的展开式中二项式系数之和为32，则(x+2y)(x-y)”的展 中特定项的组成 开式中x2y的系数为 部分； (3)分别相乘，求和 题型二 三项展开式问题 即得。 例2在(2+x+y)的展开式中，y的系数为 [方法总结2] 三项或三项以上的式 [方法总结2] 子的展开问题，可将 )跟踪训练2 其看作几个多项式的 积，利用组合知识分 (1+x+x2)5展开式中所有项的系数和是 含x的项的系数是 析项的构成，合并同 类项即可. 031 题型三整除和余数问题 [方法总结3] 例3（1)今天是星期一，今天是第1天，那么第8”天是星期 ( )1.利用二项式定理可 A. B.二 C.三 D.四 以解决求整除和余数 (2)已知n∈N*,求证：1+2+22+…+2m-1能被31整除 的问题，常用的变形 是拆数，通常需将数 P[方法总结3] 化成两数的和与差的 形式，且这种转化形 式与除数有密切的 关系； 2.用二项式定理展 开，展开后的大部分 项是除数的倍数，只 考虑后面（或者是前 面)的几项就可以了. 进而可证明或判断被 除数能否被除数整 除，若不能整除，则 》跟踪训练3 可求出余数 已知3×100+a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为 随堂检测重反馈 1.在x(1+x)6的展开式中，含x项的系数为 A.30 B.20 C.15 D.10 2.(x+y)(2x-y)5的展开式中xy3的系数为 ( A.80 B.40 C.-80 D.-40 3.设a∈Z,且0≤a<13,若51225+a能被13整除，则a= 4.在x- 的展开式中，x3的系数等于-5，则该展开式各项的系数的最大值为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[9] 章末复习与总结 知识体系构建 两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 排列的概念 排列数公式 排列 排列的应用 计数原理 排列与组合 组合的概念 组合数公式 应用 组合 组合数性质 组合的应用 二项式系数的性质 二项式定理一二项展开式 通项公式3.B(2-3x)的展开式中共有16项，中间的两项为第8项和 第9项，这两项的二项式系数相等且最大，为C=C,故 选B. 4.【解析】(1)因为(1-x)8的展开式中共有9项， 所以中间一项（第5项）的二项式系数最大， 所以展开式中二项式系数最大的项为C4(-x)4=70x4 (2)二项展开式中系数的最小值应在各负项中确定， 由题意知第4项和第6项系数相等且最小， T4=Cg(-x)3=-56x3,T6=C8(-x)5=-56x3, 所以展开式中系数最小的项是-56x和-56x. 6.3.3 二项式定理的综合应用 题型探究提技能 例：-640(x+2)°的展开式的通项公式为71=- (2）=2(k=0,123,45.6),令6-2k=1,得= 名（合去）：令6-2水=2，得4=2放2-(+2）广的展 开式中x2的系数为-aC62=-240,解得a=4.令6-2k= -1,得k=子（舍去)：令6-2k=0,得k=3.故(2x-4)(x+ 子）)广的展开式中的常数项为-4C×2=-640 限踪训练1：-15由(2x-)广的展开式中二项式系数之和 为32得，2”=32，故n=5,(x-y)”的展开式通项为(-1) Cx5-y,故x2y的项为(-1)1Cx6-1y1+(-1)2Cx5- y*1,k1=4,k2=3,即(-1)Cx2y+(-1)32C3x2y= -15x2y4. 例2：30方法一：(x2+x+y)5=[(2+x)+y]5,含y2的项为 T=C(x2+x)y2,而(x2+x)3中含x3的项为Cxx=Cx, 所以xy2的系数为CC=30. 方法二：(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积，其中有两个取y, 两个取x2,一个取x即可得含xy2的项，所以xy2的系数为 C%CC1=30. 跟踪训练2：24330令x=1,则所有项的系数和是(1+1+ 12)5=243; 方法一：因为(1+x+x2)5的通项为C5(1+x)5-x2‘(r=0,1, 2,3,4,5),所以当r=0时，需求(1+x)5展开式中的x3项为 Cx;当r=1时，需求(1+x)4展开式中的x项为C4x:所以含 x的项的系数是CC+CC=20+10=30. 方法二：(1+x+x2)5是5个式子(1+x+X2)连乘，欲求含x =龙·x·x=x2·x的项的系数，只需在5个式子(1+x+x2) 中选三个括号提供x,两个括号提供1；或者一个括号提供x, 一个括号提供x,三个括号提供1即可，所以含x的项的系 数是CC2+C.C4C=10+20=30. 例3：(1)A(2)见解析 【解析】(1)求第8天是星期几，实质是求8°除以7的余 数.因为810=(7+1)0=710+C10×7”+…+C10×7+1=7M +1(M∈N*),所以第80天相当于第1天，故为星期一. (2)证明：1+2+22+…+2-1=1-2” 1-2 =25m-1=32-1=(31+1)"-1 -16 =31”+C4×31"-1+…+C-1×31+1-1 =31×(31-1+C1×31-2+…+C%-1), 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除 跟踪训练3：83×1016+a=3×(11-1)6+a=3×[C0.110+ C1o119×(-1)+…+C18(-1)0]+a=3(1110-C1o119+… -C1o×11)+3×1+a.因为3×10°+a能被11整除，所以3 +a能被11整除.又因为0≤a<11,所以a=8, 随堂检测重反馈 1.C因为(1+x)°的展开式的第k+1项为T+1=Cx,所以x (1+x)6的展开式中含x3的项为Cx3=15x3,所以含x3项的 系数为15. 2.B因为xy3=x·(x2y),其系数为-C·2=-40,xy3=y· (xy2),其系数为C·2=80.所以xy3的系数为80-40 =40. 3.15125+a=(52-1)205+a=C9m5522025-C2ms5224+ Co2s52m-…+C252-1+a能被13整除，故-1+a能 被13整除，又0≤a<13,故a=1. 410（x-）展开式的通项=c心(-是） （-a)C5x3-2,令5-2k=3,得k=1,所以-a×5=-5,即a =1,展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数 为正数，故各项的系数中最大值为C:=10. 章末复习与总结 核心考点培优 例1：(1)①90②9×10(2)60 【解析】(1)①4位“回文数”的特点为中间两位相同，千位 和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个数数字，共 有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位 “回文数”有9×10=90（个）. ②第一步，选左边第一个数字，有9种选法：第二步，分别选左 边第2,3,4，…，n,n+1位数字，共有10×10×10×…×10= 10(种)选法，故2n+1(neN*)位“回文数”有9×10“个. (2)1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类.分三类：① 没有数字1和3时，满足条件的三位数有A个；②只有1和3 中的一个时，满足条件的三位数有2A个；③同时有1和3 时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入 3个空中的1个即可，满足条件的三位数有C4C;个.所以满足 条件的三位数共有A+2A?+CC=60(个) 例2：(1)BCD(2)160 【解析】(1)若3个女生不相邻，则有A4A;=1440种不同的 出场顺序，A错误：若女生甲在女生乙的前面，则有乃号 2520种不同的出场顺序，B正确：若4位男生相邻，则有A4A4 =576种不同的出场顺序，C正确；若学生的节目顺序确定，再 增加两个教师节目，可分为两步，第一步，原7个学生节目形 成8个空，插入1个教师节目，有8种情况；第二步，原7个学 生节目和刚插入的1个教师节目形成9个空，再插入1个教 师节目，有9种情况，所以这两位教师共有8×9=72种不同 的出场顺序，D正确.故选BCD. (2)间接法：N=CCC2-C5CC-CCC=160. 例3：(1)360(2)12 【解析】(1)方法-：(a+2b+3c)5=[(a+2b)+3c]5,首先 根据二项式定理展开，有6项，其中C(a+2b)4·3c=15c·