6.3.3 二项式定理的综合应用-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[9] 第六章 6.36.3.3二项式定理的综合应用 A组·基础巩固 10. (x+)(2x-)' 的展开式中各项系数的 1.(:+2)(侵-1)°展开式的带数项是( 和为2，求： A.-3 B.-2 C.2 D.3 (1)实数a的值； (2)展开式的常数项. 2.(x3-2x2+x)3的展开式中x的系数为 A.-1B.1 C.-20 D.20 3.设n∈N*,则C9×1"×8°+C×1"-1×8+ C2×1-2×82+C2×1-3×83+…+C-1×1' ×8”-1+C”×1°×8”除以9的余数为() A.0 B.8 C.7 D.2 4.(1+x)8(1+y)的展开式中x2y2的系数是 A.56 B.84 C.112D.168 5.(多选)(1+x2)(2+x)4的展开式中( A.x3的系数为40 B.x3的系数为32 C.常数项为16 D.常数项为8 6.(x+士-2)'展开式中的常数项是 7.已知(2x+my)(x-y)的展开式中x2y的系 数为-20，则m的值为 8.(x+y+3)展开式中不含y的各项系数之和 为 9.求证：32m*2-8n-9(n∈N*)能被64整除. —122 B组·综合运用 C组·拓展提升 1,若(2-)(x+)”的展开式中“的系数 14.请利用二项式定理证明：3">2n2+1(n≥3， n∈N*). 为30，则a= C.1 D.2 12.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同 余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整 数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a 和b对模m同余，记为a=b(modm).若a= C2o+C20·2+C3·22+…+C0·220,a=b (mod10),则b的值可以是 () A.2031 B.2032 C.2033 D.2034 13.己知(2+2x)广的展开式中前三项的二项式 系数之和等于79，求展开式中系数最大 的项， —123项 -x 1 0 5 0 个数 3 1 2 1 2 故含x项的系数为C(-1)5+C·C(-1)3+C?·C·(-1) =-51. 练案[8] 1.B第6项的二项式系数为C0,又C5=C,所以第16项符 合条件 2.A:(1+2x)"的展开式中第4项与第8项的二项式系数相 等，∴.C=C7,解得n=10,各二项式系数之和为20，奇数项 的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等， (1+2)的展开式中奇数项的二项式系数和为×2°= 29=512. 3.C因为只有第4项的二项式系数最大，得n=6,所以x2 士)广的层开式的通项为=C(2)“(~士）广： （-1)Cx2-张.令12-3k=0,得k=4,所以展开式中的常数 项是(-1)4Cg=15.故选C. 4D(1-2x)25=a+a1x+…+a2m5x2,令x=0,得a=1, 令=分得%++学++器=0.所以号+学+叶 a2025 220=-1 5.AC(x-1)"的展开式中的二项式系数之和为21=2048，所 以A正确：因为n=11为奇数，所以展开式中有12项，中间两 项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以B不正 确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以 D不正确.故选AC 6.ACD对任意实数x,有(2x-3)’=a+a1(x-1)+a2(x- 1)2+a3(x-1)3+…+a(x-1)9=[-1+2(x-1)]9,所以 a2=-C号×2=-144，故A正确；令x=1,可得a=-1,故B 不正确；令x=2,可得a0+a1+a2+·+a。=1,故C正确；令x =0,可得a0-a1+a2-a+…-ag=-39,故D正确。 1.10(2+士)广展开式的各项系数和为248令x=1, 可得3”=243，解得n=5.(2:2+）广展开式的通项7 =C525-x5-,re{0,1,…,5}.令15-4r=7,得r=2,.展开 式中含x的项的二项式系数为C=10. 及-13在(2一爱)广的二项限开式巾，常数项是8，由二项 展开式通项可知=c2(会)广：c·2, (-a)·x4,所以当k=3时为常数项，代人可得C·24-3· (-a)3=8,解得a=-1,由二项式定理可知展开式共有5项， 则根据二项式系数可知第3项二项式系数最大. 9.-256令x=1,得a+a1+a2+a3+a4+a5=0,令x=-1, 得a-a1+a2-a3+a4-a5=25=32,两式相加可得2(a0+a2 +a4)=32,两式相减可得2(a1+a3+a5）=-32,则a+a2+ -18 a4=16,a1+a3+a5=-16,所以(a+a2+a4)(a1+a3+a5) =-256. 10.【解析】由题意得，2"=64，解得n=6, 而(x-my)6的通项公式为Tk+1=Cx6-·（-my),0≤k≤ 6hEN. 所以x3y3的系数为C6(-m)3=-160, 解得m=2. 1.B因为s=-,+2)当=5时，5=2 2 2 =-23038 12.ACD在(x+2)"(neN*)的展开式中，含x2的项的二项式 系数为C2=nn,D=21,即n2-n-42=0,:neN, ∴n=7,A正确；展开式中常数项为Tg=2?=128,B错误；展 开式中二项式系数的最大值是C=C=35,C正确；令x=1 可得展开式中各项系数的和是3？=2187，D正确.故 选ACD. 13.【解析】(1)由题意得，C9+C+C2=16, 即1+n+nm,山=16. 2 解得n=5,或n=-6(舍去)， 所以n=5. 因为所有项的系数之和为1，令x=1, 所以(a-1)5=1,解得a=2. (2)不存在.理由如下： =(-1)C2-x5-2*(keN). 令5-兰=0，解得k=号：N,所以晨开式中不存在常数项。 (3)由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系 数最大， 二项式系数最大的两项为 T3=（-1)2·C25-2x5-3=80x2, T4=(-1)3.C25-3x5-号=-40x2 14.【解析】(1)由题意可得2”=256， 解得n=8, ·展开式的通项为T+1=Cmx之， .含x项的系数为Cm2=112, 解得m=2或m=-2(舍去). 故m,n的值分别为2,8. (2)展开式中偶数项的二项式系数之和为 Cg+C8+C⑧+Cg=28-1=128. (3):(1+2)8(1-x)=(1+2)8-x(1+2E)8, 含x2项的系数为C24-C22=1008. 练案[9] 1.D(位-)广层开式的通项为=C(侵)广(-1) (-)'Cx令10-2h=2或10-26=0，解得=4或4= 5放(+2)·（日-1）的展开式的常数项是(-1)广×心 +2×(-1)5×C=3. 6 2.C(x3-2x2+x)3=x3(x-1)6,因此所求x的系数，即为(x- 1)的展开式中x的系数，由二项式定理知系数为C(-1)3= -20. 3.A因为C18°+C1m-181+C21"-282+C21-382+…+ C-11'8"-1+C18“=(1+8)”=9",所以除以9的余数为0. 4.D在(1+x)8展开式中含x2的项为Cx2=28x2,(1+y)4展 开式中含y2的项为Cy2=6y2,所以xy2的系数为28×6 =168. 5.AC(1+x2)(2+x)4=(2+x)4+x2(2+x)4,展开式中x3的 系数分为两部分，一是(2+x)4中含x3的系数C·2=8,二 是(2+x)4中含x项的系数C4·2=32,所以含x3的系数是 8+32=40,故A正确，B错误；展开式中常数项只有(2+x)4 展开式的常数项24=16，故C正确，D错误. 6-0(+2)'-[门-少，上港式子限 开式中的常数项只有一项，为(- -=-20,所以x+ 上-2）展开式的常数项为-20. 7.3(2x+my)(x-y)5=2x(x-y)5+my(x-y)5,因为(x y)5的展开式中xy的系数为C,x2y系数为-C,所以(2x+ my)(x-y)5的展开式中x2y的系数为2C-mC=-20,解 得m=3. 8.1024由(x+y+3)5=[(x+3)+y]5,则展开式的通项为 T1=C(x+3)5-y,当k=0时，不含y的项，T1=C(x+ 3)=(x+3)5,令x=1,可得不含y的各项系数之和为4= 1024. 9.【证明】32m+2-8n-9 =(8+1)m+1-8n-9 =CA8"+1+Ct18"+…+Ct-8n-9 =C9t18m++C以+18"+…+C:i82+(n+1)×8+1-8n-9 =C9,8"1+C18"+…+C:82, 上式中的每一项都含有82这个因数， 故原式能被64整除. 10.【解析】(1)令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,∴.a=1. (2)由(+)(2x-)）°=x(2x-）+(2x )月 又(2x-士）的通项为 Tk+1=(-1)25-C5x5-2 令5-2k=1,得k=2 .展开式中x的系数为C×25-2×(-1)2=80. 令5-2k=-1,得k=3, 展开式中1的系数为C×25-3×(-1)3=-40, (e+)2- 的展开式的常数项为80-40=40. 1.D(+）广展开式的通项是=C。··() =c·,(x+士）的展开式中含，项的系数分 别为c。c因为：-a)(+士）的展开式中含的项 由2与(x+士）展开式中含的项的乘积以及-a与 18 (:+士）限开式中含的项的乘积两部分构成得心一 10 aC0=120-45a=30,解得a=2. 12.A由题意可得a=C0+C20·2+C3·22+…+C0·20= (1+2)20=32”=910=(10-1)0,由二项式定理可得a=C0 ×100-C。×10°+…-C。×10+1,即a除以10的余数为 1,因为a=b(mod10),所以b的值除以10的余数也为1，观 察选项，只有2031除以10的余数为1，则b的值可以是 2031. 13.【解析】由已知得C+C+C=79, 即n+n-156=0. 解得n=-13(舍去)或n=12. 设第k+1项的系数最大， (分2)=()1+40 12 C哈·4≥C$1·4-, 1C2·4≥C.41, 解得9.4≤k≤10.4. 又.…k∈eN,.k=10. .展开式中系数最大的项是第1项， 故7=（兮）户c哈4三166 14.【证明】当n≥3，neN*时， 3"=(1+2)"=1+C·2+C2·22+…+2” >1+C·2+C2·22 =1+2n+2n(n-1)=-2m2+1, 所以结论成立 练案[10] 1.B记事件A表示“张老师在周二参加课后延时服务”，事件B C4-2 表示“张老师在周三参加课后延时服务”，则P(4)=C=亏· 1 4日0所以PBa)g-2=子 ΓP(A)24 5 2.B P(A)=0.5.P(BIA)=0.3,P(AB)=P(BIA)P(A) =0.15,所以P41B)=4份-8=0.375 P(B) 3.D由题意得n(A)=Cg-C3=20-1=19,n(AB)=CC+ CC=18,由条件概率的公式得P(B1A)=nAB=18 n(A)-19 4.B设事件A为第一次抽到卡片中奖，事件B为第二次抽到卡 片中奖，则PA)名=子P(AB)=号=5放P(B1A)= P(AB)1 P(A)=5 5.C设该射击运动员“第一次击中9环”为事件A,“第二次击 中9环”为事件B,则由题意得P(A)=0.6,P(B1A)=0.8,所 以她两次均击中9环的概率为P(AB)=P(A)P(B1A)=0.6 ×0.8=0.48. 6.D由题意知，因为n(A)=C·C+1=7,n(AB)=6,所以 Pa=1-P8d)-1-1-9=7 n(A) 7.0.650.3P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.3+ 0.5-0.3×0.5=0.65;因为A,B相互独立，所以P(A1B)= P(A)=0.3.