6.2.3 组合&6.2.4 第1课时 组合与组合数-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

(2)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因 此需分两类 第一类，当个位排0时，有A个； 第二类，当个位不排0时，有A4A4A4个 故符合题意的六位数共有A+A4A4A=504个. (3)分三种情况， ①当千位上排1,3时，有A2AA个： ②当千位上排2时，有A2A个； ③当千位上排4时， 形如40××，42××的各有A个； 形如41××的有A2A:个： 形如43××的只有4310和4302这两个数. 故共有A2AA+A2A+2A;+A2A+2=110个 跟踪训练2：【解析】(1)百位选5,7,9中的一张，有A:种排 法；十位和个位从剩余4张中选2张排列，有A种排法.所以 大于500的三位数的个数为AA=3×4×3=36 (2)百位不能选0，有A种排法；十位和个位从剩余4张中选 2张排列，有A种排法。 即所有三位数的个数为AA=4×4×3=48. 例3：【解析】(1)从7个元素中选出5个进行排列，有A= 2520种排法. (2)男生站在一起，有A种排法， 女生站在一起，有A4种排法， 全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法， 由分步乘法计数原理知，共有AA4A2=288种排法， (3)先安排女生共有A4种排法， 男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A:种排法，故共有 A4A=1440种排法. 跟踪训练3：C因为课程“乐”“数”排在相邻两周，可用捆绑法」 把“乐”“数”捆绑看作一个元素与其他元素一起排列共A 种，再排其内部顺序A?种，所以不同的安排方案有AA= 120×2=240种.故选C. 随堂检测重反馈 1.A先将老师全排列，有A种排法，形成4个空，将3名学生 插人4个空中，有A种排法，故共有AA=144(种)排法. 2.C根据题意分两种情况：当个位数为0时，有A=24(个)， 当个位数为2或4时，有2AA?=36(个)，所以无重复数字的 四位偶数有24+36=60（个）.故选C. 3.44根据两人在三个空位同侧与异侧进行分类，当两人在三 个空位左侧时：共3×A号=6（种），同理，当两人在三个空位右 侧时：共3×A2=6(种)，当两人在三个空位异侧时：共4×4× A3=32(种)，即共6+6+32=44（种）. 4.【解析】(1)从A,B,C三人中任选两人担任正、副班长，有 A种方法，再安排其余5种职务，有A种方法，根据分步乘 法计数原理知，共有AA;=720种分工方案. (2)7人担任7种职务的分工方案有A7种，A,B,C三人中无 人担任正、副班长的分工方案有AA;种，因此A,B,C三人中 至少有一人担任正、副班长的分工方案有A?-AA?= 3600种. 16 6.2.3组合 6.2.4组合数 第1课时组合与组合数 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 作为一组 知识点二 所有不同组合 n(n-1)(n-2)…(n-m+1) A m! n! m！(n-m)! 预习自测 1.15由题意得，不同选法的种数为C=15. 2.2或3由方程C;=C号和组合数性质可得，在两个组合数下 标相同的情况下，当两个组合数上标和等于下标时，两个组合 数相等，即x+2=5,x=3;当两个组合数上标相同时，两个组 合数相等，即x=2;故x=2或3. 3.2,34}由C-n<5,得nn,--n<5,所以2-3n-10 2 <0.解得-2<n<5.由题设条件知n≥2，且neN,所以n= 2,3,4,故原不等式的解集为2,3,4}. 题型探究提技能 例1：【解析】(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比 赛，没有顺序，是组合问题 (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题. (3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题 (4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题. 跟踪训练1：【解析】(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组 合问题 (2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列 问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一 种票价，故是组合问题. (3)甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关， 是排列问题， 例2：【解析】(1)因为只需考虑学员是否上场，不用考虑角色 差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C (2)教练员可以分两步完成这件事情： 第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C)种 选法； 第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C1种选法. 所以教练员做这件事情的方式种数为C×C· 跟踪训练2：【解析】数字个数相当于从8位数字中选3个作 为3，其余数字都是5，即共有C8=C=56个. 3【解析】（①)原式=C-A号=09X8X7-7×6×5= 4×3×2×1 210-210=0. 0 (2):A=120C2, ·2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)=120n(n-12 2 解得n=3或n=-1(舍去)，又：n≥2，.n=3. 例4：(1)7315(2)14 【解析】(1)因为C=C4,所以C9+C+C+·+C=(C9 +C4)+C+…+C2=(C5+C)+Cg+…+C=…=C8= C=7315. (2)由C1-C=C得C1=C+C,由组合数的性质，可得 C2+1=C1,故8+7=n+1,解得n=14. 跟踪训练3：5006C+C%C=G+Cam×1=8x7x6 3×2×1 100×99=56+4950=5006. 2×1 随堂检测重反馈 1.CA、B、D三个选项都与顺序有关，而C是从全班同学中选 出3名同学出席运动会开幕式与顺序无关，故为组合问题 2BG+g=C+G8+29-6 3.210从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组， 这是组合问题，共有C。=210(种)分法， 4.【解析】甲、乙二人必须参加，则只需要从另外8人中选2 人，是组合问题，共有C?=28种不同的选法. 第2课时组合的综合应用 题型探究提技能 例1：【解析】(1)方法一：至少有一名队长含有两种情况：有一 名队长和两名队长，故共有C·C4+C号·C=825(种). 方法二：采用排除法有C3-C=825(种) (2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女 生、没有女生， 故共有C·C8+C;·Cg+C=966(种) (3)分两种情况：第一类，女队长当选，有C2种； 第二类，女队长不当选，则男队长当选，有C4·C+C·C+ C·C+C4种. 故共有C2+C4·C+C·C+C·C吲+C4=790(种). 跟踪训练1：64若选修2门课，则需要从体育类和艺术类中各 选择1门，共有C4C4=16种；若选修3门课，则分为两种情 况，2门体育类1门艺术类或2门艺术类1门体育类，共有 2C2C=48种.故选课方案一共有48+16=64种 例2：【解析】(1)方法一：可作出三角形C+Cg·C+C%·C4 =116(个). 其中以C1为顶点的三角形有C?+C;·C4+C=36(个). 方法二：可作三角形Ci0-C4=116(个)， 其中以C1为顶点的三角形有C+C·C4+C=36(个) (2)可作出四边形C5+C6·C6+C6·C6=360(个). 跟踪训练2：A方法一：可以按从共面的5个点中取0个、1个 2个，3个进行分类，则得到所有的取法总数为CC;+C,C+ CC+CC =205. 16 方法二：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部 取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C -C4=205. 例3：【解析】(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一 个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4=44=256种 放法 (2)这是全排列问题，共有A4=24种放法， 《(3)方法一：先将4个小球分为3组，有A一种方法， 再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方 法，故共有CCC·=14种放法 方法二：先取4个球中的2个“捆”在一起，有C种选法， 把它与其他2个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒 子，有A种投放方法， 所以共有CA=144种放法. (4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C4种， 当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知， 其余3个球的投放方法有2种，故共有2C4=8(种). 跟踪训练3：【解析】(1)根据分步乘法计数原理得有CCC =90种. (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C6CC2种方法， 这个过程可以分两步完成： 第一步分为三份，每份两本，设有x种方法； 第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法。 根据分步乘法计数原理可得CCC2=xA, 所以x= 2Cc=15. A 因此分为三份，每份两本一共有15种方法. (3)这是“不均匀分组”问题，一共有C6CC=60种方法. (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C6CCA= 360种方法. 例4：【解析】(1)需将6个小球分为4组，然后每个盒子放入1 组，可用3块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意3 处，每种放法对应着一种分法，故共有C=10种. (2)恰有1个盒子空，需将6个小球分为3组，然后放入其中 的3个盒子中，每个盒子放1组.这时可用2块隔板放在6个 小球之间的5个空隙中的任意2处，故共有CC4=40种. (3)恰有2个盒子空，需将6个小球分为2组，然后放入其中 的2个盒子中，每个盒子放1组，这时可用1块隔板放在5个 空隙中的任意1处，故共有CC2=30种. 跟踪训练4：【解析】(1)问题相当于将16个小球串成一串，插 入3块隔板，截为4段，16个小球间有15个空隙，从中选3个 15！ 插入隔板，插法种数为C,=3112=455.故不同的分配方 案共有455种. (2)问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个小 球，再把余下的10个小球放入4个盒子里，求每个盒子里至 少有1个小球的分配方法种数问题.即相当于将10个小球串 成一串，截为4段，10个小球间有9个空隙，从中选3个插入 隔板，插法种数为C。=84,因此不同的分配方案共有84种.014 6.2.3组合 6.2.4 组合数 第1课时组合与组合数 新课程标准解读 学科核心素养 1.通过实例，理解组合的概念。 数学抽象 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式求值， 逻辑推理、数学运算 3.会用组合知识解决一些简单的组合问题 数学运算、数学建模 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示1] 2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载 这种选法没有次序要 人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫 求。共有陈冬、陈中 瑞；陈冬、王杰；陈中 星发射中心点火发射，顺利将陈冬、陈中瑞、王杰 瑞、王杰3种组合 三名航天员送入太空，飞船顺利进人预定轨道， [提示2] 发射取得圆满成功.若在神舟二十号乘组共3名 这种选法有“次序” 要求.共有陈冬、陈 航天员中选择两名登陆月球，共有多少种不同的 中瑞；陈中棉、陈 选法呢？ [提示1] 冬；陈冬、王杰；王 杰、陈冬；陈中瑞、 王杰；王杰、陈中瑞 若选出两名成员，其中一名为指令长，共有多少种不同的选法呢？ 6种不同的选法，其 中每种选法中排在前 ●[提示2] 面的是指令长」 白新知初探 [知识点反思1] 两个组合只要元素相 知识点一组合的定义 同，不论元素的顺序如 一 般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 叫做从n 何，都是相同的组合 [知识点反思2] 个不同元素中取出m个元素的一个组合. [知识点反思1] (1）性质“Cm= Cm”反映了组合数 知识点二组合数与组合数公式 的对称性，即从n个不 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 同的元素中取出m个 元素的每一个组合， 组合数定义 的个数，叫做从n个不同元素中取出m 都对应着剩下的(n 个元素的组合数 m)个元素的一个组 合，反过来也一样，这 符号表示 C 是一一对应的关系· 组合数公式 乘积式 Ca= 当m>号时，通常不直 接计算C”,而改为计 组合数公式 阶乘式 C%= 算Cm，起到简化计 算的作用； 性质 CM=CaCM=C+C- (2)性质“Cm1=C 备注 ①n,m∈N*,并且m≤n;②规定C°=1 +C”-1,可理解为： 从n+1个元素中选m 个元素（组合数为 P[知识点反思2] C1)可分两种情况， 015 白预习自测 一种情况是不选特定 元素a,从其余n个元 1.现有6名党员，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为 素中选m个元素（组 合数为C),另一种情 况是选特定元素α，从 其余n个元素中选 (m-1)个元素（组合 2.若方程C=C,则x= 数为Cm1),由分类加 法计数原理知C+1= 3.不等式C2-n<5的解集为 C+C；该性质常 用于有关组合数式子 的化简或组合数恒等 式的证明. 题型探究提技能 题型一组合的有关概念 例1判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职 务，有多少种不同的选法？ [方法总结1] (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 组合的特点是只选不 排，组合只是从几个 >[方法总结1] 不同的元素中取出m (m≤n)个不同的元素 即可，与顺序无关， 排列不但要取出元 素，还要对取出的元 素排序 016 》跟踪训练1 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合A={a,b,c,d,e,则集合A的子集中含有3个元素的有多 少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种 票价？ (3)2024年元旦期间，某班10名同学互送贺卡表示新年的祝福，贺卡共有 多少张？ 题型二简单组合问题 例2一位教练的足球队共有17名初级学员，按照足球比赛规则，比赛时一 [方法总结2] 解简单的组合应用题 个足球队的上场队员是11人.问： 时，首先要判断它是 (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案（只需 不是组合问题，是否 列出算式即可)？ 需要分类或分步，构 (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练 造合理的数学模型可 员有多少种方式做这件事情（只需列出算式即可）？ 化繁为简，化难为易。 >[方法总结2] ●017 〉跟踪训练2 将5个数字5和3个数字3排成一列，组成八位数，共有多少个不同的八位 数？ 题型三组合数公式的应用 角度1化简与求值 例3(1)计算：C-C·A； (2)若An=120C2,求n. [方法总结3] 利用组合数公式解方 程、不等式的方法 技巧 (1)化简：先用组合 数的两个性质化简； (2)转化：利用计算 公式将组合数的形式 转化为常规的代数方 程、不等式， (3)求解：解常规代数 方程、不等式， (4)检验：注意由C 中的m∈N,ne 角度2组合数的性质 N°，且n≥m确定 例4(1)Cg+C+c++c货= m,n的范围，验证 所得结果是否符合题 (2)已知C7+1-C7=C8,则n= ●[方法总结3] 意 》跟踪训练3 计算C+C8C= 018 随堂检测重反馈 1.下列问题中属于组合问题的是 A.从4名志愿者中选出2人分别担任导游和翻译 B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式 D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 2.C%+C= A.72 B.36 C.30 D.42 3.10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为 .（用数字作答) 4,在一次物理竞赛中，某学校有10人通过了初试，学校要从中选出4人参加县级培训.甲、乙二人 必须参加，有多少种不同的选法？ 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[5] 第2课时 组合的综合应用 新课程标准解读 学科核心素养 1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法 数学建模、数学运算 2.理解排列、组合中的分组分配等问题 数学建模、数学运算 题型探究提技能 题型一有限制条件的组合问题 [方法总结1] 例1课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一 有限制条件的组合问 题主要有两类 名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)“含”与“不 (1)至少有一名队长当选； 含”问题，其解法常 (2)至多有两名女生当选； 用直接分步法，即 (3)既要有队长，又要有女生当选， “含”的先取出， ●[方法总结1] “不含”的元素去掉 再取，分步计数； (2)“至多”“至 少”问题，其解法常 有两种解决思路：一 是直接分类法，但要 注意分类要不重不 漏；二是间接法，注 意找准对立面，确保 不重不漏