6.2.1 排列&6.2.2 第1课时 排列与排列数-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

007 6.2 排列与组合 6.2.1 排列 6.2.2 排列数 第1课时排列与排列数 新课程标准解读 学科核心素养 1.通过实例，理解排列的概念 数学抽象 2.能利用计数原理推导排列数公式 逻辑推理 3.能运用排列数公式解决简单的实际问题， 数学建模、数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 一位同学立志为国家科技发展贡献自己的一份力 量，在选择高考志愿时优先考虑“微电子科学与工 ABRRAIIII18 加速打造- [提示] 日★ 程”“集成电路设计与集成系统”“电子信息工程” L“中国老” 有“微、集、电” 三个专业.在填报志愿时，这三个志愿有几种不同 “微、电、集” “集、微、电” 的填报顺序呢？ [提示] “集、电、微” 曰新知初探 “电、微、集” 知识点一排列的有关概念 “电、集、微”共六 1.定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照 种填报顺序 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.两个排列相同的充要条件 [知识点反思1] （1)两个排列的元素 将m个不同元素排成 一列，只要有两个元 (2)元素的排列 也相同 D[知识点反思1] 素的顺序不同，那就 知识点二排列数及排列数公式 是不同的排列. 1. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 排列数定义 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的排列数 排列数表示法 A 乘积式 排列数 A:= 公式 阶乘式 A:=(n-m)1 n! 备注 n,m∈N*,m≤n 008 2.全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全 [知识点反思2] “排列”和“排列 排列， 数”是两个不同的概 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 念，排列不是一个 表示，于是，n个元素的 数，而是具体的一个 排列（也就是具体的 全排列数公式可以写成A: 一件事)；排列数是 一个数，是不同排列 规定：0！=1. [知识点反思2] 的个数.从几个不同元 素中取出m个元素的 排列数是从最大数n 开始，连续m个正整 数的乘积 自预习自测 1.(多选)下列问题中，是排列问题的有 A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组 B.从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动 C.从a,b,c,d这4个字母中取出2个 D.从1,2,3,4这4个数字中取出2个组成一个两位数 2.从1,2,3,4,5这五个数字中任取两个数字组成两位数，组成不同的两位数共有 A.10个 B.12个 C.18个 D.20个 题型探究提技能 题型一 排列的有关概念 例1判断下列问影是否是排列问恩，并说明理由： [方法总结1] (1)10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ 判断一个具体问题是 (2)平面上有2025个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可 否为排列问题的方法 以构成多少条线段？ 变换元素的位置 (3)集合{a1,a2,a3,…,an}的含有三个元素的子集有多少个？ (4)从高三(1)班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的 结果有无变化 有 无 独唱、独舞节目，有多少种选法？ >[方法总结1] 有 序 序 列 列 题 题 009 》跟踪训练1 从4个数字3,5,7,9中每次取出两个：①相减；②相乘；③相除；④一个为被 开方数，一个为根指数，其中为排列问题的是 (填序号) 题型二简单的排列问题 例2用具体数字表示下列问题： [方法总结2] 解决简单的排列实际 (1)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； 应用问题的策略 (2)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习 (1)排列元素的个数 生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配 不多时，可利用树状 完毕，求其分配方案的个数 P[方法总结2] 图法列举； (2)可利用两个计数 原理快速计算排列的 个数. [方法总结3] 无约束条件的排列 问题 )跟踪训练2 无约束条件的排列问 京沪铁路沪宁段上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部 题，即对所排列的元 门应为沪宁线上的六个大站（这六个大站之间）准备不同的火车票的种数 素或所排列的位置没 为 有特别限制的问题 A.15 B.30 C.12 D.36 这一类型题目相对简 单，分清元素和位置 题型三排列数公式的简单应用 即可.把m个元素按 例3将4名医生与4名护士分配到四个不同单位，每个单位分配一名医生 一定顺序排列到 与一名护士，共有多少种不同的分配方案？ ●[方法总结3] n(n≥m)个位置上， 排列数为A,从n个 元素中选m个 (m≤n),排列到m 个位置上，排列数也 是A 010 》跟踪训练3 用排列数表示下列问题： (1)利用1,2,3,4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ (2)一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？ [方法总结4] 排列数的阶乘式公式 n! A=(n”m造用于 题型四排列数的计算与证明 与排列数有关的证 例4(1)解方程：A1=140A: 明、解方程、解不等 (2)求证：A+1-A=mA- [方法总结4] 式等问题中，在具体 运用时，要注意隐合 条件“n,meN,m ≤n”的运用. 》跟踪训练4 不等式A<6A-2的解集为 A.[2,8] B.[2,6] C.(7,12) D.{8 随堂检测重反馈 1.一个禁毒宣传讲座要到四个学校开讲，一个学校讲一次，则不同的宣讲顺序种数为 A.4 B.44 C.24 D.48 2.A2-A0= A.480 B.520 C.600 D.1320 3.甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为 4.用0~9这10个数字，可以组成 个没有重复数字的三位数 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[3]的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有 4×5×5=100(个). ③要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步， 确定百位数，有4种排法：第二步，确定十位数，有4种排法； 第三步，确定个位数，有3种排法.根据分步乘法计数原理，共 有4×4×3=48（个）无重复数字的三位数. 跟踪训练1：B由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分 成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是“奇偶奇”的情况，个位有 3种情况，十位有2种情况，百位有2种情况，共12种：如果是 “偶奇奇”的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位不能 是0，只有一种情况，共6种，因此总共有12+6=18（个）奇数。 例2：C方法一（直接法）：按甲工厂分配的班情况进行分类，共 分为三类：第一类，三个班都去甲工厂，此时分配方案只有1 种情况：第二类，有两个班去甲工厂，剩下的一个班去另外三 个工厂，分配方案共有3×3=9（种）；第三类，有一个班去甲 工厂，另外两个班去其他三个工厂，分配方案共有3×3×3= 27(种).综上所述，不同的分配方案有1+9+27=37（种）. 方法二（间接法）：先计算三个班自由选择去哪个工厂的总 数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4-3×3×3=37 (种)方案 跟踪训练2：A由于1号球不放人1号盒子，则1号球可放入 2,3,4号盒子，有3种选择，则2号球有3种选择，3号球有2 种选择，4号球只有1种选择.根据分步乘法计数原理可得1 号球不放入1号盒子的方法有3×3×2×1=18（种）.故选A. 例3：(1)D(2)18 【解析】(1)若区域①与③颜色相同 区域②、①、③、④、⑤依次有5种、4 (① 种、1种、3种、3种颜色可涂.由分步乘 ⑤ 法原理，不同的涂色方案有5×4×3× ② 3=180(种).若区域①与③颜色不同， 区域①有5种涂法，区域②有4种涂 法，区域③有3种涂法，区域④有2种 涂法，区域⑤有2种涂法.由分步乘法 计数原理，不同的涂色方案有5×4×3×2×2=240（种）.综 上，共有180+240=420（种）涂色方法. (2)方法一（直接法）：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2= 6(种)不同的种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地 上，均有3×2=6（种）不同的种植方法.故不同的种植方法共 有6×3=18（种）. 方法二（间接法）：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有 4×3×2=24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1=6（种），故共有 24-6=18(种)不同的种植方法. 跟踪训练3：C当侧面SAB与侧面SDC同色时，底面ABCD有4 种染色方法，侧面SDC有3种染色方法，侧面S4D有2种染 色方法，侧面SAB有1种染色方法，侧面SBC有2种染色方 法，共有4×3×2×1×2=48（种）染色方法.当侧面S4B与侧 面SDC不同色时，底面ABCD有4种染色方法，侧面SDC有3 种染色方法，侧面S4D有2种染色方法，侧面SAB有1种染色 方法，侧面SBC有1种染色方法，共有4×3×2×1×1=24 (种)染色方法.则不同的染色方法共有48+24=72（种）. 随堂检测重反馈 1.D先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，有3×2=6种 选择，根据分步乘法计数原理可得共有2×6=12个没有重复 数字的三位偶数.故选D. 15 2.288队列的头有4种选法，队尾有3种选法，队中4个位置 从前到后依次有4种选法，3种选法，2种选法，1种选法，因此 不同的排列个数共有4×3×4×3×2×1=288（种）. 3.2不妨由甲先来取，共2种取法，余下来的人，都只有一种选 择，所以不同取法共有2×1×1=2（种）. 4.72先涂A,有4种选择，则B有3种选择，而为了让C与A、B 都不同色，则C有2种选择，再涂D,只要与C涂不一样的就 可以，也就是D有3种，所以一共有4×3×2×3=72（种）. 6.2排列与组合 6.2.1排列 6.2.2排列数 第1课时排列与排列数 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.一定的顺序 2.(1)完全相同(2)顺序 知识点二 1.不同排列n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 2.n！=nl 预习自测 1.ADA是排列问题，因为2名同学参加的学习小组与顺序有 关；B不是排列问题，因为2名同学参加这项活动与顺序无 关：C不是排列问题，因为取出的2个字母与顺序无关：D是 排列问题，因为取出的2个数字还需要按顺序排成一个两 位数 2.D从1,2,3,4,5这五个数字中任取两个数字可组成的两位 数为12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,21,31,41,51,32,42 52,43,53,54,共20个. 题型探究提技能 例1：【解析】(1)不是.因为握手次数的计算与次序无关，所以 不是排列问题， (2)不是.因为线段条数的计算与点的次序无关，所以不是排 列问题！ (3)不是.因为子集的个数与选中元素的次序无关，所以不是 排列问题. (4)是.选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加 独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此 是排列问题. 跟踪训练1：①③④从4个不同的数字中，每次取出两个数相 乘的时候，两个数字交换顺序不影响运算结果，即与元素的顺 序无关，所以②不是排列问题；相减，相除，一个为被开方数、 一个为根指数，进行上述三种操作，两个数字一旦交换顺序， 产生的结果就会不同，即与顺序有关.所以①③④属于排列 问题 例2：【解析】(1)因为组成的没有重复数字的四位数能被5 整除， 所以这个四位数的个位数字一定是“0” 故要确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字 即可， 共有3×2×1=6（个）. (2)此题可以理解为从5家单位中选出4家单位， 分别把4名大学生安排到4家单位， 共有5×4×3×2=120（个）分配方案 跟踪训练2：B对于两个大站A和B,从A到B的火车票与从B 到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终 点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素（大站）中取出2 个不同元素（起点站和终点站）的一种排列，故不同的火车票 有6×5=30（种）. 例3：【解析】完成这件事可以分为两步 第一步：把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不 同元素中取出4个元素的排列问题，有A4种方法； 第二步：把4名护士分配到四个不同的单位，也有A4种方法 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有A:×A4=576 (种). 跟踪训练3：【解析】(1)本题实质是求从1,2,3,4四个数字 中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题， 故排列数A即为没有重复数字的三位数的个数. (2)这是6个元素的全排列问题，其排列数A6即为一天的课 程的排法种数 例4：【解析】(1)因为2x+1≥4， 以x≥3，xeN x≥3， 由A11=140A得(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1) (x-2) 化简得4x2-35x+69=0, 解得=3孕（会去) 所以原方程的解为x=3. 2)证明-式= n! n！ n！ (n-m)！n+1-m n! =m‘(n+1-m月 =mA-1, .'Am -A"mAm-1. 跟踪训练4：D由<6-，得g<6×0”化简 81 得-19x+84<0,解得7<x<12①，又≤8， 所以 l0<x-2≤8， 2<x≤8②，由①②及xeN*,得x=8. 随堂检测重反馈 1.C由题意可知，不同的顺序种数为A4=4×3×2×1=24. 2.CA2=12×11×10=1320,A0=10×9×8=720,故A2- A。=1320-720=600. 3.4列“树状图”如下，故共有乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲 4种排列方法. 15 甲—一丙 甲一乙 丙 丙一甲 乙一甲 4.648第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中 取出1个，有A种取法；第2步，确定十位和个位上的数字， 可以从剩下的9个数字中取出2个，有A。种取法.根据分步 乘法计数原理，所求的三位数的个数为A。×A。=9×9×8 =648. 第2课时排列的综合应用 题型探究提技能 例1：【解析】(1)方法一（位置分析法）：因为甲不站左右两端， 故先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A?种站 法；再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有A种站法， 由分步乘法计数原理知共有A?A1=480种站法. 方法二（元素分析法）：因为甲不能站左右两端，故先让甲排 在除左右两端之外的任一位置上，有A种站法；再让余下的 5个人站在其他5个位置上，有A;种站法，由分步乘法计数原 理知，共有A4A;=480种站法. 方法三（间接法）：在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置 全排列，有A种站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因 此减去甲站左端或右端的排列数2A:,于是共有A。-2A:= 480种站法. (2)首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有A种站法；再让 其他4个人在中间4个位置全排列，有A4种站法，根据分步 乘法计数原理，共有A2A4=48种站法. (3)方法一（间接法）：甲在左端的站法有A:种，乙在右端的 站法有A:种，而甲在左端且乙在右端的站法有A4种，故共有 A8-2A+A=504种站法. 方法二（直接法）：从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第一 类，甲站右端有A;种站法；第二类，甲站在中间4个位置之 一，而乙不站在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个人，有 A4A4A种站法，故共有A+A4AA1=504种站法. 跟踪训练1：【解析】方法一（先满足特殊位置）：由于排头和排 尾两个位置有限制要求，因此先从5名学生中选出2名站在 排头和排尾，有A种方法，余下的四人可任意站，有A种方 法，所以符合要求的排法有AA4=480(种). 方法二（先满足特殊元素）：老师既然不能排在两端，于是可 以从中间四个位置中任选一个，有A种方法.5名学生在余 下的五个位置中任意排列，有A;种排法.因此符合题意的排 法有A4A:=480(种). 方法三（间接法）：由于六个人任意排有A种排法，但实际必 须减去老师排在排头的A种方法和排在排尾的A种方法， 因而有A6-2A;=480(种)排法. 例2：【解析】(1)第一步，排个位，有A种排法； 第二步，排十万位，有A种排法； 第三步，排其他位，有A种排法. 故共有A:A4A4=288个六位奇数. 9