7.4.1 二项分布-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[15] 第七章7. A组·基础巩固 1.打靶时，某人中靶的概率为0.8，则他打100发 子弹有4发中靶的概率为 A.C1o×0.84×0.2%B.0.84 C.0.84×0.26 D.0.24×0.86 2.（多选)已知随机变量X+=7,若X~B(10, 0.6),则E(),D()分别为 A.E()=1 B.E(E)=2 C.D()=2.4 D.D()=5.6 3.“锦里开芳宴，兰缸艳早年.”元宵节是中国非 常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福 气到”抽奖活动.福袋中装有标号分别为1,2， 3,4,5的五个相同的小球，从袋中一次性摸出 三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若 有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的 概率是 72 A. B.108 625 625 c器 D.216 “625 4.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中写道：“春 江潮水连海平，海上明月共潮生.”潮水的涨落 和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自 然现象.根据历史数据，已知某沿海地区在某 个季节中每天出现大潮的概率均为子，则该地 在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮的 概率为 9 D. 5.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两 家店铺，每家店铺招收了两名员工，若某节假 日每位员工休假的概率均为？，且是否休假互 不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一 -13 4 7.4.1二项分布 家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1 人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正 常营业，否则该店就停业，则两家店铺在该节 假日都能正常营业的概率为 () B.4 9 D 8 ·9 6.（多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正 面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概 率分别为P,P2,P3,P,则下列结论中正确的 是 () A.P=P,=P3=P B.P =2P C.P1+P2+P3+P4=1 D.P4=3P, 7.某学生将参加创新知识大赛，答题环节有6道 题目，每答对1道题得2分，答错一道题减1 分，已知该生每道题目答对的概率是号，且各 题目答对与否相互之间没有影响，X表示该生 得分，则E(X)= ,D(X)= 8.设随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),若P(X ≥1)=司则D)= 9.某学校高三年级有400名学生参加某项体育 测试，根据男女学生人数比例，使用比例分配 的分层随机抽样的方法从中抽取了100名学 生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30， 40),[40,50),…,[90,100],整理得到频率分 布直方图如图所示. 忄频率 组距 0.04 0.03 0.02 “■==== 0.01 30405060708090100分数/分 36 (1)若规定小于60分为“不及格”，从该学校10.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带， 高三年级学生中随机抽取一人，估计该学 种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株 生不及格的概率； 沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成 (2)若规定分数在[80,90)为“良好”，[90， 活率为P,设X为成活沙柳的株数，均值 100]为“优秀”.用频率估计概率，从该校 高三年级学生中随机抽取三人，记该项测 B()为3，标准差，D西为 试分数为“良好”或“优秀”的人数为X,求 (1)求n和p的值，并写出X的分布列； X的分布列和均值， (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需 要补种，求需要补种沙柳的概率。 —137 B组·综合运用 11.为舒缓高考压力，某中学高三年级开展了“葵 花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲 自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四 人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长 出三株花苗，则该小组可评为“阳光小组”， 已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好 共种了500盆，则大概有 个小组能 评为“阳光小组”.（结果四舍五入法保留整 数) 12.随着现代科技的不断发展，手机支付应用越 来越广泛，其中某群体的每位成员使用手机 支付的概率都为p,各成员的支付方式相互 独立.设X为该群体的10位成员中使用手机 支付的人数，已知方差D(X)=2.4,且P(X =4)>P(X=6),则均值E(X)= 13.我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势 已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并 广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领 域.某森林消防支队在一次消防演练中利用 无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无 人机对同一目标起火点进行了三次投弹试 验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率 都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无 人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为 分，击中目标两次起火点被扑灭的概率为行， 击中目标三次起火点必定被扑灭 (1)求起火点被无人机击中次数的分布列及 均值； (2)求起火点被无人机击中且被扑灭的 概率。 —138 C组·拓展提升 4.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成 的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号 “0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数 为X (1)当n=6时，求P(X≤2)； (2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变 量Y,若其均值E(Y)和方差D(Y)均存 在，则对任意正实数a,有P(1Y-E(Y)I <a)≥1-0”根据该不等式可以对 事件“IY-E(Y)I<a”的概率作出下限 估计.为了至少有98%的把握使发射信 号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计 信号发射次数n的最小值.则PW=246i6=号.P(B)=25s= 357 X的可能取值为0,1,2， 所以P(X=0=(1-号)×(1-)=子 PX=)=(1-号)×+号×(1-)= PX=2)号x7-0 所以X的分布列为 0 2 31 60 30 (0=0+1×+2×-器 1 (2)依题意可得Y=2-X,所以D(Y)=D(2-X) =(-1)2D(X)=D(X),即D(Y)=D(X). 14.【解析】(1)“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1 期付款”的对立事件是“购买该商品的3位顾客中无人采用 1期付款” :A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1 期付款”，可知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采 用1期付款”， P(A)=(1-0.2)3=0.512. .P(A)=1-P(A)=1-0.512=0.488. (2)根据顾客采用的付款期数X的分布列对应于Y的可能 取值为200元，300元，400元，得到Y对应的事件的概率， P(Y=200)=P(X=1)=0.2, P(Y=300)=P(X=2)+P(X=3)=0.3+0.3=0.6, P(Y=400)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.1=0.2, 故Y的分布列为 200 300 400 P 0.2 0.6 0.2 .均值E(Y)=200×0.2+300×0.6+400×0.2=300. .方差D(Y)=(200-300)2×0.2+(300-300)2×0.6+ (400-300)2×0.2=4000. 练案[15] 1.A由题意可知中靶的概率为0.8，故打100发子弹有4发中 靶的概率为C1m×0.84×0.2 2.AC因为X~B(10,0.6),所以E(X)=10×0.6=6,D(X)= 10×0.6×0.4=2.4.因为X+=7,所以=7-X,由均值和 方差的性质可得，E()=E(7-X)=7-E(X)=1,D() D(7-X)=D(X)=2.4 3.C每次抽奖中，样本点总数为C=10,获奖的共有(1,2,3) (1,35).(2,34),34,5)这4种，所以p=号设5人中获 奖人数为X,则XB(5,号)，所以P(X=3)=C×(号】 (层)器 4A该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天 出现大潮和三天出现大潮，有两天出现大潮的概率为C× (号)厂广×兮专有三天出现大湖的既率为C×(合)】 8 .4.820 习，所以至少有两天出现大潮的概率为号+》=分 5.D设“两家店铺不能都正常营业”为事件A,由题意可知有4 人林假的概率为（号）广=7，有3人休假的概率为心× (兮)厂'×（号）=导，所以两家店铺不能都正常营业的既 *4)守+品)所以两家店铺在该节假日都能正常 营业的概率为1-P(A)=号 6D由题意知，A=(分)）广=日A=(分)广8，B=C x(3)×1-)==Cx3×(1-)广= P=P2<P=P4,故A错误；P3=3P1,故B错误；P1+P2+P +P4=1,故C正确；P4=3P2,故D正确 7.612依题意，设Y表示该生答对问题的个数，则Y~B6, 号），所以(0=6×号=4，(n=6×号×分-寺义因 为X=2Y-(6-Y)=3Y-6,所以E(X)=3E(Y)-6=3×4- 4 6=6,D(X)=3'D(Y)=9×3=12. 8 8.9 由随机变量X~B(2,p),且P(X≥1)=)，得P(X≥1) =1-PX=0)=1-g×1-p2=号解得p=分由Y B(4,号），得随机变量Y的方老D()=4×号×(1-号) 8 9.【解析】(1)设“不及格”为事件A,则“及格”为事件A, P(A)=1-P(A)=1-(0.2+0.4+0.2+0.1)=0.1, 故该学生不及格的概率为0.1. (2)设“样本中测试分数为‘良好’或‘优秀’”为事件B, 则P(B)=0.2+0.1=0.3, 依题意可知X~B(3,0.3), P(X=0)=0.73=0.343. P(X=1)=C×0.3×0.72=0.441, P(X=2)=C×0.32×0.7=0.189, P(X=3)=0.33=0.027, 所以X的分布列为 X 0 2 P 0.343 0.441 0.1890.027 E(X)=3×0.3=0.9. 10.【解析】由题意知，X~B(n,p), P(X=k)=Cp(1-p)n-,k=0,l,…,n ()由E()=p=3,D(X)=m(1-p)=, 解得n=6,p=2 1 故X的分布列为 3 X 0 1 、2 3 4 5 6 1 3 15 5 15 3 64 32 64 1664 32 64 (2)记“需要补种沙柳”为事件A, 则P(A)=P(6-X≥3)=P(X≤3)， 得P(A)=1 3155_21 4+32+64+i632 (或PA)=1-Px>3=1-(点+完+))， 所以瓷要补希沙物的旗率为号 11.410由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三 株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，其概率为C4×0.84+ C×(1-0.8)×0.83=0.8192,即一个小组能被评为“阳光 小组”的概率为0.8192，则被评为“阳光小组”的个数X服从 二项分布X~B(500,0.8192),所以能被评为“阳光小组”的 约有500×0.8192=409.6≈410个 12.4依题意，知X~B(10,P),且D(X)=10p(1-p)=2.4,即 p2-p+0.24=0,解得p=0.6或p=0.4.又P(X=4)>P(X =6),所以Ctop(1-p)o-4>Cp(1-p)0-6,所以(1-p)2 >p2,又0<p<1,则0<p<0.5,所以p=0.4,所以E(X)= 10p=10×0.4=4. 13.【解析】(1)起火点被无人机击中次数X的所有可能取值 为0,1,2,3 P(x=0)=(5)'= Prx=i)=c×号×（传）' r=2)=Gx(侍)广x写器， PX=3)=(告)广酷 ·.X的分布列如下 X 0 1 2 3 P 1 12 48 64 125 125125125 X-B(3,号)(0=3x专=号 (2)击中一次被扑灭的概率为 A=Gx(告)广（传）广x总 1 6 击中两次被扑灭的概率为 -32 B=G×(等)×5×号=器 击中三次孩扑灭的微车为月=（告）广。 六所成瓶率户会+费+答惯 .64102 14【解桥】(1)由已知X-B(6,分)· 所以P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) =cx(3)+Cx2x(分）广+cx(2)×(3) 1,6,15_11 6464+64=32 19 (2)由已知X~B(n,0.5), 所以E(X)=0.5n,D(X)=0.25n, 若0.4≤X≤0.6，则0.4n≤X≤0.6n, n 即-0.ln≤X-0.5n≤0.1n, 即1X-0.5nl≤0.1n. 由切比雪夫不等式知P(1K-0.5nl≤0.1n)≥1-0.25n (0.ln)2 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与 0.6之间，则1-0.25n (0.1n≥0.98， 解得n≥1250，所以估计信号发射次数n的最小值为1250. 练案[16] 1.A随机变量X服从N=15,M=5,n=4的超几何分布，所以 C5·C1020 p(X=3)=C;=273 2.D设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)= P(X=3)+P(X=4)=CCCC 3.C设袋中白球个数为x,由题意得1- 号45 X服从超几何分布，其中P(X=2) C3C5_5 C。12 4.C设语文课本有n(n≥2)本，则数学课本有(7-n)本，则从 中任取2本，2本都是语文课本的概率是7兰=二，所以 -n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去)，所以n=4. 5.CD选项A、B不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布 的数学模型计算概率，即A、B错误；选项C、D符合超几何分 布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何 分布的数学模型计算概率，即C、D正确.故选CD. 6.ACD由题意可得X的可能取值为0,1,2,3，故A正确；分析 可得X限以超儿何分布，其分布列为P(X=)一CC化 0,1,2,3),则P(X=0)= )=C=6,故B错误；E(x)=3×4E 10 号故c正瑞0=o-号)×名+1-号)器 Cio 3 1. 恰有2人会说日语的概率为 C6=7 87 5 由题意可得：X服从超几何分布，(X)-兴号所以 E(2X+1)=2E(X)+1=13 5 9.7设该社团的人数为n,..P(X=0)= C2= C2 a2n3p(x=0)=1-p(X>0)=”. n(n-1) 2n-31=0,即(11n-18)·(n-7)=0, n(n-1) N,解得n=7.