6.3.1 二项式定理-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[7] 第六章 6.36.3.1二项式定理 A组·基础巩固 0.在项式版店 的展开式中，前3项 1.在(x-3)的展开式中，含x的项的系数是 系数的绝对值成等差数列. ( (1)求展开式的第4项； A.-27C0 B.27Cto (2)求展开式的常数项. C.-9Cfo D.9Co 2在（货-云” 的展开式中常数项是 A.-28 B.-7 C.7 D.28 3.若实数a=2-√2，则a0-2Cna+22C。a8-… +210= A.32 B.-32 C.1024 D.512 4.若二项式(2x+）'的展开式中的系数是 84,则实数a= A.2 B.54 C.1 D.√24 5使3x+左广ueN)的展开式市含有指数 项的最小的n为 A.4 B.5 C.6 D.7 6.(多选)对于(2x-° 的展开式，下列说法正 确的是 A.展开式共有6项 B.展开式中的常数项是240 C.展开式中x3的系数为-160 D.展开式中x6的系数为60 7在(-) 的展开式中，第6项的二项式系 数为 第3项的系数为 8.在(1-2x)6的展开式中，x2的系数为 (用数字作答) 9.设x-是)广(a>0)的展开式中含项的系数 为A,常数项为B.若B=4A,则a= ,118 B组·综合运用 C组·拓展提升 1.（a-)°的展开式中（即分子a的指数和 14.求(x2-x+1)的展开式中含x项的系数 分母b的指数相同)项的系数为 A.-15 B.15 C.-20 D.20 12.(3x+2)1o0的展开式中，系数为有理数的 共有 项 1设卫知在（度 10 的展开式中满足a>0,且 常数项为号 (1)求a的值； (2)从展开式中的所有项中任取三项，取出 的三项中既有有理项也有无理项，求共 有多少种不同的取法。 一119第一类，红球取4个时，有C4种方法； 第二类，红球取3个、白球取1个时，有CC6种方法； 第三类，红球取2个、白球取2个时，有CC6种方法， 由分类加法计数原理可知，共有C4+CC6+CC6=115(种) 取法 ②)设取红球x个白球y个，依愿意知{+y5,0≤ ≤4,0≤y≤6， 光子[ 这样使总分不少于7的取法可以分为三类： 第一类，红球取2个、白球取3个的方法数为CC; 第二类，红球取3个、白球取2个的方法数为CC6; 第三类，红球取4个、白球取1个的方法数为C4C6 由分类加法计数原理可知，共有符合条件的取法CC。+ CC6+C4C6=186(种). 练案[7] 1.D含x的项是T=Cox(-5)4=9Ctx6. 2c=c(告广”·（左=(-1yG· (兮）广“，当8-÷=0，即=6则，=(-1) g(3)=7 3.Aa0-2Cloa°+22Coa8-…+210=(a-2)10,当a=2-2 时，(a-2)1°=32. 4C二三项式(2x+） 的展开式即(：+2x的展开式，通 项公式为11=G(是）(2x)=C2a-x”,令-7+ 2r=-3,解得r=2,代入得C×2a=84,解得a=1,故选C. sB=cg3一（左） =C3”-x“子，当T1是常数项 时，n-名=0，当1=2n=5时成立 6BCD因为n=6,故(2x-） 的展开式共有7项，故选项 A错误：(2：-)广的展开式的通项公式为1 C(2x)6-(-1).(x2)=(-1)C26-*x6-张，当k=2时， 展开式的常数项为(-1)2·24·C6=240,故选项B正确；令6 -3k=-3,得k=3,展开式中x3的系数为(-1)3C623= -160,故选项C正确；令6-3k=-6,得k=4,展开式中x6 的系数为(-1)4C2=60,故选项D正确. 7.1269由二项式定理及展开式的通项可得，第6项的二项 式系数为G=126由题意可知，1=代·(2》·(-六)》 =9x2,故第3项的系数为9. 8.60(1-2x)的展开式的通项Tk+1=C(-2)x,当k=2 时，T3=C%(-2)2x2=60x2,所以x2的系数为60. 92(-只)广a>0)的展开式的通项1：=c(-会） -(-)c学令6-整-3，得k=2A=㎡C=150;令6 —18 -=0,得k=4B=C=15a.B=4M,15a= 4×15a2,又a>0,a=2. 10.【解析】工1=C()-(-2方】 1 =(-)c, 由前三项系数的绝对值成等差数列， 得c+(-)c-2x2c, 解这个方程得n=8或n=1(舍去). (1)展开式的第4项为 1=()广=-7派 (2)当号-子=0，即r=4时， 帝数项为()'G- .B通项公式7=C。（-)6支，由会可得分=6-n 故r=4,所以系数为(-1)4C4=15.故选B. 12.17（5x+2)的展开式的通项11=Cmm·3鸟 ·2生，若1的系数为有理数则，专均为整数，即 为6的整数倍.由0≤k≤100，k∈N,知k的可能取值为0,6， 12,…,96,共17个，即系数为有理数的共有17项 13.【解析】(1)展开式的通项为 10-k 1=(-1)(受)C, 令20-2=0，解得k=8, 即k=8时，常数项为 元=(-1（受）c-华， 解得a=1. (2)令20-=m,mez, 又0≤k≤10，keN, 解得k=0,2,4,6,8,10, 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项， 所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有 理项也有无理项的取法共有C6C?+C6C=135种. 14.【解析】方法一：因为含x的项为 C·(x2)2·C·(-x)·C·12+Cg·x2·C·(-x)3· C·1+C·(-x) =-30x3-20x3-x3=-51x3, 所以x5的系数为-51. 方法二：因为(x2-x+1)=[1+(x2-x)]5的展开式通项为 C515-·(x2-x C515-+·(x2-x)的通项为 C5·C(x2)-(-x)*=C·C(-1)2-, 且0≤k≤r≤5，k,reN, 令2r-k=5,则k=5,r=5,或k=3,r=4,或k=1,r=3, 所以x的系数为(-1)C·C+(-1)3Cg·C+(-1)'C· C=-1-20-30=-51. 方法三：(x2-x+1)5展开式中的项可看作从5个(x2-x+ 1)中取x2,-x,1中的某一个相乘得到，含x的项列表： 项 -x 1 0 5 0 个数 3 1 2 1 2 故含x项的系数为C(-1)5+C·C(-1)3+C?·C·(-1) =-51. 练案[8] 1.B第6项的二项式系数为C0,又C5=C,所以第16项符 合条件 2.A:(1+2x)"的展开式中第4项与第8项的二项式系数相 等，∴.C=C7,解得n=10,各二项式系数之和为20，奇数项 的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等， (1+2)的展开式中奇数项的二项式系数和为×2°= 29=512. 3.C因为只有第4项的二项式系数最大，得n=6,所以x2 士)广的层开式的通项为=C(2)“(~士）广： （-1)Cx2-张.令12-3k=0,得k=4,所以展开式中的常数 项是(-1)4Cg=15.故选C. 4D(1-2x)25=a+a1x+…+a2m5x2,令x=0,得a=1, 令=分得%++学++器=0.所以号+学+叶 a2025 220=-1 5.AC(x-1)"的展开式中的二项式系数之和为21=2048，所 以A正确：因为n=11为奇数，所以展开式中有12项，中间两 项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以B不正 确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以 D不正确.故选AC 6.ACD对任意实数x,有(2x-3)’=a+a1(x-1)+a2(x- 1)2+a3(x-1)3+…+a(x-1)9=[-1+2(x-1)]9,所以 a2=-C号×2=-144，故A正确；令x=1,可得a=-1,故B 不正确；令x=2,可得a0+a1+a2+·+a。=1,故C正确；令x =0,可得a0-a1+a2-a+…-ag=-39,故D正确。 1.10(2+士)广展开式的各项系数和为248令x=1, 可得3”=243，解得n=5.(2:2+）广展开式的通项7 =C525-x5-,re{0,1,…,5}.令15-4r=7,得r=2,.展开 式中含x的项的二项式系数为C=10. 及-13在(2一爱)广的二项限开式巾，常数项是8，由二项 展开式通项可知=c2(会)广：c·2, (-a)·x4,所以当k=3时为常数项，代人可得C·24-3· (-a)3=8,解得a=-1,由二项式定理可知展开式共有5项， 则根据二项式系数可知第3项二项式系数最大. 9.-256令x=1,得a+a1+a2+a3+a4+a5=0,令x=-1, 得a-a1+a2-a3+a4-a5=25=32,两式相加可得2(a0+a2 +a4)=32,两式相减可得2(a1+a3+a5）=-32,则a+a2+ -18 a4=16,a1+a3+a5=-16,所以(a+a2+a4)(a1+a3+a5) =-256. 10.【解析】由题意得，2"=64，解得n=6, 而(x-my)6的通项公式为Tk+1=Cx6-·（-my),0≤k≤ 6hEN. 所以x3y3的系数为C6(-m)3=-160, 解得m=2. 1.B因为s=-,+2)当=5时，5=2 2 2 =-23038 12.ACD在(x+2)"(neN*)的展开式中，含x2的项的二项式 系数为C2=nn,D=21,即n2-n-42=0,:neN, ∴n=7,A正确；展开式中常数项为Tg=2?=128,B错误；展 开式中二项式系数的最大值是C=C=35,C正确；令x=1 可得展开式中各项系数的和是3？=2187，D正确.故 选ACD. 13.【解析】(1)由题意得，C9+C+C2=16, 即1+n+nm,山=16. 2 解得n=5,或n=-6(舍去)， 所以n=5. 因为所有项的系数之和为1，令x=1, 所以(a-1)5=1,解得a=2. (2)不存在.理由如下： =(-1)C2-x5-2*(keN). 令5-兰=0，解得k=号：N,所以晨开式中不存在常数项。 (3)由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系 数最大， 二项式系数最大的两项为 T3=（-1)2·C25-2x5-3=80x2, T4=(-1)3.C25-3x5-号=-40x2 14.【解析】(1)由题意可得2”=256， 解得n=8, ·展开式的通项为T+1=Cmx之， .含x项的系数为Cm2=112, 解得m=2或m=-2(舍去). 故m,n的值分别为2,8. (2)展开式中偶数项的二项式系数之和为 Cg+C8+C⑧+Cg=28-1=128. (3):(1+2)8(1-x)=(1+2)8-x(1+2E)8, 含x2项的系数为C24-C22=1008. 练案[9] 1.D(位-)广层开式的通项为=C(侵)广(-1) (-)'Cx令10-2h=2或10-26=0，解得=4或4= 5放(+2)·（日-1）的展开式的常数项是(-1)广×心 +2×(-1)5×C=3. 6