7.1.2 全概率公式-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

&号由题意知，P(AUB1C)=P(A1C)+P(B1C)=S, P(BIC)=P(BC)=18=3则P(AIC)=P(AUBIC)日 P(C) 1 二1 6 815 P(B1C)=9-3=9 9.【解析】(1)从7名成员中挑选2名成员， 共有C?=21(种)情况， 记“男生甲被选中”为事件A,事件A所包含的样本点数为Cg =6, 62 故P(A)=2=7 (2)记“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B, 则P(AB)=2i 由(1)知P(A)=7, 2 故P(BIA)=P(AB)-211 P(A)=2=6 (3)记“被选中的两人为一名男生和一名女生”为事件C,事件 C所包含的样本点数为C×C=12, 则C号- “女生乙被选中”为事件B, C44 则P(BC)=21=21' 4 故P(B1C)=PBC_2L-1 P(C) 4=3 10.【解析】(1)设A,(i=1,2,3)表示第i次按对密码，A表示 不超过3次就按对， 则有A=A1UA1A2UA1AA, 因为事件A1,A142,A1A2A3两两互斥， 所以P(A)=P(A1UAA2UA1A2A3) =P(A1)+P(A1A2)+P(A1AA), P(A)+P(A )P(A2 IA )+P(A A2)P(A,IA A2) =P(A)+P(A)P(A2IA)+P(A)P(A2 IA).P(A,IA A) =0+品x)+品×8×g=0 (2)记事件B表示最后1位是偶数」 P(AIB)=P[(A:UAA2 UA A2A3 )IB] =P(A:IB)+P(A A2IB)+P(A:A2A,IB) =++ 5 1.D角题在，可得P风A)C-0:号P Cio S6格-片由8滑=.得 C。 P(AB)=P(A)P(B),所以事件A,B相互独立，所以P(AIB) =P(AB)_PA)PB=P(A),故A正确；P(BIA)=P(B) ΓP(B) P(B) 18 =告，由条件概率的性质得P(BA)=1-P(BIA)=1-片 =5,故B正确；因为事件A,B相互独立，所以A与B,A与 B,A与B也都相互独立.甲、乙都评为“智答能手”的概率 P4B)=P(APr(B)=号×若-器所以甲，乙至多有一人 评为“智答能手”的概率为1-P(B)=1-器-品，放C错 误；甲、乙都没有被评为“智答能手”的概率P(AB)=P(A)P(B) =(-号)×(1-岩)=子×古=本所以甲，乙至少有 一人评为智答能手”的概率为1-P(B)=1一石-若故 D正确. 12.D每人报考大学有3种选择，故总的报考方法共有3=27 (种)，三人报考的大学均不相同的报考方法有A=6(种)， 放P(4B)号-弓，甲报考的大学与其他两人均不相同的 报考方法有CCC=2(种)，故P(B)=号=号，所以 2 P(AIB)=PAB)夕1 2 P(B)4 9 13.31 亏2方法一（列举法）：从五个活动中选三个的情况有： ABC.ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,10 种，其中甲选到A有6种情况：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE, AD,则甲选到A的概率为品-子：乙选A话动有6种情况： ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,其中再选择B活动有3种情 况：ABC,ABD,ABE,故乙选了A活动，他再选择B活动的概 *为=2 1 方法二：设选到A为事件M,选到B为事件N,则甲选到A的 低率为P(MW)=C兰-？；乙选了A活动，他再选择B活动的 G 概率为PNM)=PMN=C三 P(M) 2 C 14.B设“此人在春季里患鼻炎”为事件A,“此人在春季里患感 目”为事件B,则P4=告，P(B)=号P(4UB)=1- 7 =高由P(4UB)=P(+P(B)-P(AB),可得P(AB)= Pr4+PB)-P氏4UB)告+后一高0则此人在电 1 鼻炎的条作下地感情的概*为P(8A)=兴骨-里=合 15 练案[11] 1.C设“验血结果为阳性”为事件B,“是患者”为事件A,“非 患者”为事件A2,则P(B)=P(A1)P(BIA)+P(A2)P(BIA2) =0.5%×(1-2%)+(1-0.5%)×2%=0.0248. 8 2.C设“从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子”分别 为事件A1,A2,A3,A4,则2=A1UA2UA3UA4,且A1,A2,A3,A4 两两互斥，设B表示“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50 颗以上麦粒”，则P(B)=∑P(A)P(BIA)=95.5%×0.5+ 2%×0.15+1.5%×0.1+1%×0.05=0.4825. 3.D用事件A,B分别表示“随机选1人为男性或女性”，用事 件C表示“此人是色盲”，则2=AUB,且A,B互斥，故P(C) =P(AP(CA)+P(B)P(CIB)=7×7%+7x0.49% 0.03745. 4.D设A=“先取到的是女生报名表”，B,=“取到第i个地区 的报名表”，i=1,2,3,则2=B1UB2UB3,且B1,B2,B3两两 互斥，心P以A0=2P(B)P(A1B)=子×0+分×5+分× .3.171 5_29 25-90 4×3 5.AD P(A)= =了，A正确；P(B1A)=PAB_6X53 P(A) 4 =5· 6 2×4 P(B1A)=P(AB)-6×54 P(A) 2 由全概率公式可知，P(B)= 6 P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)= 4.3.242 6×5+6×5=3所以 B,C错误，D正确， 6.C设A,表示“乙球员担当前锋”，A2表示“乙球员担当中 锋”，A表示“乙球员担当后卫”，A4表示“乙球员担当守门 员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”.则P(B)= P(A)P(BIA)+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(BIA)+P(A) P(B1A4)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2= 0.32,所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概 率为1-0.32=0.68 7号设A=“取到的是优质品”，B=“打开的是第i箱”（任 1,2),则PCB)=PR)=分P(A1B)-8=写，P(A1) -18-3 =30=亏，由全概率公式，得P(A)=P(B)P(A1B,)+ 11132 P(B)·P(AIB,)=2×5+2×5=5 &号设A=小明步行上学”，B=“小明骑自行车上学”，C “小明迟到”，由已知得P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(CIA)= 0.05,P(C1B)=0.02,由全概率公式可知P(C)=P(A)P(C1A)+ P(B)P(C1B)=0.6×0.05+0.4×0.02=0.038,利用条件概 率可得P(B1C)=PBC-_P(B)P(CIB)-Q4x0.24 P(C) P(C) 0.038=19, 即所求的概率为9 4 9.70%设男性中有x%购买了新能源车，则x%×60%+40% ×80%=74%,解得x=70,所以男性购车时，选择购买新能源 车的概率是70%. 10.【解析】用A1,A2,A,分别表示事件“买到的智能手机为甲 品牌、乙品牌、其他品牌”，B表示事件“买到的是优质品”， 则2=A1UA2UA,且A1,A2,A两两互斥， 依题意，可得P(A1)=50%,P(A,)=30%,P(A3)=20%, -18 且P(B1A1)=95%,P(B1A2)=90%,P(B1A3)=70%, 由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(BIA1)+P(A2)P(BIA2) +P(A)P(BIA) =50%×95%+30%×90%+20%×70% =88.5%. 19 11.28P(B1A,)表示在小王送给小李一张“冰墩墩”邮票 的情况下，小李取到一张“冰蠟嫩“的概率，则P氏814)=子 =2依题意，P(A)=号，P(4)=子，P(A)=号，则P(B) =P(A ).P(BIA)+P(A2 )P(BIA2)+P(A3)P(BIA,)= 号x+号x+号×好 19 12.号设“学生选1道A类试题”为事件A,“学生选1道B类 试题”为事件B,“学生选1道C类试题”为事件C,“学生答 对试题”为事作D.则P(A)=+正=石，P(®)= 4 4+8D分P(c)=4+82P(D1A)= 8 12 rDIB)=4DI1G=G所以P(D)=6x3+}× 11 行+7xG,所以PB1)-0文-号 P(D) 1 3 13.【解析】设A,=“该箱玻璃杯有i个次品”(i=0,1,2),B= “顾客买下该箱玻璃杯”， 则2=AUA1UA2,且A0,A1,A,两两互斥， 由题意知，P(A)=0.8,P(A1)=0.1, P(A)=0.1, P(BIA)=1,P(BIA)= 3 P(B)=2P(A)P(8A)=0.8x1+01x子+0.1×8 707 =760 14.【解析】记事件B=“仪器不合格”，A,=“仪器上有i个部 件不是优质品”，i=0,1,2,3,显然A0,41,42,A3构成一个完 备事件组， P(BIA)=0,P(BIA1)=0.2, P(B1A2)=0.6,P(B1A)=0.9, P(A)=0.8×0.7×0.9=0.504, P(A)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1 =0.398. P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006, P(A2）=1-P(A)-P(A1)-P(A)=0.092. (1)应用全概率公式，有 P(B)=P(A,)P(B1A)=0.504×0+0.398×0.2+0.092 ×0.6+0.006×0.9=0.1402. (2)应用贝叶斯公式，有P(AIB)=0, P(AIB)=P(A)P(BIA)796 P(B)-14021 P(A,1B)=P(A,)P(B14)552 P(B) -14021 9 P(4,IB)=PA)P(B1A)-54 P(B)-1402 从计算结果可知，一台不合格的仪器中有一个部件不是优质 品的概率最大. 练案[12] 1.B因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次 就取到了白球；最多取球次数是7次，即把所有的黑球取完之 后才取到白球.所以取球次数可以是1,2,3，…，7. 2.D甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 所以{=3}有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局 三次. 3.BCD由题意可知B,C,D中的随机事件只有两种结果，随机 变量均服从两，点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的可能取 值为1,2,3,4,5,6，所以A中的随机变量不服从两点分布. 4.C因为X的分布列服从两点分布，所以P(X=0)+P(X=1) =1.因为P(X=0)=3-4P(X=1)=a,所以P(X=0)=3-4 [1-PX=-0)],所以P(X=0)=了，所以a=行 5C由分布列的性质可得了+m+子+右=1，则m=子 P(IX-1I≤1)=P(0≤X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+ PX-2)=子+片+古-号 6.A记得分为X,则X的可能取值为5,6,7,8，因为P(X=7) 管-号=8=答右mu6= 7+P心X=8》号+百器 7.BD.a,b,c成等差数列，.2b=a+c.由分布列的性质得a +b+e=36=1b=子P(IK1=I)=P(X=1)+P(X= -1)=1-pX=0)=1-3=号 8.2由Y=5,且Y=2X+3,得X=1,P(Y=5)=P(X1 9品依题意，P(X=)=a(十)，由分布列的性质得 (1-1 P(x=n)=a[(1-）+(3-3)+…+(0 )]-0=1,解得a=品 10.【解析】(1)由题意，该选手的得分不少于6分，则该选手 的得分为6分或12分， C_1 可得P(X=6)=X4 P(X=12)=A=1 =立24' 所以该选手得分不少于6分的概率为 P=P(X=6)+P(X=I2)=+a= (2)根据题意，可得随机变量X的可能取值为0,3,6,12， 则P(X=3)=Cx21 A=3, 19 713 P(X=0)=1-24-3=8 所以随机变量X的分布列为 X 0 3 6 12 3 1 1 8 3 4 24 11.B由随机变量X的分布列知，X2的可能取值为0,1,4,9，且 PX=0)=告Pr==音+7壳Px=4)=7+ 是-合P-9立r心<-节-音+音+高 。1 ∴.实数x满足4<x≤9. 12.AC记未使用过的乒乓球为M,已使用过的乒乓球为N,任 取3个球的所有可能有1个M球和2个N球、2个M球和1 个N球、3个M球.M球使用后成为N球，故X的所有可能 取简是3,45，故A正确：又P(X=3)-S:行放C正 确风4等号PX-5》是号X最有 可能的取值是4，故B,D错误. 13.【解析】(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的 是正品”为事件A, (2)由题意可知，随机变量X的可能取值为200,300,400. 则P(X=200) A2-1 A10 P(X=300)= A+CC A -10 PX=40)=1-PX=200)-P(X=30)=1-0-8 3 故X的分布列为 X 200 300 400 P 3 10 10 14.【解析】(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中 的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C?对相 交棱， 8C号8×34 因此P(5=0)=C=66T (2)若两条棱平行，则它们的距离为1或√2，其中距离为2 的共有6对， 战以5@是名 于是P(6=1)=1-P(=0)-P(=2)=1-音- 故随机变量5的分布列为 飞 0 2 4 6 1 P 11 11 0练案[11] 第七章 7.1 A组·基础巩固 1.某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该 病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验 血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为 阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果 为阳性的概率为 A.0.0689 B.0.049 C.0.0248 D.0.02 2.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种 子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.播种一 二、三、四等种子所结的穗含50颗以上麦粒的 概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所 结的穗含50颗以上麦粒的概率为 () A.0.8 B.0.532 C.0.4825 D.0.3125 3.已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色 盲.假如男性、女性各占一半，从中随机选一 人，则此人恰是色盲的概率是 A.0.01245 B.0.05786 C.0.02865 D.0.03745 4.设有来自三个地区的各10名，15名和25名考 生的报名表，其中女生报名表分别为3份，7 份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中 先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表 的概率为 A品 B.21 100 G. 30 039 90 5.（多选)箱子中有6个大小、材质都相同的小 球，其中4个红球，2个白球.每次从箱子中随 机地摸出一个球，摸出的球不放回.设A=“第 1次摸球，摸到红球”，B=“第2次摸球，摸到 红球”，则下列结论正确的是 ( A.P(A)=2 3 B.P(B)=3 CP(BA)-号 D.P(B1A)=4 5 6.深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的 使用上进行数据分析，根据以往的数据统计， 乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员 四个位置，且出场率分别为0.2,0.5,0.2,0.1， 当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时， 球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.当 乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的 概率为 () A.0.3 B.0.32 C.0.68 D.0.7 12 7.1.2全概率公式 7.有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10 件优质品，第二箱内装30件，其中18件优质 品，现随意地打开一箱，然后从箱中随意取出 一件，则取到的是优质品的概率是 8.已知小明每天步行上学的概率为0.6，骑自行 车上学的概率为0.4，且步行上学有0.05的概 率迟到，骑自行车上学有0.02的概率迟到.若 小明今天上学迟到了，则他今天骑自行车上学 的概率为 9.某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近 期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者 燃油车)的情况，其中新能源车占销售量的 74%,男性占近期购车车主总数的60%，女性 购车车主有80%购买了新能源车，根据以上 信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概 率是 10.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率 和优质率的信息如表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的 是优质品的概率. 6 B组·综合运用 11.中国邮政陆续发行了多款奥运纪念邮票，其 图案包括“冬梦”“冰墩墩”“雪容融”等小王 有3张“冬梦”、2张“冰墩墩”和2张“雪容 融”邮票；小李有“冬梦”“冰墩墩”“雪容融” 邮票各1张.小王现随机取出一张邮票送给 小李，分别以A1,A2,A3表示事件小王取出的 是“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”，小李再随机 取出一张邮票，以B表示事件他取出的邮票 是“冰墩墩”，则P(B1A2)= ,P(B) 12.某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4 道A类试题，8道B类试题，12道C类试题， 学生从中任选1道试题作答，学生甲答对A, B,C这3类试题的概率分别为)，4，石若学 生甲答对了所选试题，则这道试题是B类试 题的概率为 13.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含0,1,2 个次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，一顾客购 买一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取出一 箱，顾客开箱任意抽查5只，若无次品，则购 买该箱玻璃杯，否则退回.求顾客买下该箱玻 璃杯的概率 12 C组·拓展提升 14.某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件 质量互不影响，且它们的优质品率分别为 0.8,0.7与0.9.已知若三个部件都是优质 品，则组装后的仪器一定合格；若有一个部件 不是优质品，则组装后的仪器不合格率为 0.2;若有两个部件不是优质品，则组装后的 仪器的不合格率为0.6；若三个部件都不是 优质品，则组装后的仪器的不合格率为0.9. (1)求仪器的不合格率； (2)若已发现一台仪器不合格，则它有几个 部件不是优质品的概率最大.