6.2.3 组合&6.2.4 第1课时 组合与组合数-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[5] 第六章6.26.2.36. A组·基础巩固 1.下列四个问题中，属于组合问题的是( A.从3个分别标有1,2,3的3个不同小球中， 取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为 同桌 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中 选出2名幸运之星 D.将3张不同的电影票分给10人中的3人， 每人1张 2.若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分 一张，且全部分完，那么分法一共有（) A.A种 B.45种 C.54种 D.C种 3.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄 分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上， 现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建 公路的条数为 ( A.4 B.8 C.28 D.64 4若c=2.则3-4 A.60 B.70 C.120 D.140 5.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成 一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则 不同的组队方案共有 A.70种B.80种 C.100种D.140种 6.(多选)下列式子成立的是 B.Am=mAm- C.C=C+C- D. 7.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求 正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比 一个低，则这样的排法种数是 A.5040 B.36 C.18 D.20 2.4[第1课时组合与组合数] 8.若已知集合P={1,2,3,4},则集合P的子集 中含有2个元素的子集数为 9.男、女学生共有8人，从男生中选出2人，从女 生中选出1人，共有30种不同的选法，其中女 生有 人. 10.(1)解方程：3C-3=5A-4 (2)求C+C0的值. 14 B组·综合运用 11.某城市纵向有4条道路，横向有5条道路，构 成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道 路)，则从西南角A地到东北角B地的最短 路线共有 A.72条 B.108条 C.126条 D.252条 12.已知C=C,则Cg1+Cg+Cg+1+Cm2+ Cg*3= 13.现有10名教师，其中男教师6名，女教师 4名， (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不 同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议， 有多少种不同的选法？ —11 C组·拓展提升 14.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为 木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁 上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一 算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例 如，在十位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档 拨一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、 千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机 选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的 数字个数为 ,其中所拨数字小于 600的有 个 5一练案[4] 1.D相当于3个元素排10个位置，不同的分法有A。=720 (种). 2.C5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有 3A·A=36(种). 3.C根据题意，甲、乙都没有得到冠军，也都不是最后一名，先 排甲、乙，再排剩下三人，则5人的名次排列种数为A好·A= 36.故选C. 4.B先从除甲、乙外的4人中选取1人去北京，再从其余5人 中选3人去上海、广州、西安，共有不同的选择方案A·A= 240(种). 5.B以1开头的没有重复数字的六位数的个数为A:=120,由 于201345是以2开头的没有重复数字的六位数中最小的一 个，所有的没有重复数字的六位数的个数为5A=600,故没 有重复数字且大于201345的正整数的个数为600-120-1 =479.故选B. 6.AD3男3女排成一排共计有A。=720(种)不同的排法：男 生甲排在两端的共有2A;=240(种)不同的排法；男生甲、乙 相邻的排法总数为AA=240;男女生相间排法总数2AA =72. 7.3600不同排法的种数为AA2=3600 8.36文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A= 12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12=36（种） 选法 9.32五个位置从左到右依次记为位置一、二、三、四、五.根据 角音所在的位置分两类：第一类，角音排在位置一或五，由插 空法可得不同的排列顺序有2A2A:=24(种)：第二类，角音排 在位置二或四，则不同的排列顺序有2A2A2=8(种).根据分 类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有24+8=32（种）. 10.【解析】(1)先排唱歌节目有A2种排法，再排其他节目有 A8种排法，所以共有A2·A。=1440(种)排法。 (2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目，有A。种排法，再从 其中7个空（包括两端）中选2个排唱歌节目，有A种插入 方法，所以共有A。·A2=30240(种)排法. (3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目 排列，共有A4种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A;种插 入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，故所 求排法共有A4·A·A=2880(种)排法. 11.B方法一（间接法）：若不考虑限制条件，4名队员全排列共 有Ad-24(种)排法，减去甲跑第一棒有A=6(种)排法，乙 跑第四棒有A=6(种)排法，再加上甲跑第一棒且乙跑第四 棒有A2=2(种)排法，共有A4-2A;+A2=14(种)不同的出 场顺序 方法二（直接法）：若甲跑第四棒，则其余三人全排列，有A 种排法；若甲跑第二（或三）棒，则乙跑第一、三（或一、二）》 棒，其余两人全排列，有A2A,A?种排法.根据分类加法计数 原理，共有A+A2A2A2=6+8=14(种)排法. 12.【解析】(1)根据题意，从2,3,4,7,9这五个数字中任取3 个组成三位数，有A:=60种情况，即有60个符合题意的三 位数. (2)根据题意，个位数字为2的三位数有A4=12个 同理：个位数字为3,4,7,9的三位数都有12个， -18 则所有这些三位数的个位上的数字之和为(2+3+4+7+9) ×12=25×12=300. (3)根据题意，由(2)的结论，所有这些三位数的个位上的数 字之和为300， 同理：这些三位数的十位，百位上的数字之和都为300， 故所有这些三位数的和为300×100+300×10+300= 33300. 13.【解析】(1)5位嘉宾无约束条件的出场顺序有A种，由于 3位老者的排列顺序已定，因此满足3位老者按年龄从大到 小的顺序出场，出场顺序有元 As =20(种). (2)设符合条件的出场顺序共有x种， 用(1)的方法可得x·A·A=A, A 解得x=·店=10， 14.D要求5对夫妇相邻，我们可以先将每对夫妇划分为1组， 然后让这5组人围坐成一圈，于是有A种坐法.考虑到组内 两人还有顺序问题，因此每组再乘2，于是5对夫妇相邻而坐 共有A×2种坐法. 练案[5] 1.CA、B、D与顺序有关，是排列问题，而C与顺序无关，是组 合问题，故选C 2.D由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张， 从5名代表中选4人满足分配要求，故有C种 3.C由于“村村通”公路的修建是组合问题，故共需要建C= 是-贸8条)公游 4.D由C:A=nn,1x2=42,解得n=7或n=-6(舍去)， 2 n！ 717×6×5×4×3×2×1=140. 六31(n-4)Π=3131=3×2×1x3×2×1 5.A方法一（直接法）：一男两女，有CC=5×6=30(种)；两 男一女，有CC4=10×4=40(种)，共计70种. 方法二（间接法）：任意选取有C。=84(种)，其中都是男医生 有C=10(种)，都是女医生有C=4(种)，于是符合条件的 有84-10-4=70（种）. 6.ACD根据排列和组合数公式，可知A成立；Am=n(n-1)(n -2)…(n-m+1),Am=(n-1)·(n-2)…(n-m+1), 所以Am=nAm,故B不成立；由组合数的性质，可知C成立； Ca+ma·m1”-, (n+1)！ n+1 n！ C,故D成立. 7.D最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种 站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C。=20 (种). 8.6由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个 数与元素顺序无关，是组合问题，共有C=S=4×3=6 A2x11 (个) 9.2或3设男生有x人，则女生有(8-x)人.：从男生中选出2 人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，.C×Cg-x= 30,.x(x-1)(8-x)=30×2=2×6×5或x(x-1)(8-x) =3×4×5..x=6,8-6=2或x=5,8-5=3.女生有2人 或3人. 3 10.【解析】(1)由排列数和组合数公式， 则3(x-3).5 x-714知5.-4g 原方程可化为3·，（x-3)！ (x-6)1 4!x-61 即为(x-3)(x-6)=40 所以x2-9x-22=0, 解之可得x=11或x=-2. 经检验知x=11是原方程的解， 所以方程的解为x=11. (2)由组合数的定义知0≤r+1≤10， 0≤17-r≤10. 所以7≤r≤9.又reN, 所以r=7,8,9, 当r=7时，原式=C。+C0=46: 当r=8时，原式=C0+C0=20; 当r=9时，原式=C8+C。=46. 11.C要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下 走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线 段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行 走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段， 共有CC=126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有 126条.故选C. 12.120C=C%,.m=11,.Cg+Cg+Cg+C4*2+ Cis*3=CI+Cl2+Ci3+Cl+Cis Cig +Ci Cla+Ci Cig +C4+C=C+C=C6=120. 13.【解析】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数， 就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即C。= 99-45 (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有C。种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C?种方法. 根据分类加法计数原理，共有C6+C=15+6=21(种)不同 的选法。 14.247在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠， 再随机选择两个档位各拨一颗上珠，所有的数有C4C=24 (个)，当下珠拨的是百位档时，上珠只能拨个位档和十位档， 有1种情况；当下珠拨的是个位档或十位档时，上珠可以从 个、十、百位档中随机选择两个档位各拨一颗，有C,C=6 (种)情况，所以所拨数字小于600的有1+6=7（个）. 练案[6] 1.C分两类：一类是2个白球有C%=15(种)取法，另一类是2 个黑球有C=6(种)取法，所以共有15+6=21（种）取法 2.A由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所 求，所以每天不同午餐的搭配方法共有CC2+C4C2=210 （种). 3.B利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线 的情况，所以符合条件的三角形的个数为Cg-C4-C;=42. 4.A当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有CC2=20 (种)不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙 组中只有1人时，有CC=30(种)不同的分配方案；当甲组 中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有CC;=30(种) 不同的分配方案.故共有20+30+30=80（种）不同的分配 方案. 18 5.ABC对于A中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余的 四科中任选2科，根据分步乘法计数原理，可得选法总数为 CC种，所以A正确；对于B中，先从物理、历史中选1门，有 C,种选法，若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有 C种选法，由分步乘法计数原理，可得选法共有CC种，所 以B正确；对于C中，先从物理和历史中选1门，有C种选 法，若从政治和地理中只选1门，再从化学和生物中选1门， 有CC,种选法，若政治和地理都不选，则从化学和生物中选2 门，只有1中选法，由分类加法计数原理，可得共有CCC+ C,所以C正确：对于D中，若物理必选，只有1种选法，若化 学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有CC2种选法， 若化学、生物都选，则只有1种选法，由分类加法计数原理，可 得选法总数为C,C)+1,所以D错误.故选ABC. 6.BD若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每 个班级至少1个，根据隔板法，有C。种分配方法，故A错误 若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个 班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有C。种分配方法，故 B正确；若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需 先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额 分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名 额中的9个空上放置5个隔板即可，故有C。=126种，故C错 误，D正确.故选BD 7.568个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8 个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3 个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题，这样共有C= 56种排法. 8.714若只有1名队长入选，则选法种数为C·C;若两名队 长均人选，则选法种数为C1。,故不同选法有C2·Ci。+C10= 714(种). 9.36由题意知有两名大学生去同一个乡镇.分两步完成：第一 步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有C种；第二 步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A:种.所以满足 条件的分配方案有C4·A=36(种). 10.【解析】可以分三类： 第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有 CC种选法； 第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有 CC种选法； 第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有CC 种选法， 根据分类加法计数原理，一共有CC+CC+CC?=42 （种)不同的选法. 11.D此题可化归为圆上9个点可以组成多少个四边形，所有 四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C。=126 (个). 12.364位同学的总分为0，有以下三种情况：①4人都选择答 甲题，2人答对，2人答错，有C种情况；②4人都选择答乙 题，2人答对，2人答错，有C种情况；③2人答甲题且1人对 1人错，2人答乙题且1人对1人错，有C4×2×2种情况.综 上，共有C+C+C×2×2=6C=36种情况. 13.1806位游客选2人去A风景区，有C种，余下4位游客选 2人去B风景区，有C种，余下2人去C,D风景区，有A 种，所以分配方案共有C6C4A2=180(种). 14.【解析】（1)从10个球中任取4个，使红球的个数不比白球 的个数少的取法，可分三类：