8.2 第2课时 非线性回归模型及回归分析-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[20] 第八章 8.2[第2课 A组·基础巩固 1.在回归分析中，R的值越大，说明残差平方和 A.越大 B.越小 C.可能大也可能小D.以上均错 2.某数学建模小组建立了茶水冷却时间x和茶 水温度y的一组数据(x,y:).经过分析，提出 了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平 方和∑(y:-)2的值分别是0.98,0.80,0.12， 1.36.则拟合效果最好的模型是 A.模型① B.模型② C.模型③ D.模型④ 3.根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性 [Y=bx+a+e, 回归模型 ,得到经验回归 lE(e)=0,D(e)= 方程y=bx+a,对应的残差如图所示，模型误 差 ↑残差 3 2 1 ·.0.5.1.01.52.02.53.0x -1 -2 。。 A.满足一元线性回归模型的所有假设 B.满足回归模型E(e)=0的假设 C.满足回归模型D(e)=σ2的假设 D.不满足回归模型E(e)=0和D(e)=σ2的 假设 4.（多选)下列说法正确的是 A.残差点分布的带状区域越窄，回归方程的 拟合效果越好 B.残差平方和越小，决定系数R越大 C.决定系数R可以大于1 D.通过经验回归方程得到的预报值是响应变 量的可能取值的平均值，不一定是响应变 量的精确值 15 时非线性回归模型及回归分析] 5.在对具有线性相关关系的两个变量x和y进 行统计分析时，得到如下数据： m 8 10 12 2 3 6 由表中数据求得经验回归方程为y=0.65x- 1.8,则(4,1)，（m,2),(8,3)这三个样本点 中，距离经验回归直线最近的点是 A.(4,1) B.(m,2) C.(8,3) D.(4,1)或(m,2) 6.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量的线 性相关性作试验，并用回归分析的方法分别求 得相关系数r与残差平方和m如表： 甲 乙 丙 0.82 0.78 0.69 0.85 106 115 124 103 则 同学的试验结果体现了A,B两变 量更强的线性相关性， 7.从某省“双一流”大学中随机选出8名女大学 生，得到其身高x(单位：cm)与体重y(单位： kg)的数据如下表： 165 165 157 170 175 165 155 170 48 57 50 54 64 61 43 59 若已知y与x的经验回归方程为y=0.85x- 85.71,则选取的女大学生身高为175cm时， 相应的残差为 k 8.已知经验回归方程y=2x+1,而试验得到一组 数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.2)，则残差平 方和是 9.某旅游景区试图探究车流量与景区接待能力 的相关性，确保服务质量和游客安全，以便于 确定是否对进入景区车辆实施限行.为此，该 景区采集到过去一周内某时段车流量与接待 能力指数的数据如表： 时间 周一周二周三周四周五周六周日 车流量 10 9 9.510.5 11 8 8.5 x/千辆 接待能力 78 76 77 79 80 73 75 指数y (1)根据表中周一到周五的数据，求y关于x 的经验回归方程； (2)若由经验回归方程得到的估计数据与所 选出的检验数据的误差均不超过2，则认 为该经验回归方程是可靠的.请根据周六 和周日的数据，判定所得的经验回归方程 是否可靠？ 附参考公式及参考数据： 经验回归方程y=bx+a, 中6出00，- 含-n 含-0 -n灵 a=-8元2(-0(）-5 10.已知x,y之间的一组数据如表： 3 6 7 8 2 3 5 (1)分别从集合A={1,3,6,7,8},B={1,2 3,4,5}中各取一个数x,y,求x+y≥10 的概率； 151 (2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合 直线分别为=子+1与y=+分，试 1 根据残差平方和：(%-)的大小，判 断哪条直线拟合程度更好. B组·综合运用 1.（多选)某电子商务平台每年都会举行“年货 节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从 2016年到2024年共9年“年货节”期间的销 售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y 看成以年份序号x(2016年作为第1年)的函 数.运用excel软件，分别选择经验回归直线 和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则 下列说法正确的是 () ↑（亿元） 2500H y=0.i6803+28.1412-29.027x+6,889 ·(亿元) 2000-- R=0.999 1500 线性 y2=267x-544.22 1000 (亿元) R3=0.936 500H 非线性y2 2 4 6810x (亿元) A.销售额y与年份序号x呈正相关关系 B.三次函数回归模型的残差平方和大于线 性回归模型的残差平方和 C.三次函数回归曲线的拟合效果好于经验 回归直线的拟合效果 D.根据三次函数回归曲线可以预测2025年 “年货节”期间的销售额约为1698.719 亿元 12.某工厂为研究某种产品产量x(吨)与所需某 种原料y(吨)的相关性，在生产过程中收集4 组对应数据(x,y)如下表所示 3 4 6 2 2.5 3 2 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方 程为y=0.7x+a.据此计算出在样本(4,3) 处的残差为-0.15，则表中m的值为 13.假设关于某设备的使用年限x(单位：年)和 支出的维修费用y(单位：万元)，有如下表的 统计资料： 使用年限x/年 2 3 4 5 6 维修费用y/万元 2.23.8 5.56.57.0 若由资料知y对x呈线性相关关系，试求： (1)经验回归方程y=bx+a; (2)估计使用年限为10年时，维修费用是 多少？ (3)计算残差平方和： (4)求R并说明模型的拟合效果 参考数据：含x=112.3,名(0-)2= 15.78. —152 C组·拓展提升 4.生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消 耗体内能量，主要是为了保持体温.脉搏率 是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物 的体重W(单位：g)与脉搏率∫存在着一定的 关系.如表给出一些动物体重与脉搏率对应 的数据，图1画出了体重W与脉搏率f的散 点图，图2画出了1gW与lgf的散点图， 动物名鼠大鼠豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 体重 25200 300200050003000050000 脉搏率670420 300 200 120 85 70 700 600 500 400F 300 200· 100 0 05000 50000W 图1 个lgf 3 ● 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0123451gW 图2 为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有 以下两种模型供选择： ①f=W+b:②lgf=klgW+b. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并 说明理由； (2)不妨取表中豚鼠和兔的体重、脉搏率数 据代入所选函数模型，求出∫关于W的 函数解析式， 参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.5.1.ABD设A(2,11),B(6,2),由k=号<3，而8个数据点 的经验回归方程中b=3,∴.0<m<3,A、B正确；而10个数 据点的元=4×8+2+6=4,7=(3×4+4.5)×8+11+2。 10 10 16.5,.经验回归直线过定点(4,16.5)，则16.5=4m+n,n =16.5-4m,0<m<3,0<4m<12,-12<-4m<0,4.5< 16.5-4m<16.5,即4.5<n<16.5.故D正确，C错误. 12.0.50.53y=0.4+0.5+06+0.6+0.4-2.5-0.5,= 5 5 1+2+3+4+5=3.由公式得6=0.01，从而a=了-b元=0.5 -0.01×3=0.47,所以经验回归方程为y=0.47+0.01x,所 以当x=6时，y=0.47+0.01×6=0.53. 13.【解析】（1)画出散点图，如图所示 1y零件数1件 9外 。 0810121416x转速/（转/秒） (2)x=12.5,y=8.25, 含5=438,2=60， d4可 8买-47 -438-4×12.5×825=0.7286, 660-4×12.52 a=y-bx≈825-0.7286×125=-0.8575. 故经验回归方程为y=0.7286x-0.8575. (3)要使y≤10，则0.7286x-0.8575≤10. 得x≤14.9019. 故机器的转速应控制在14.9转/秒以下. 14.AD 元=2+4+7+10+15+2=10，= 6 8.1+9.4+12+14.4+18.5+24=14.4,故经验回归直线 6 过点(10,14.4)，选项A正确；将点(10,14.4)代人y= 0.8x+a,得a=6.4,B错误：y=0.8x+6.4,当y=16时 x=12,∴.月出时间为阴历12日，选项C错误；.阴历27 日时，即x=27,代入得y=0.8×27+6.4=28,∴.日出时间 应该为28日早上4：00，选项D正确. 练案[20] 1B因为R1含-) ,所以当R越大时，(-) 8(%-) 越小，即残差平方和越小 2.C对于回归模型，残差平方和越小，回归模型的拟合效果越 好，故拟合效果最好的模型是模型③. 3.D由残差图可以看出，图中的残差点不能拟合成一条直线， 且不满足D(e)=o2. 19 4.ABD由R2的计算公式，知B正确，C错误；A,D均正确。 5.B=5×(4+m+8+10+12)=4专m,万=写×1+2+3 +5+6)=3.4,将(4与0,3.4)代人经验国归方程了=06x -1.8中，得3.4=0.65×4m-1.8,解得m=6.所以当x 4时，y=0.65×4-1.8=0.8,11-0.81=0.2;当x=6时，y= 0.65×6-1.8=2.1,12-2.11=0.1;当x=8时，y=0.65×8 -1.8=3.4,13-3.41=0.4.综上，(4,1)，（m,2),(8,3)这三 个样本点中，距离经验回归直线最近的点是(m,2).故选B. 6.丁由题表可知，丁同学的相关系数r最大且残差平方和m 最小，故丁同学的试验结果体现了A,B两变量更强的线性相 关性. 7.0.96当x=175cm时，y=0.85×175-85.71=63.04(kg), ∴.相应残差e=64-63.04=0.96(kg). 8.0.06因为y=2x+1,故当x=2时，y=5,e1=-0.1;x=3,y =7,e2=0.1;x=4,y=9,e3=0.2.则+e+号=0.01+0.01 +0.04=0.06. 9.【解析】(1)元=了(10+9+9.5+10.5+1)=10， 万=5(78+76+7+79+80)=78. 又(x,-)(-)=5,8(x-0)=2.5, 8=25=2,a=y-6=78-2x10=58 ∴.y关于x的经验回归方程为y=2x+58 (2)当x=8时，y=2×8+58=74, 满足174-731=1<2， 当x=8.5时，y=2×8.5+58=75, 满足175-751=0<2， 故所得的经验回归方程是可靠的. 10.【解析】(1)由题意知这是一个古典概型， 试验发生包含的所有样本点是分别从集合A,B中各取一个 数组成数对(x,y）,共有25个， 其中满足x+y≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7， 5),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5),共9个. 故使x+y≥10的概率为P=25 9 (2)当用y=3x+1作为拟合直线时， 残差平方和为=(1-号）+(2-2)+(3-3)尸+(4 9)+5号)=子 当用y2+作为报合直线时， 残差平方和为2=(1-1)》+(2-2)2+(3-7）+(4 因此$1>$2， 故用直线了=宁+号拟合效果更好。 1 8 11.AC由散点图的变化趋势可知，销售额y与年份序号x呈正 相关关系，故选项A正确；由散点图以及线性回归模型和三 次函数回归模型的位置关系可知，三次函数回归模型的残差 平方和小于线性回归模型的残差平方和，故选项B错误；因 为0.999>0.936，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于经 验回归直线的拟合效果，故选项C正确；因为三次函数为y =0.168x3+28.141x2-29.027x+6.889,则当x=10时，少1= 2698.719(亿元)，故选项D错误. 12.5.9根据样本(4,3)处的残差为-0.15，即3-(0.7×4+ à)=-0.15，可得à=0.35，故经验回归方程为分=0.7x+ 0.35,又由样本数据的平均数为元=3+4+6+7=5,7= 4 25+3+4+m,所以0.7x5+0.35=2.5+3+4+m,解得m 4 4 =5.9. 13.【解析】(1)由统计表格，易知x=4,y=5,2=90, 又2xy=12.3. 设经验回归方程为下=bx+a, 于是有6=-5y12.3-5×4×5=123 Σ-52 90-5×42 a=y-6x=5-1.23×4=0.08, 经验回归方程是y=1.23x+0.08. (2)当x=10时，y=1.23×10+0.08=12.38, 估计使用10年时维修费用是12.38万元. (3)因为y1=2.46+0.08=2.54, 2=3.77,3=5,少4=6.23，y5=7.46 所以残差平方和∑(y,-)2=0.651. 5 (y,-)2 (4)R2=1- -1-0.651 含(%-列 15.78≈0.9587， 模型的拟合效果较好. 14.【解析】(1)模型②lgf=lgW+b最符合实际. 根据散点图的特征，图2基本上呈直线形式，所以可选择一 次函数来刻画gW和gf的关系. (2)lg200=2+1g2≈2.3,1g2000=3+1g2≈3.3， lg300=2+lg3≈2.5. 由题意知[g300=灿g300+6, Llg200=k1g2000+b, 1 rk=-41 解得 b= 25 8 所以/-g+会 1 8” 所以f关于W的函数解析式为f=10尽·W 练案[21] 1.B①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，X的值 的大小只是用来检验A与B是否相互独立：③不正确，例如借 助三维柱形图、二维堆积条形图等均可判定A与B是否相关， 故选B. 19 2.B根据两个表中的等高堆积条形图知，药物A实验显示不服 药与服药时患病差异明显比药物B实验大，所以药物A的预 防效果优于药物B的预防效果. 3.D:X2=6.748≥6.635=xo.1,.依据小概率值a=0.01的 独立性检验，认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误 的概率不超过1%的前提下，认为“数学成绩优秀与性别有 关” 4.BC由题意可得甲专业录取了男生25人，女生90人，乙专业 录取了男生180人，女生50人甲专业的录取率为高+0 28.75%乙专业的录取率为0+0=46%，所以乙专业 比甲专业的录取率高，男生的录取率为)十0=41%，女生一 的录取率为测+0=35%，所以男生比女生的录取率商 f5.CD由题意可知X=65×[a(30+a)-(15-a)(20-a)]2 20×45×15×50 =13×(13a-60)2 20×45x3x2≥3.841=ns,根据a>5,且15-a>5, a∈Z,得当a=8或a=9时满足题意 6.ACD由题意设参加调查的男、女生人数均为m,则得到如下 2×2列联表： 攀岩 性别 合计 喜欢 不喜欢 男生 0.8m 0.2m 含 女生 0.3m 0.7m m 合计 1.1m 0.9m 2m 所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女 生人数多，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩 的人数少，故A正确，B错误；由列联表中的数据，计算得到X 2m(056m-0.06mY上9，当m=100时x=0 1.1m·0.9m·m·m 99 50×10050.505>10.828=x0m1,所以当参与调查的男、女 99 生人数均为100时，依据小概率值α=0.001的独立性检验， 认为喜欢攀岩和性别有关联，故C正确；根据公式，m越大X 也越大，所以得出“喜欢攀岩与性别有关联”这一结论的可信 度越高，D正确. 7.15根据等高堆积条形图可知，喜欢徒步的男生人数为0.6× 500=300,喜欢徒步的女生人数为0.4×400=160，所以喜欢 徒步的总人数为300+160=460，用比例分配的分层随机抽样 的方法抽取23人，则拍取的男生人数为测×23=15 8.0.005由列联表可得a=20,b=10,c=12,d=4,可得X2= 30×(8-128)2 12×18×20×10=10>7.879=0s,所以依据小概率值《= 0.005的独立性检验，认为运动员饮食习惯与性别有关 9.【解析】(1)由表得，m=50-20=30,n=55+45=100, 即m=30,n=100. (2)零假设为H。:教学方式与成绩无关. 由表得X=100×35x30-20X15)2=9.091>7.879 55×45×50×50 =3X0.005 9