7.4.2 超几何分布-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[16] 第七章7.47.4.2超几何分布 A组·基础巩固 6.（多选)2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬 1.一个袋子中装有4个白球，5个黑球和6个黄 奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会 球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率 项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的 为 ( 了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所 +器 B.、10 学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会 273 9 项目的人数如图所示 D.a0 人数 601 2.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽 % 出5张，则至少有3张是A的概率为( 40 32 36 32 36 A.CiC B.C 30 场 8/26 24 C2 C2 18 C.1-Cc2 A B C D E F G H M N学校 D. CC+CiCis C C 若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬 3.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已 奥会项目的宣讲活动，记X为被选中的学校中 知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球 了解冬奥会项目的人数在30以上的学校数， 的概率是了从袋中任意摸出3个球，记得到 则下列说法中正确的是 白球的个数为X,则P(X=2)= ( A.X的可能取值为0,1,2,3 A可 R号 BP(X=0)=号 c高 D.2 cE(X0-号 4.现有语文、数学课本共7本（其中语文课本不 少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课 n0-共 本的概率是号，则语文课本有 ( 7.某导游团有外语导游10人，其中6人会说日 A.2本 B.3本 语，现要选出4人去完成一项任务，则恰有2 C.4本 D.5本 人会说日语的概率为 5.(多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号8.有10件产品，其中4件是次品，从中任取3 为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编 件，若X表示取得次品的个数，则E(2X+1) 号为7,8,9,10.现从中任取4个球，下列变量 服从超几何分布的是 ( A.X表示取出的最大号码 9.某学校有一个体育运动社团，该社团中篮球、 B.X表示取出的最小号码 足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设 C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1 X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若 分，X表示取出的4个球的总得分 D.X表示取出的黑球个数 P(X>0)-=号，则该社团的人数为 139 10.从5名女生和2名男生中任选3人参加英语 B组·综合运用 演讲比赛，设随机变量表示所选3人中男11.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河 生的人数， 图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河 (1)求的分布列： 图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八 (2)求专的均值和方差. 在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳 数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个 数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为 () 000-000-d ●●● B.3 c 3 12.把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径 的两端点)为顶，点，作出三角形，从中任取3 个不同的三角形，则这3个不同的三角形中 钝角三角形的个数X不少于2的概率为 13.新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想 得高分比较困难.为了调动学生学习数学的 积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己 的教学方法进行改革，经过一学期的教学实 验，张老师所教的80名学生参加一次数学测 试，成绩都在[50,100]内，按区间分组为 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90, 100],绘制成如图所示的频率分布直方图，规 定不低于80分（百分制）为优秀 个频率 组距 0.03------ 0.025 0.01 0.005---- 0 5060708090100分数 140 (1)求这80名学生的平均成绩（同一区间的 C组·拓展提升 数据用该区间中点值作代表)； 14.在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑 (2)按优秀与非优秀用比例分配的分层随机 球有3个，白球有n(2≤n≤5，n∈N且n≠3) 抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在 个，其余的球为红球 这10名学生中，选3名学生发言，记优秀 (1)若n=5,从袋中任取1个球，记下颜色后 学生发言的人数为随机变量X,求X的分 放回，连续取三次，求三次取出的球中恰 布列和均值 有2个红球的概率； (2)从袋中任取2个球，如果这2个球的颜色 相同的概率是求红球的个数： (3)在(2)的条件下，从袋中任取2个球.若 取出1个白球记1分，取出1个黑球记2 分，取出1个红球记3分，用专表示取出 的2个球所得分数的和，写出的分布 列，并求飞的均值E(). 141X 0 1 、2 3 4 5 6 1 3 15 5 15 3 64 32 64 1664 32 64 (2)记“需要补种沙柳”为事件A, 则P(A)=P(6-X≥3)=P(X≤3)， 得P(A)=1 3155_21 4+32+64+i632 (或PA)=1-Px>3=1-(点+完+))， 所以瓷要补希沙物的旗率为号 11.410由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三 株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，其概率为C4×0.84+ C×(1-0.8)×0.83=0.8192,即一个小组能被评为“阳光 小组”的概率为0.8192，则被评为“阳光小组”的个数X服从 二项分布X~B(500,0.8192),所以能被评为“阳光小组”的 约有500×0.8192=409.6≈410个 12.4依题意，知X~B(10,P),且D(X)=10p(1-p)=2.4,即 p2-p+0.24=0,解得p=0.6或p=0.4.又P(X=4)>P(X =6),所以Ctop(1-p)o-4>Cp(1-p)0-6,所以(1-p)2 >p2,又0<p<1,则0<p<0.5,所以p=0.4,所以E(X)= 10p=10×0.4=4. 13.【解析】(1)起火点被无人机击中次数X的所有可能取值 为0,1,2,3 P(x=0)=(5)'= Prx=i)=c×号×（传）' r=2)=Gx(侍)广x写器， PX=3)=(告)广酷 ·.X的分布列如下 X 0 1 2 3 P 1 12 48 64 125 125125125 X-B(3,号)(0=3x专=号 (2)击中一次被扑灭的概率为 A=Gx(告)广（传）广x总 1 6 击中两次被扑灭的概率为 -32 B=G×(等)×5×号=器 击中三次孩扑灭的微车为月=（告）广。 六所成瓶率户会+费+答惯 .64102 14【解桥】(1)由已知X-B(6,分)· 所以P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) =cx(3)+Cx2x(分）广+cx(2)×(3) 1,6,15_11 6464+64=32 19 (2)由已知X~B(n,0.5), 所以E(X)=0.5n,D(X)=0.25n, 若0.4≤X≤0.6，则0.4n≤X≤0.6n, n 即-0.ln≤X-0.5n≤0.1n, 即1X-0.5nl≤0.1n. 由切比雪夫不等式知P(1K-0.5nl≤0.1n)≥1-0.25n (0.ln)2 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与 0.6之间，则1-0.25n (0.1n≥0.98， 解得n≥1250，所以估计信号发射次数n的最小值为1250. 练案[16] 1.A随机变量X服从N=15,M=5,n=4的超几何分布，所以 C5·C1020 p(X=3)=C;=273 2.D设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)= P(X=3)+P(X=4)=CCCC 3.C设袋中白球个数为x,由题意得1- 号45 X服从超几何分布，其中P(X=2) C3C5_5 C。12 4.C设语文课本有n(n≥2)本，则数学课本有(7-n)本，则从 中任取2本，2本都是语文课本的概率是7兰=二，所以 -n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去)，所以n=4. 5.CD选项A、B不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布 的数学模型计算概率，即A、B错误；选项C、D符合超几何分 布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何 分布的数学模型计算概率，即C、D正确.故选CD. 6.ACD由题意可得X的可能取值为0,1,2,3，故A正确；分析 可得X限以超儿何分布，其分布列为P(X=)一CC化 0,1,2,3),则P(X=0)= )=C=6,故B错误；E(x)=3×4E 10 号故c正瑞0=o-号)×名+1-号)器 Cio 3 1. 恰有2人会说日语的概率为 C6=7 87 5 由题意可得：X服从超几何分布，(X)-兴号所以 E(2X+1)=2E(X)+1=13 5 9.7设该社团的人数为n,..P(X=0)= C2= C2 a2n3p(x=0)=1-p(X>0)=”. n(n-1) 2n-31=0,即(11n-18)·(n-7)=0, n(n-1) N,解得n=7. 10.【解析】(1)由题知5的可能取值为0,1,2， P(5=0)=C:S-2 C 7 PE=)=S:C-4 C 7 2) 所以专的分布列为 0 1 2 (2)由(1)可得E(5)=0×号+1×号+2×= 6 0)=(0-9)×号+(1-9）×号+(2-9)× 11.A由题意知，10个数中，1,3,5,7,9为阳数，2,4,6,8,10为 阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为总=：若 任取的3个数中有1个阴数，则概率为S:C-三 C。 2,放这3 个数中至多有1个阴数的概率为P= 12.49 0如图所示，设AB为半圆弧的 直径，C,D,E为半圆弧另外的三个 四等分点，从A,B,C,D,E这5个点 A 中任取3个点构成三角形，一共能 组成三角形的个数为C:=10.其中直角三角形有△ABC △ABD、△ABE,共3个，钝角三角形的个数为10-3=7，由题 意可知XE0,12,3,PX=2)==0,P(X=3) 、号恩因此，所求概*为P+359 120-60 13.【解析】(1)80名学生的平均成绩为(55×0.01+65×0.03 +75×0.03+85×0.025+95×0.005)×10=73.5. (2)根据频率分布直方图知，优秀学生对应的频率为(0.025 +0.005)×10=0.3. 则非优秀学生对应的频率为1-0.3=0.7， 所以抽取的10名学生中，有优秀学生10×0.3=3（人），非 优秀学生10×0.7=7（人）. 则X所有可能的取值为0,1,2,3， P(X=0)=C 40 CC 7 C 1 P(X=2)=-6PX=3)-品20 所以X的分布列为 X 0 1 3 ◇ 7 21 7 1 24 40 40 120 7 21 所以E(X)=0×24+1×40+2×40+3×120=10 19 14.【解析】(1)设“从袋中任取1个球为红球”为事件A,则 P(A)=. 所以三次取出的球中恰有2个红球的概率为 p=c×(传）广号品 (2)设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B,则 P(B)= C+C+C7-m C10 =6+n(n-1)+(7-n)(6-n-4 90 5 整理得n2-7n+12=0, 解得n=3(舍)或n=4, 所以红球的个数为10-3-4=3. (3)5的可能取值为2,3,4,5,6， C22 P(5=2)=C= s=:瓷音 P(E=4)= cic;+c= Cio , P(E=5)= Cio P(5=6=之=： 所以专的分布列为 2 3 4 5 6 2 4 P 15 15 35 15 4 1 所以E(E)=2× 2 5+3X5+4x3+5X+6x19 5=5 练案[17] 1.D因为随机变量X服从正态分布N(10,2),所以D(X)=22 =4,所以D(3X-1)=32D(X)=9×4=36. 2.BP(X≥4)=1-0.842=0.158.因为u=3,所以P(X≤2)= P(X≥4)=0.158.故选B. 3.B:随机变量X服从正态分布，X的取值落在区间[-3，-1] 内的概率和落在区间[3,5]内的概率是相等的，函数图象关 于直线x=-)+3=1对称，随机变量X的均值为1 2 4BPX≤165)=宁×(-号)=0则样木中不商于165 em的同学人数约为160×0=160 5.BC由图象可知，甲类水果质量的均值41=0.4，乙类水果质 量的均值u2=0.8,且o1<σ2，则B、C正确，AD不正确，故选 BC. 6.ACD若X~N(u,o2),则其密度函数f(x)= 1 02m 。器，此x的渡线与，轴胶点为(0。左)， 故A正确；X的密度曲线关于直线x=u对称，故B错误； P(IX-ul>30)=P(X<u-3g)+P(X>u+30)= 5