6.2.2 第2课时 排列的综合应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

所以这个四位数的个位数字一定是“0” 故要确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字 即可， 共有3×2×1=6（个）. (2)此题可以理解为从5家单位中选出4家单位， 分别把4名大学生安排到4家单位， 共有5×4×3×2=120（个）分配方案 跟踪训练2：B对于两个大站A和B,从A到B的火车票与从B 到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终 点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素（大站）中取出2 个不同元素（起点站和终点站）的一种排列，故不同的火车票 有6×5=30（种）. 例3：【解析】完成这件事可以分为两步 第一步：把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不 同元素中取出4个元素的排列问题，有A4种方法； 第二步：把4名护士分配到四个不同的单位，也有A4种方法 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有A:×A4=576 (种). 跟踪训练3：【解析】(1)本题实质是求从1,2,3,4四个数字 中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题， 故排列数A即为没有重复数字的三位数的个数. (2)这是6个元素的全排列问题，其排列数A6即为一天的课 程的排法种数 例4：【解析】(1)因为2x+1≥4， 以x≥3，xeN x≥3， 由A11=140A得(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1) (x-2) 化简得4x2-35x+69=0, 解得=3孕（会去) 所以原方程的解为x=3. 2)证明-式= n! n！ n！ (n-m)！n+1-m n! =m‘(n+1-m月 =mA-1, .'Am -A"mAm-1. 跟踪训练4：D由<6-，得g<6×0”化简 81 得-19x+84<0,解得7<x<12①，又≤8， 所以 l0<x-2≤8， 2<x≤8②，由①②及xeN*,得x=8. 随堂检测重反馈 1.C由题意可知，不同的顺序种数为A4=4×3×2×1=24. 2.CA2=12×11×10=1320,A0=10×9×8=720,故A2- A。=1320-720=600. 3.4列“树状图”如下，故共有乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲 4种排列方法. 15 甲—一丙 甲一乙 丙 丙一甲 乙一甲 4.648第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中 取出1个，有A种取法；第2步，确定十位和个位上的数字， 可以从剩下的9个数字中取出2个，有A。种取法.根据分步 乘法计数原理，所求的三位数的个数为A。×A。=9×9×8 =648. 第2课时排列的综合应用 题型探究提技能 例1：【解析】(1)方法一（位置分析法）：因为甲不站左右两端， 故先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A?种站 法；再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有A种站法， 由分步乘法计数原理知共有A?A1=480种站法. 方法二（元素分析法）：因为甲不能站左右两端，故先让甲排 在除左右两端之外的任一位置上，有A种站法；再让余下的 5个人站在其他5个位置上，有A;种站法，由分步乘法计数原 理知，共有A4A;=480种站法. 方法三（间接法）：在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置 全排列，有A种站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因 此减去甲站左端或右端的排列数2A:,于是共有A。-2A:= 480种站法. (2)首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有A种站法；再让 其他4个人在中间4个位置全排列，有A4种站法，根据分步 乘法计数原理，共有A2A4=48种站法. (3)方法一（间接法）：甲在左端的站法有A:种，乙在右端的 站法有A:种，而甲在左端且乙在右端的站法有A4种，故共有 A8-2A+A=504种站法. 方法二（直接法）：从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第一 类，甲站右端有A;种站法；第二类，甲站在中间4个位置之 一，而乙不站在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个人，有 A4A4A种站法，故共有A+A4AA1=504种站法. 跟踪训练1：【解析】方法一（先满足特殊位置）：由于排头和排 尾两个位置有限制要求，因此先从5名学生中选出2名站在 排头和排尾，有A种方法，余下的四人可任意站，有A种方 法，所以符合要求的排法有AA4=480(种). 方法二（先满足特殊元素）：老师既然不能排在两端，于是可 以从中间四个位置中任选一个，有A种方法.5名学生在余 下的五个位置中任意排列，有A;种排法.因此符合题意的排 法有A4A:=480(种). 方法三（间接法）：由于六个人任意排有A种排法，但实际必 须减去老师排在排头的A种方法和排在排尾的A种方法， 因而有A6-2A;=480(种)排法. 例2：【解析】(1)第一步，排个位，有A种排法； 第二步，排十万位，有A种排法； 第三步，排其他位，有A种排法. 故共有A:A4A4=288个六位奇数. 9 (2)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因 此需分两类 第一类，当个位排0时，有A个； 第二类，当个位不排0时，有A4A4A4个 故符合题意的六位数共有A+A4A4A=504个. (3)分三种情况， ①当千位上排1,3时，有A2AA个： ②当千位上排2时，有A2A个； ③当千位上排4时， 形如40××，42××的各有A个； 形如41××的有A2A:个： 形如43××的只有4310和4302这两个数. 故共有A2AA+A2A+2A;+A2A+2=110个 跟踪训练2：【解析】(1)百位选5,7,9中的一张，有A:种排 法；十位和个位从剩余4张中选2张排列，有A种排法.所以 大于500的三位数的个数为AA=3×4×3=36 (2)百位不能选0，有A种排法；十位和个位从剩余4张中选 2张排列，有A种排法。 即所有三位数的个数为AA=4×4×3=48. 例3：【解析】(1)从7个元素中选出5个进行排列，有A= 2520种排法. (2)男生站在一起，有A种排法， 女生站在一起，有A4种排法， 全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法， 由分步乘法计数原理知，共有AA4A2=288种排法， (3)先安排女生共有A4种排法， 男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A:种排法，故共有 A4A=1440种排法. 跟踪训练3：C因为课程“乐”“数”排在相邻两周，可用捆绑法」 把“乐”“数”捆绑看作一个元素与其他元素一起排列共A 种，再排其内部顺序A?种，所以不同的安排方案有AA= 120×2=240种.故选C. 随堂检测重反馈 1.A先将老师全排列，有A种排法，形成4个空，将3名学生 插人4个空中，有A种排法，故共有AA=144(种)排法. 2.C根据题意分两种情况：当个位数为0时，有A=24(个)， 当个位数为2或4时，有2AA?=36(个)，所以无重复数字的 四位偶数有24+36=60（个）.故选C. 3.44根据两人在三个空位同侧与异侧进行分类，当两人在三 个空位左侧时：共3×A号=6（种），同理，当两人在三个空位右 侧时：共3×A2=6(种)，当两人在三个空位异侧时：共4×4× A3=32(种)，即共6+6+32=44（种）. 4.【解析】(1)从A,B,C三人中任选两人担任正、副班长，有 A种方法，再安排其余5种职务，有A种方法，根据分步乘 法计数原理知，共有AA;=720种分工方案. (2)7人担任7种职务的分工方案有A7种，A,B,C三人中无 人担任正、副班长的分工方案有AA;种，因此A,B,C三人中 至少有一人担任正、副班长的分工方案有A?-AA?= 3600种. 16 6.2.3组合 6.2.4组合数 第1课时组合与组合数 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 作为一组 知识点二 所有不同组合 n(n-1)(n-2)…(n-m+1) A m! n! m！(n-m)! 预习自测 1.15由题意得，不同选法的种数为C=15. 2.2或3由方程C;=C号和组合数性质可得，在两个组合数下 标相同的情况下，当两个组合数上标和等于下标时，两个组合 数相等，即x+2=5,x=3;当两个组合数上标相同时，两个组 合数相等，即x=2;故x=2或3. 3.2,34}由C-n<5,得nn,--n<5,所以2-3n-10 2 <0.解得-2<n<5.由题设条件知n≥2，且neN,所以n= 2,3,4,故原不等式的解集为2,3,4}. 题型探究提技能 例1：【解析】(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比 赛，没有顺序，是组合问题 (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题. (3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题 (4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题. 跟踪训练1：【解析】(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组 合问题 (2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列 问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一 种票价，故是组合问题. (3)甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关， 是排列问题， 例2：【解析】(1)因为只需考虑学员是否上场，不用考虑角色 差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C (2)教练员可以分两步完成这件事情： 第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C)种 选法； 第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C1种选法. 所以教练员做这件事情的方式种数为C×C· 跟踪训练2：【解析】数字个数相当于从8位数字中选3个作 为3，其余数字都是5，即共有C8=C=56个. 3【解析】（①)原式=C-A号=09X8X7-7×6×5= 4×3×2×1 210-210=0. 0011 第2课时排列的综合应用 新课程标准解读 学科核心素养 1.进一步理解排列、排列数的概念. 数学抽象 2.能用排列知识解决综合的实际问题， 数学建模、逻辑推理 题型探究提技能 题型一特殊元素与特殊位置问题 例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站右端，也不站左端； (2)甲、乙站在两端； [方法总结1] (3)甲不站左端，乙不站右端。 [方法总结1] “特殊”优先原则 处理特殊元素或特殊 位置问题的解题原则 是谁“特殊”谁优 先.一般从以下三种 思路考虑： (1)以元素为主考 虑，即先安排特殊元 素，再安排其他 元素； (2)以位置为主考 虑，即先安排特殊位 置，再安排其他 〉跟踪训练1 位置； 5名学生和1位老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多少种？ (3)用间接法解题， 先不考虑限制条件， 计算出全排列数，再 减去不符合要求的排 列数 012 题型二与数字有关的排列问题 例2用0，2,34,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复 的数字？ (1)六位奇数： (2)个位数字不是5的六位数； [方法总结2] 数字排列问题的常用 (3)不大于4310的四位偶数. P[方法总结2] 方法 (1)首位数字不能为 0,若所选数字中含有 0,则可先排0，即“元 素分析法”； (2)若排列的是特殊 数字，如偶数，则先排 个位数字，即“位置 分析法”. )〉跟踪训练2 从分别印有数字0,3,5,7,9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数. (1)求可以组成多少个大于500的三位数； (2)求可以组成多少个三位数. 013 题型三“相邻”与“不相邻”问题 例33名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数 (1)选其中5人排成一排； [方法总结3] (2)全体站成一排，男、女各站在一起； 处理元素“相邻”与 “不相邻”问题的 (3)全体站成一排，男生不能站在一起 [方法总结3] 策略 (1)元素相邻：通常 采用“捆绑”法，即 把相邻元素看作一个 整体参与其他元素 排列； (2)元素不相邻：通 常采用“插空”法， 即先考忘不受限制的 元素的排列，再将不 相邻元素插在前面元 】跟踪训练3 素排列的空中 为弘扬我国古代的“六艺”文化，某小学开设“礼”“乐”“射”“御”“书” “数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，课程“乐”“数”排在相邻两 周，则不同的安排方案有 () A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 随堂检测重反馈 1.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为 A.144 B.72 C.36 D.12 2.用0,1,2,3,4组成无重复数字的四位偶数的个数为 A.24 B.48 C.60 D.72 3.一排11个座位，现安排2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不相邻，则不同排法的种数 是 4.某班有A,B,C等7名班委，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工 (1)若正、副班长两个职务只能从A,B,C三人中选两人担任，有多少种分工方案？ (2)若正、副班长两个职务至少要选A,B,C三人中的一人担任，有多少种分工方案？ 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[4]