6.3.1 二项式定理-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

随堂检测重反馈 1.A用间接法得不同选法有C6-C=14种，故选A 2.A根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出 的数字中必须有5,6,7，在1,2,3,4中有2个数字，则不同的 取法有C=6种. 3.C将4名志愿者分配到两所敬老院，则有以下两种分配方 案：①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有C4C=8 种，②两所敬老院各安排两名志愿者，则有CC=6种，故共 有8+6=14种方案.故选C. 4.(1)1260(2)80 【解析】(1)第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能 构成一个平行四边形，故共有CC。=1260(个). (2)第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所 以共有CgC。=80(个). 6.3 二项式定理 6.3.1二项式定理 教材梳理明要点 新知初探 知识点 Ca"+Cha"-lb+C2a"-262+…+Ca"-*b+…+Cb"(n∈ N*) (1)(n+1)(2)C(3)k+1Ca"-b 预习自测 1.B展开式的项数比二项式的指数大1，故选B. 2.DT3=C(2x)2(-3)2=216x2 320因为（+号） 的展开式的适项为=心（是） (管)广=3c,=0.1,6,令6k-3)=0.可得 =3,所以常数项为3°C=20. 题型探究提技能 例1：【解析】 方法-3+京)月 =Cg(3)+C(3E)》.上+C(32 +C4(3)· ()广+c() =81x2+108x+54+2+ 方法=(3板+后》 1+3 =[1+C3x+6(3)+C(3+c(3x =1+12x+542+1o8+81r) =+是+54+108r+812 16 (2)原式=C(x+1)“+C(x+1)"-（-1)+C2(x+1)-2 (-1)2+…+C(x+1)"-*(-1)+…+C(-1)“=[(x+ 1)+(-1)]"=x". 跟踪训练1：5C3”+C3"-1+…+C-13+C=C3”·1°+ C13"-1·11+…+C-13·1-1+C3°.1“=(3+1)“=4”= 1024=2,即22"=20，解得n=5. 例2：【解析】二项展开式的第r+1项是 (1)令r=3,则T4=（-1)3C2x2-寺x3=-220x 4 (2)令12-3=0，则r=9,从而常数项为(-1)°C=-220. (3)若求展开式中的有理项，则12-子，为整数，即r=0,36。 9,12. 故有理项分别为T1=x2,T4=-C2x=-220x, T,=C2x4=924x,T10=-C2=-220,T3=x4. 一兰)的展开式的通项是？1=C· 6 跟踪训练2：4 （-a)'x2=C6x6-(-√a)',令6-3r=0,得r=2,即当r= 2时，T,1为常数项，即常数项是Ca,根据已知得C6a=60,解 得a=4. 例3：【解析】(1)：第4项的二项式系数与第3项的二项式系 数的比为8：3， C:C=83"号-号a=0 3 2-)-)” 其通项公式为Tk+1=(-2)Cox-, 令5-k=3,可得k=2, .展开式中x3项的系数为(-2)2×C。=180, 展开式中含x2项的二项式系数为C。=45. 跟踪训练3：6 因为（石-子）广的二项展开式为工 C()(-是)广，所以它的第二项的系数为，= C(-2),第二项的二项式系数为C,由(G-)）广的展开 式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，所以C C1(-2)=18→n=6. 随堂检测重反馈 1.B由展开式的通项知工=心(）=84 2.B在通项公式Tk1=C。(-2y)xo-中，令k=4,得xy 的系数为C1。(-2)4=840. 3.x4(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1=C9(x+ 1)4+C4(x+1)3(-1)1+C(x+1)2(-1)2+C(x+1)· (-1)3+C4(-1)4=[(x+1)-1]4=x4 4【解折10(-）广--2x 所以第3项为T=Cgx8-2(-2x2)2=(-2)2Cxx4= 4Cx2=112x2. (2)T,1=Cx-(-2x2)'=(-1)2C8-, 令8-3r=-1,解得r=3, 448 所以T4=(-1)323C8x1=- 所以含士项的系数为-48 6.3.2二项式系数的性质 教材梳理 明要点 新知初探 知识点 1.C%=C-m 2.(1)增大减小 3.(1)2”(2)2-1 预习自测 1.A由题意可知：2“=64→n=6,故选A. 2.C(1+x)"(n∈N)的二项展开式中，每一项系数即二项式 系数，分别为C,C以，…，C,二项展开式中只有一项的二项式 系数最大，则n为偶数，二项式系数C7最大，则x的系数C 最大，故号=5，n=10. 3.164令x=1,得各项系数和为1；各二项式系数之和为2 =64. 题型探究提技能 例1：【解析】(1)方法一：依题意得，C=C,解得n=8. 方法二：由二项式系数对称性知展开式共有9项， 所以n+1=9,所以n=8. (2)因为n=8,展开式中共有9项，根据二项式系数的性质 可得第5项的二项式系数最大， 于是展开式中二项式系数最大的项为Cgx4(-2)4=1120x. (3)各二项式系数之和为2， :·奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和 相等， ·(x-2)”的展开式中奇数项的二项式系数和为 2×2=27 =128. 跟踪训练1：D因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第 6项最大，所以n=10,则(2-是）展开式的通项为71 c(x)-(-）=c6(-1)r-50≤k≤0且eN. 令30-5k=0,解得k=6,所以T,=C。(-1)6=210,即展开式 中常数项为210 例2：【解析】(1)令x=1,得a+a1+a2+…+a=1. (2)令x=-1,得(-3)5=-a+a1-2+a3-a4+a5: 由(2x-1)5的通项T,+1=C5(-1)'×2-'x3-知a1,a3,a5为 负值， 所以|aol+|a1I+|a2l+…+la51=a-a1+a2-a3+a4-as =35=243」 (3)由(1)(2)得a+a1+a2+…+a=1, -a0+a1-a2+…+a5=(-3)5, 16 两式相加得2(a1+a3+a)=1-35, 所以a1+a,+a,=l与，3。-121 2 跟踪训练2：【解析】(1)令x=0,则a。=2 (2)令x=1可得a+a1+a2+…+a1m=(2-5)10,① 故a1+a2+…+a1m=(2-5)10-2m. (3)令x=-1可得a0-a1+a2-a3+…+am=(2+5)10 ② ①2联立可得a+a+…+a=(2-B)m-(2+)m 2 (4)原式=[(a+a2+…+a1m)+(a1+a3+…+ag）][(a +a2+…+a10w）-(a1+a3+…+ag9） =(a0+a1+a2+…+a1m)(ag-a1+a2-a3+…+ag8-ag+ a100） =[(2-5)(2+5)]0=110=1. 郎：【解析】()由（子+2x）广的展开式黄三项的二项式系 数的和等于37， 即C0+C1+C2=37 解得n=8,即二项式为(}+2x)广， 所以展开式中第5项的二项式系数最大， 所以展开式中二项式系数最大的项的系数为受 (2)设二项展开式的第r+1项的系数最大， c(4)2≥c(4) c(4) 2≥c(4) 2*1 解得7≤r≤8，所以展开式中系数最大的项为第8项或第 9项， 即，=C(4) ×2x2=2x2, =c(4)°×2=2 0 跟踪训练3：【解析】由题意可知号+1=6，解得n=10, 0-5r 故展开式的通项为T,+1=Co2x2 设第r+1项的系数最大， 则ICio2'≥C62-1, 2 ≥1- lCio2≥C21 1 2 10-r+1' 解得19 22 ≤r≤行 reN,∴.T=7) 展开式中的系数最大的项为I=C12’x-登=15360x-登. 随堂检测重反馈 1.BC由题意知，展开式中二项式系数最大为C。和C,故二项 式系数最大的项是第5项和第6项 2.C二项式(a+b)”的展开式中，奇数项的二项式系数和等于 偶数项的二项式系数和，.2-1=64，.n=7.故选C. 3022 随堂检测重反馈 1.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不 同的选派方案种数为 ( A.14 B.24 C.28 D.48 2.在1,2,3,4,5,6,7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数 的所有取法种数为 ( A.6 B.12 C.18 D.24 3.2025年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习'62周年纪念日，某志愿者服务队在该日安 排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要 参加活动，则不同的分配方法数是 () A.8 B.12 C.14 D.20 4,在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行. (1)它们共能构成 个平行四边形； (2)共有 个交点 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[6] 6.3 二项式定理 6.3.1二项式定理 新课程标准解读 学科核心素养 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 逻辑推理 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式 数学运算 3.能解决与二项式定理有关的简单问题， 逻辑推理、数学运算 教材梳理明要点 ●情境导入 在多项式乘法运算中我们总结出了常用的完全平方公式：(a+b)2=a2+ [提示] 2ab+b2和完全立方公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.对于4次方，5次 可利用计数原理得出 方甚至更高次方的展开式只能用多项式乘法法则展开.那么(a+b)”有没 (a+b)”展开式的二 项式定理 有可通用的展开式公式呢？ ●[提示] 023 令新知初探 [知识点反思] 知识点二项式定理 (1)二项展开式的特 点：①展开式共有 (a+b)”= n+1项；@各项中 a,b的次数和都等于 (1)等号右边的多项式叫做(a+b)”的二项展开式，展开式中一共有 二项式的幂指数： 项 ③字母a按降幂排 列，次数由n递减到 (2)各项的系数 (k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数 0,字母b按升幂排 (3)通项：(a+b)”展开式的第 项叫做二项展开式的通项，记作 列，次数由0递增 到n； Tk+1= (2)二项式定理中， 二项式系数与项的系 (4)特例：(1+x)”=C0+Cx+C2x2+…+Cx+…+Cx”. 数是两个不同的概 念二项式系数仅指 ●[知识点反思] C8,Ch,…,C,与 a,b的值无关. 白预习自测 1.二项式(a+b)2"的展开式的项数是 A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2(n+1) 2.(2x-3)4的展开式中的第3项为 A.-216 B.-216x C.216 D.216x2 16 的展开式中，常数项为 题型探究 提技能 题型一二项式定理的正用、逆用 [方法总结1] 运用二项式定理解题 例1.(1)求3+ 的展开式； 的策略 (1)正用：对较繁架 (2)化简：C(x+1)”-C(x+1)-1+C2(x+1)-2-…+(-1)C(x 的式子，可先化简再 +1)”-+…+(-1)C8. 用二项式定理展开 ●[方法总结1] 展开时要注意二项展 开式的特点，前一个 字母是降幂，后一个 字母是升幂.形如 (a-b)”的展开式中 会出现正负间隔的 情况； (2)逆用：逆用二项 式定理可将多项式化 简，对于这类问题的 求解，要熟悉公式的 特点：项数、各项幂 指数的规律以及各项 的系数 024 》跟踪训练1 已知C3”+C13"-1+C23"-2+…+C%-13+C4=1024,则n=. 题型二求二项展开式中的特定项 [方法总结2] 12 二项展开式的特定项 例2在二项式x- 的展开式中，求：(1)第4项；(2)常数项；(3)有理 问题 Y 项. (1)常见题型：①求第 k项；®求含xm(或 [方法总结2] xy)的项；③求常数 项；④求有理项； (2)一般步骤 ①写出二项展开式的 通项，并进行适当整 理（通常用幂的运算 法则).②依据特定项 的特征建立方程：对 于常数项，通常令通 项中“变元”的幂指 数为0建立方程；对于 有理项，通常令通项 中“变元”的幂指数 为整数建立方程。 ③写出符合要求的特 定项 )跟踪训练2 若x- 2 展开式的常数项为60，则常数α的值为 025 题型三二项式系数与项的系数问题 例3已刘是 的二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二 [方法总结3] 项式系数的比为8：3. 正确区分二项式系数 (1)求n的值； 与项的系数 二项式系数与项的系 (2)求展开式中x3项的系数及含x项的二项式系数： 数是两个不同的概 ●[方法总结3] 念.二项式系数是指 C,只与项数有关， 与4，b的值无关，二 项式系数的值恒为 正；项的系数是指该 项中除变量外的常数 部分，不仅与项数有 关，还与a,b的值有 关，系数的值可正可 负 )》跟踪训练3 已知R-2” 的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，则n 的值为 026 随堂检测重反馈 1.x+1)9 的展开式中的第4项是 ( A.56x B.84x C.56x4 D.84x4 2.(x-√2y)的展开式中xy的系数是 A.-840 B.840 C.210 D.-210 3.代数式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化简为 4在-是} 的展开式中， (1)求第3项； (2)求含项的系数. 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[7] 6.3.2二项式系数的性质 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解二项式系数的性质，并会简单的应用. 数学抽象、逻辑推理 2.掌握给变量“赋值法”得到各项系数和或奇（偶）数项系数和的方法，并 逻辑推理、数学运算 会灵活运用. 教材梳理 明要点 ●情境导入 (a+b)”展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式： (a+b)…11 [提示] (a+b)）2…121 有对称性，先增后 (a+b)3..133.1 减，中间一项或两项 (a+b)4.…14641 的二次项系数最大， (a+b)5.…15101051 (a+b)6…1615201561 那么(a+b)”展开式的二项式系数C,C,…,C,…,C”有什么规律呢？ P[提示]