7.5 正态分布-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[17] 第七章 A组·基础巩固 1.已知随机变量X服从正态分布N(10,22),则 D(3X-1)= A.6 B.11 C.12 D.36 2.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2)， P(X≤4)=0.842，则P(X≤2)= A.0.842 B.0.158 C.0.421 D.0.316 3.如果正态总体的数据落在[-3，-1]内的概 率和落在[3,5]内的概率相等，那么这个正态 总体的均值是 A.0 B.1 C.2 D.3 4.某中学抽取了1600名同学进行身高调查，已 知样本的身高（单位：cm)服从正态分布 N(170,2).若身高在165cm到175cm的人 数占样本总数的号，则样本中不高于165m 的同学人数约为 A.80 B.160 C.240 D.320 5.(多选)已知甲、乙两类水果的质量（单位：kg) 分别服从正态分布N(1,σ)，N(2,σ)，其 正态曲线如图所示，则 () 00.40.8 A.乙类水果质量的均值比甲类水果质量的均 值小 B.甲类水果的质量比乙类水果的质量分布更 集中 C.甲类水果质量的均值比乙类水果质量的均 值小 D.乙类水果的质量比甲类水果的质量分布更 集中 6.(多选)若随机变量X~N(u,σ2)，则（) A.X的密度曲线与y轴的交点为0,1。一e器)】 σ√/2m B.X的密度曲线关于x=σ对称 7.5正态分布 C.2P(X>u+3σ)=P(IX-l>3σ) D.若Y=X-,则E(Y)=0,D(Y)=1 7.已知正态分布落在区间(0.2，+∞)内的概率 为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x= 时达到最高点 8.某城市每年6月份的平均气温t近似服从 N(28,σ2)，若P(28≤t≤32)=0.2，则可估计 该城市6月份平均气温低于24℃的天数为 9已知窗机安量-3)，且到-子， 则P(3<<5)= 10.设X~N(3,42),试求： (1)P(-1≤X≤7)； (2)P(X>11). 2 B组·综合运用 11.工厂质量监控小组从一批面粉中抽取n袋测 量其重量，已知每袋面粉的重量X(单位：千 克)服从正态分布N(20,25n),若P(19.95 ≤X≤20.05)≥0.9973，则n的最小值为 参考数据：若X~N(,σ2)，则P(u-3σ≤X ≤u+3σ)≈0.9973. A.120B.144C.150 D.160 12.某工厂生产了10000根钢管，其钢管内径 (单位：mm)近似服从正态分布N(20,σ2)(g >0),工作人员通过抽样的方式统计出，钢管 内径高于20.05mm的占钢管总数的30，则这 批钢管中，内径在19.95mm到20mm之间 的钢管数约为 13.已知某地农民工年均收入X服从正态分布， 其正态曲线如图所示 y 5002元 0 8000 (1)写出此地农民工年均收入的密度函数解 析式； (2)求此地农民工年均收人在8000~8500 元之间的人数所占的百分比. -143 C组·拓展提升 4.已知从某批材料中任取一件，取得的这件材 料的强度X服从N(200,182). (1)计算取得的这件材料的强度不低于182 的概率； (2)如果所用的材料需以95%的概率保证强 度不低于164，问这批材料是否符合这个 要求？10.【解析】(1)由题知5的可能取值为0,1,2， P(5=0)=C:S-2 C 7 PE=)=S:C-4 C 7 2) 所以专的分布列为 0 1 2 (2)由(1)可得E(5)=0×号+1×号+2×= 6 0)=(0-9)×号+(1-9）×号+(2-9)× 11.A由题意知，10个数中，1,3,5,7,9为阳数，2,4,6,8,10为 阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为总=：若 任取的3个数中有1个阴数，则概率为S:C-三 C。 2,放这3 个数中至多有1个阴数的概率为P= 12.49 0如图所示，设AB为半圆弧的 直径，C,D,E为半圆弧另外的三个 四等分点，从A,B,C,D,E这5个点 A 中任取3个点构成三角形，一共能 组成三角形的个数为C:=10.其中直角三角形有△ABC △ABD、△ABE,共3个，钝角三角形的个数为10-3=7，由题 意可知XE0,12,3,PX=2)==0,P(X=3) 、号恩因此，所求概*为P+359 120-60 13.【解析】(1)80名学生的平均成绩为(55×0.01+65×0.03 +75×0.03+85×0.025+95×0.005)×10=73.5. (2)根据频率分布直方图知，优秀学生对应的频率为(0.025 +0.005)×10=0.3. 则非优秀学生对应的频率为1-0.3=0.7， 所以抽取的10名学生中，有优秀学生10×0.3=3（人），非 优秀学生10×0.7=7（人）. 则X所有可能的取值为0,1,2,3， P(X=0)=C 40 CC 7 C 1 P(X=2)=-6PX=3)-品20 所以X的分布列为 X 0 1 3 ◇ 7 21 7 1 24 40 40 120 7 21 所以E(X)=0×24+1×40+2×40+3×120=10 19 14.【解析】(1)设“从袋中任取1个球为红球”为事件A,则 P(A)=. 所以三次取出的球中恰有2个红球的概率为 p=c×(传）广号品 (2)设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B,则 P(B)= C+C+C7-m C10 =6+n(n-1)+(7-n)(6-n-4 90 5 整理得n2-7n+12=0, 解得n=3(舍)或n=4, 所以红球的个数为10-3-4=3. (3)5的可能取值为2,3,4,5,6， C22 P(5=2)=C= s=:瓷音 P(E=4)= cic;+c= Cio , P(E=5)= Cio P(5=6=之=： 所以专的分布列为 2 3 4 5 6 2 4 P 15 15 35 15 4 1 所以E(E)=2× 2 5+3X5+4x3+5X+6x19 5=5 练案[17] 1.D因为随机变量X服从正态分布N(10,2),所以D(X)=22 =4,所以D(3X-1)=32D(X)=9×4=36. 2.BP(X≥4)=1-0.842=0.158.因为u=3,所以P(X≤2)= P(X≥4)=0.158.故选B. 3.B:随机变量X服从正态分布，X的取值落在区间[-3，-1] 内的概率和落在区间[3,5]内的概率是相等的，函数图象关 于直线x=-)+3=1对称，随机变量X的均值为1 2 4BPX≤165)=宁×(-号)=0则样木中不商于165 em的同学人数约为160×0=160 5.BC由图象可知，甲类水果质量的均值41=0.4，乙类水果质 量的均值u2=0.8,且o1<σ2，则B、C正确，AD不正确，故选 BC. 6.ACD若X~N(u,o2),则其密度函数f(x)= 1 02m 。器，此x的渡线与，轴胶点为(0。左)， 故A正确；X的密度曲线关于直线x=u对称，故B错误； P(IX-ul>30)=P(X<u-3g)+P(X>u+30)= 5 2P(X>4+30),故C正确：E(Y)=E)=业=0，D()= D()=1,故D正确放选ACD 7.0.2由正态曲线关于直线x=u对称且在x=u处达到峰值 和其落在区间(0.2，+∞)内的概率为0.5，得u=0.2. 8.9因为每年6月份的平均气温t近似服从N(28,σ2)，所以u =28,因为P(28≤t≤32)=0.2，所以P(24≤t≤28)=0.2，所 以P(t<24)=0.5-0.2=0.3,所以该城市6月份平均气温低 于24℃的天数为0.3×30=9. 903由题在知=3，故P(<1)=P5>5.智 子所货=子又P<5+P6>5)=1,所以PG >5)=0.2,故P(3<5<5)=P(5>3)-P(≥5)=0.5-0.2 =0.3. 10.【解析】X~N(3,42),4=3,σ=4. (1)P(-1≤X≤7)=P(3-4≤X≤3+4)=P(4-σ≤X≤4 +σ)≈0.6827. (2).P(X>11)=P(X<-5). P(X>1I)=2[1-P(-5≤X≤1I)] =1-P(3-8≤X≤3+8] =1-Pu-2a≤X≤+2o)月 =7×1-0.9545)=0.02275. 11.B由题意知当P(19.95≤X≤20.05)≥0.9973时，[u 30u+3a]c[1995,20051,又a=20,a√2，所以 05≥3，√石解得a≥14，所以n的最小值为14放 选B. 12.4800P(X<19.95)=P(X>20.05)=30P(19.95≤ X≤205)=1号=尝Pr1995≤≤20)=错=号放 224 这批钢管内径在19.95mm到20mm之间的钢管数约为 1000×号=4800 13.【解析】设此地农民工年均收入X~W(u,σ2)， 结合题图可知，4=8000,0=500. (1)此地农民工年均收入的密度函数解析式为 1 f代x)= -(x-8000)2 500√/2m 2x5002,xeR (2).P(7500≤X≤8500)=P(8000-500≤X≤8000+ 500)≈0.6827， P(8000≤X≤8500)=2P(7500≤X≤850)=0.34135 =34.135%. 故此地农民工年均收入在8000~8500元之间的人数所占 的百分比为34.135%. 14.【解析】(1)X~N(u,o2),其中4=200，c=18, 而182=200-18=4-0， 218=200+18=4+0, .19 .P(182≤X≤218)≈0.6827. 又.1=P(X<182)+P(182≤X≤218)+P(X>218), 由正态曲线的对称性可知P(X<182)=P(X>218), P(X<182)≈2×(1-0.6827)≈0.1587. .P(X≥182)=1-P(X<182)≈1-0.1587=0.8413. 故所求的概率为0.8413. (2)由(1)知164=4-20,236=u+20, .P(164≤X≤236)≈0.9545. 又由正态曲线的对称性可知P(X<164)=P(X>236), 且P(X<164)+P(164≤X≤236)+P(X>236)=1, 1 P(X<164)≈2×(1-0.9545)≈0.0228， .∴.P(X≥164)≈1-P(X<164)=0.9772>0.95. 故这批材料符合这个要求 练案[18] 1.C圆的面积与半径之间的关系是确定的函数关系，所以A 中说法错误；体育锻炼与身体健康指标之间的关系不是函数 关系，是相关关系，所以B中说法错误；人的体重与视力没有 关系，所以D中说法错误；易知C中说法正确.故选C. 2.C①中，由散点图可得，两相关变量呈负相关，样本相关系数 r<0,故①错误；②中，由散点图可得，两相关变量呈正相关， 则样本相关系数可能是r=0.75;③中，若样本相关系数 T=-1,则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然不符 合，故③错误；④中，若样本相关系数r=1,则所有的点应该分 布在一条直线上，散点图显然不符合，故④错误 3.A观察第一组样本点，y随x的增大而增大，故r1>0;观察第 二组样本点，y随x的增大而减小，故2<0.综上：1>0>2 故选A. 4.A·这组成对样本数据的样本相关系数为-1，.这一组成 对样本数据(x1,少)，(x2,y2),…,(xyn)线性相关，且是负相 关.可排除B、CD. 5.AD由r1>0知x与y正相关，由2<0知u与v负相关，又 IrI<r2l,.变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关 性强. 6.ABC由相关系数的性质，A、B、C正确；D中r=0.1时，两变 量相关性较弱，D不正确. 7.确定关系由表中数据可以得到x,y之间是一种函数关系， 即y=2x+1,所以x,y是一种确定的关系 8.乙因为成对样本数据的样本相关系数的绝对值越接近1， 相关程度越强，由题意得，乙组的样本相关系数的绝对值最接 近1，所以乙组成对样本数据的线性相关程度最强 2(x,-x)(3-列 9.0.75由r= 二，得r=0.75. √(-)√(-) 10.【解析】由题表可知，t=3,y=4.7, Σ(t-t)(y-y) 14.7 则r= √4-)√-) √/10×/22.78 147=0.97>0.75,放创收利润数y与时间：的线性相 2/56.95 关程度很高 96