第4章 统计 单元测试卷-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

湘教版高中数学选择性必修第二册 第四章：统计单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第四章：统计 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是() w… ● a b A.a为正相关，b为负相关，c为不相关B.a为负相关，b为不相关，c为正相关 C.a为负相关，b为正相关，c为不相关D.a为正相关，b为不相关，c为负相关 【答案】D 【分析】根据散点图中点的分布特征，结合相关性的定义，即可得出结论 【详解】根据散点图，由相关性可知：图α各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相 关 图b中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关： 图c中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关， 故选：D 2.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是() 05101520253035 05101520253035 样本相关系数为 样本相关系数为r2 0 。。·。 0 5101520253035 0 5101520253035 样本相关系数为 样本相关系数为r4 A.53<<0<5<片 B.4<2<0<1<3 C.r<2<0<5<I D.1<14<0<1<53 【答案】A 【分析】由相关系数的意义结合散点图即可求解 【详解】由图可知，5都是正线性相关关系，1,4都是负线性相关关系，且，相关性更强， 所以5>5>0>T4>5.故选：A 3.某公司根据近几年经营经验，得到广告支出X(单位：万元)与获得利润Y(单位：万 元)的数据如下： 广告支出X/万元 2 J 8 11 15 19 利润Y/万元 33 45 50 53 58 64 根据表中数据可得利润Y关于广告支出X的线性回归方程为y=x+34.据此线性回归方 程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费() A.30万元 B.32万元 C.36万元 D.40万元 【答案】D 【分析】先求得样本点的中心点坐标，代入Y=x+34求出)得回归直线，再由Y求得X 【详解1x=2+5+8+11+15+19=10,=33+45+50+53+58+64-50.5, 6 6 因为回归直线Y=X+34过点(c,),所以50.5=b×10+34,得b=1.65, 故当Y=100时，1.65X+34=100,得X=40.故选：D. 4.某产品的研发费用x万元与销售利润y万元的统计数据如表所示， 研发费用x(万元) 4 2 3 5 利润y(万元) 49 26 39 仙 根据上表可得回归方程.)=bx+à中的b=9.4.据此模型预计研发费用为6万元时，利润为 65.5,则a,m=() A.a=9.4,m=52 B.à=9.1，m=53 C.a=9.1,m=54 D.à=9.2，=54 【答案】C 【分析】将(6,65.5)代入=bx+à可求à，再根据回归方程经过样本中心点，可求m 【详解】由题意：9.4x6+a=65.5→a=9.1 所以y=9.4x+9.1. 又由已知数据，x=4+2+3+57 4 子-9+26+39+加14+m 4 4 又=94x+9.1经过(，可)，所以94×7+ )+9.1=114+"22=54 4 所以a=9.1,m=54. 故选：C 5.某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表： 作业量 性别 大 不大 总计 男 18 9 27 女 8 15 23 总计 26 24 50 则推断学生的性别与认为作业量大有关”的把握为() 附表 P(x2≥k) 0.050 0.010 3.841 6.635 A.95% B.5% C.99% D.100% 【答案】A 【分析】由独立性检验知识可判断选项正误， 【详解】由独立性检验公式得才-50x18x15-8x9-5059>3.841, 27×23×26×24 所以推断“学生的性别与认为作业量大有关的把握为95%. 故选：A 6.甲、乙、丙、丁四位同学各自对，A,B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法 分别求得相关系数r与残差平方和如下表： 甲 丙 丁 0.82 0.78 0.69 0.85 L 106 115 124 103 则能体现A,B两变量有更强的线性相关性的是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】D 【分析】在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越 强，残差平方和越小，相关性越强，得到结果。 【详解】在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越 强， 在四个选项中只有丁的相关系数最大， 残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小， 综上可知丁的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性，故选：D. 7.已知随机变量x,y(x>O,y>O)呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设u=3ny, v=(4x-5,利用最小二乘法，得到线性回归方程！=-+3，则变量y的估计值有(） 4 A.最大值为eB.最小值为e C.最大值为e D.最小值为e 【答案】A 【分析】先根据已知条件将=3y,v=(4x-5)代入线性回归方程，然后通过对数函数 的性质求出y的最值。 【详解】已知u=-二v+3,把u=3ny,v=(4x-5)2代入可得： 4 3ny=--(4x-5)2+3. 得到lhy=- 4-1 因为4-≥0，所以-方4r-c0,影么立4x-+1s1,即ny≤1. 因为对数函数y=lnx在(0，+o)上单调递增，且lny≤l=lhme,所以y≤e,即y有最大值为e 变量y的估计值有最大值为e. 故选：A 8.为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女 性人数是男性人数的2倍，男性客爱钓鱼的人数占男性人数的？，女性喜爱的鱼的人数古女 性人数的}， 若有95%的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性至少有() (参考数据： 363 ≈0.82) 442 A.8人 B.10人 C.15人 D.20人 【答案】B 【分析】设被调查的男性有x人，由题可得列联表，由卡方计算公式可得x>4.68,然后结 合选项及x可被10整除可得答案 【详解】设被调查的男性有x人，则女性有2x人，根据题意，可得2×2列联表如下： 性别 钓鱼 男性 女性 总计 喜欢钓鱼 13x 5 10 不喜欢钓鱼 17x 5 2 10 总计 2x 3x 3xx 4x 3x xx 则X2= 225 363x ≈0.82x,本次调查得出“有95%的把握认为是否喜爱钓 13x、17x 442 1010 鱼与性别有关”的结论，可得0.82x>3.841,解得x>4.68, 又因为列联表中相关人数需为整数，则x=10m,n∈N, 所以结合选项，被调查的男性至少有10人.故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列关于变量间的线性相关系数？说法正确的是() A.相关系数r的取值范围为[-1，] B.|r=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上 C.两个变量正相关的充要条件是r>0 D.相关系数r越小，则变量间的线性相关性越弱 【答案】ABC 【分析】利用相关系数r的取值范围判断选项A;利用r=1的充要条件判断选项B:利用 两个变量正相关的充要条件判断选项C;利用变量间的线性相关性与r的关系判断选项D. 【详解】选项A:相关系数r的取值范围为[-1,1]判断正确 选项B:|r=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上判断正确： 选项C:两个变量正相关的充要条件是r>0.判断正确： 选项D:相关系数r的绝对值越小，则变量间的线性相关性越弱.判断错误故选：ABC 10.某类汽车在某年1至5月的销量Y(单位：千辆)如下表所示（其中2月份销量未知）： 月份X 1 2 3 4 5 月销量Y 2.4 m 4 U 5.5 若变量Y与X之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的线性回归方程为 Y=0.81X+1.57,则下列说法正确的是() A.m=3.1 B.样本相关系数r<0 C.据该模型可以预测12月份的销量为11.29千辆D.变量X每增加1，变量Y增加0.81 【答案】AC 【分析】对于A,根据回归直线必过样本中心点(，)可解得；对于B,根据表格和相关 系数的意义，即可判断：对于C,利用回归方程可求出预测值即可判断：对于D,经验回 归直线方程的意义，即可判断 【详解】对于A,由题意知，回归直线必过样本点的中心(，))，由Y=0.81X+1.57, 又x=1+2+3+4+5=3,代入方程得y=0.81×3+157=4, 5 所以24+m+4+5+55=4,解得m=31,故A正确。 5 对于B,由表格可知变量Y与X正相关，则r>0,故B错误. 对于C,当X=12时，Y=0.81×12+1.57=11.29,即预测12月份的销量为11.29千辆，故C 正确.对于D,线性回归模型只起到预测作用，变量X每增加1，变量Y不一定增加0.81， 故D错误，故选：AC. 11.电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的常用电池有锂电池与铅 酸电池两种.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500 名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占 并得到下表.则下列说法正 确的是（) 偏好情况 性别 偏好锂电池电动车 偏好铅酸电池电动车 男性 200 100 女性 Q b A.b-a=40 B.该市大约有65%的市民偏好锂电池电动车 C.有95%的把握认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关 D.若采用分层随机抽样的方法从偏好锂电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7 名市民中抽取2人进行座谈，则有女性市民参加座谈的概率为 21 【答案】AC 【分析】完成2×2列联表可判断A:根据样本中偏好锂电池电动车的比例估计总体可判断B: 求出x2可判断C:采用分层随机抽样的方法抽取的7人中，男性市民有5人，女性市民有2 人，利用古典概型求出概率可判断D错误。 【详解】对于A,被调查的女性市民人数为500-200-100=200， 其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为200×3=120， 偏好锂电池电动车的女性市民人数为200-120=80，所以2×2列联表为： 偏好情况 性别 偏好锂电池电动车 偏好铅酸电池电动车 总计 男性 200 100 300 女性 80 120 200 总计 280 220 500 故a=80,b=120,b-a=40,故A正确： 对于B,由A选项中的列联表，知样本中偏好锂电池电动车的比例 为280 500x1006=566,故由样本估计总体，该市大约有56%的市民偏好 锂电池电动车，故B错误；对于C,根据列联表中的数据可以求得 元=50020x120,80x100=34.632>3841, 300×200×280×220 故有95%的把握认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关，故C正确： 2005 对于D,因为偏好锂电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比值为 80-2 所以采用分层随机抽样的方法抽取的7人中，男性市民有5人，女性市民有2人. 方法一设有女性市民参加座谈为事件A,则P(4=CC+C=马 C 21 方法二设这5名男性市民和2名女性市民分别为A,B,C,D,E,a,b, 则从这7人中抽取2人的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D) (B,E),(B,a),(B,b),(C,D),(C,E),(C,a,(C,b),(D,E),(D,a),(D,b),(E,a),(E,b),(a,b), 共21件精况，共中有交性市民参加库读的有1种情况，放所求既率为分故D信误。 故选：AC 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知变量Y与X线性相关，由样本点(x,y)(x=i,i=1,2,3,4,5)求得的线性回归方程为 立专+a,若点（化火）在国归直线上.且头=2，则立g- 【答案】6 【分析】依题意，可得点(5,2)在回归直线上，求得ā，将条件代入回归方程求出y,利用 平均数公式即可求得 【详解】由题意，点(6,2)在回归直线上，代入9=专+à可得：2-1+a:解得a=1. 又x=1+2+3+4+5-3,且样本点的中心（区，列）在回归直线上， 5 故代入得=x3+1= ，最后得结果，则2+2=5×88，解得必y=6 8 5 = 故答案为：6 13.近五年来某草原羊只数量与草地植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图， 如图所示： 年份 2 3 4 5 羊只数量/万只 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7 草地植被指数 60H 50 4 30 ● 20 10 0.5 11.5羊只数量/万只 若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为5，去掉第一年数据(14,1.1)后得到的相关 系数为2，则1（填≥，≤，<，>） 【答案】> 【分析】根据散点图可知两个量呈负相关，且去掉数据(1.4,11)后相关性变强，结合相关系 数的概念判断即可 【详解】根据散点图可知，羊只数量与草地植被指数呈负相关，则相关系数<0，？2<0 当去掉第一年数据(1.4,1.1)后，数据的线性相关性变强，所以<，所以5>？. 故答案为：> 14.下列说法中正确的是 ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； ②设有一个线性回归方程)=3-5x,变量x增加1个单位时，)平均增加5个单位； ③设具有相关关系的两个变量x、y的相关系数为？，则越接近于0，x和y之间的线性 相关程度越强： ④在一个2×2列联表中，由计算得x的值，则x的值越大，判断两个变量间有关联的把握 就越大。 【答案】①④ 【分析】利用方差的性质判断①的正误；利用回归直线的性质判断②，相关系数判断③，独 立检验判断④ 【详解】对于①，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满足 方差的性质，①正确： 对于②，设有一个线性回归方程)=3-5x,变量x增加1个单位时，少平均减少5个单位： 所以②不正确： 对于③，设具有相关关系的两个变量x,y的相关系数为r,则越接近于0，x和y之间的 线性相关程度越弱，所以③不正确： 对于④，在一个2×2列联表中，由计算得x的值，则x的值越大，判断两个变量间有关联 的把握就越大，所以④正确：故答案为：①④. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降1.4%，环比下降0.1%.某 企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时做出相应调整，并结合企业自身的情况制 定相应的出厂价格.该企业统计了2019年1一10月份产品的生产数量x与销售总额y之间 的关系，如下表所示 湘教版高中数学选择性必修第二册 第四章：统计 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第四章：统计 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（   ）    A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 2．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．某公司根据近几年经营经验，得到广告支出（单位：万元）与获得利润（单位：万元）的数据如下： 广告支出万元 2 5 8 11 15 19 利润万元 33 45 50 53 58 64 根据表中数据可得利润关于广告支出的线性回归方程为．据此线性回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（    ） A．30万元 B．32万元 C．36万元 D．40万元 4．某产品的研发费用x万元与销售利润y万元的统计数据如表所示， 研发费用x (万元) 4 2 3 5 利润y (万元) 49 26 39 m 根据上表可得回归方程.中的 .据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5， 则（    ） A． B． C． D． 5．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表： 性别 作业量 大 不大 总计 男 18 9 27 女 8 15 23 总计 26 24 50 则推断“学生的性别与认为作业量大有关”的把握为（    ） 附表： A． B． C． D． 6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对，A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表: 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则能体现A，B两变量有更强的线性相关性的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．已知随机变量呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则变量的估计值有（   ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 8．为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性人数的2倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性至少有（    ）（参考数据：） A．8人 B．10人 C．15人 D．20人 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于变量间的线性相关系数说法正确的是（    ） A．相关系数的取值范围为 B．| r |=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上 C．两个变量正相关的充要条件是 D．相关系数r越小，则变量间的线性相关性越弱 10．某类汽车在某年1至5月的销量（单位：千辆）如下表所示（其中2月份销量未知）： 月份 1 2 3 4 5 月销量 2.4 4 5 5.5 若变量与之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ） A． B．样本相关系数 C．据该模型可以预测12月份的销量为11.29千辆 D．变量每增加1，变量增加0.81 11．电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的常用电池有锂电池与铅酸电池两种．某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占，并得到下表．则下列说法正确的是（    ） 性别 偏好情况 偏好锂电池电动车 偏好铅酸电池电动车 男性 200 100 女性 A． B．该市大约有65%的市民偏好锂电池电动车 C．有95%的把握认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关 D．若采用分层随机抽样的方法从偏好锂电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，则有女性市民参加座谈的概率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知变量与线性相关，由样本点求得的线性回归方程为，若点在回归直线上，且，则 ． 13．近五年来某草原羊只数量与草地植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示： 年份 1 2 3 4 5 羊只数量/万只 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7    若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则 （填，，，） 14．下列说法中正确的是 ． ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； ②设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位； ③设具有相关关系的两个变量、的相关系数为，则越接近于0，和之间的线性相关程度越强； ④在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降，环比下降．某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时做出相应调整，并结合企业自身的情况制定相应的出厂价格．该企业统计了2019年1－10月份产品的生产数量与销售总额之间的关系，如下表所示． 万件 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 万元 42.5 43.7 44.0 45.5 46.4 47.5 49.2 50.3 51.4 52.6 (1)计算的值； (2)计算样本相关系数的值，并通过的值的大小说明与之间的相关程度． 16．（15分）某公司销售的3D卡通纪念章很受欢迎，国庆长假第一天每件售价为20元，卖出了100百件.为了缓解进货压力，同时保证销售额不下降，决定从第二天起开始涨价.根据往年的市场调研得出的规律，该种商品涨价会导致销量下降，具体数据如下： 每件涨价元 1 2 3 4 5 销量下降百件 1 2 8 14 15 (1)由统计表看出，可用线性回归模型拟合与的关系，试建立与的回归方程. (2)由（1）中的回归方程预测，当售价为多少元时，该款商品的日销售额最大，最大销售额是多少百元? 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 17．（15分）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区随机抽取200人进行调查，得到如下列联表： 学业成绩 日均体育锻炼时长（单位：小时） 其它 合计 优秀 40 60 100 不优秀 25 75 100 合计 65 135 200 (1)记学业成绩优秀的学生中日均体育锻炼时长为1至2小时的概率为，给出的估计值； (2)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时有关？ 附：. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（17分）某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）.y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成. (1)求回归系数； (2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）； (3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？ 参考公式： 提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（17分）某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越．为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响．结合近12年的年研发资金投入和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，e为自然对数的底数．经对数据的初步处理，得到散点图如图．令，，计算得到如下数据． 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500    (1)设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型． (2)（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； （ⅱ）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入． 附：，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学选择性必修第二册 第四章：统计 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第四章：统计 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（   ）    A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 【答案】D 【分析】根据散点图中点的分布特征，结合相关性的定义，即可得出结论． 【详解】根据散点图，由相关性可知：图a各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相关； 图b中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关； 图c中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关． 故选：D 2．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由相关系数的意义结合散点图即可求解. 【详解】由图可知都是正线性相关关系，都是负线性相关关系，且相关性更强， 所以.故选：A 3．某公司根据近几年经营经验，得到广告支出（单位：万元）与获得利润（单位：万元）的数据如下： 广告支出万元 2 5 8 11 15 19 利润万元 33 45 50 53 58 64 根据表中数据可得利润关于广告支出的线性回归方程为．据此线性回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（    ） A．30万元 B．32万元 C．36万元 D．40万元 【答案】D 【分析】先求得样本点的中心点坐标，代入求出得回归直线，再由求得． 【详解】，， 因为回归直线过点，所以，得， 故当时，，得．故选：D. 4．某产品的研发费用x万元与销售利润y万元的统计数据如表所示， 研发费用x (万元) 4 2 3 5 利润y (万元) 49 26 39 m 根据上表可得回归方程.中的 .据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入可求，再根据回归方程经过样本中心点，可求. 【详解】由题意：. 所以. 又由已知数据，，. 又经过，所以. 所以，. 故选：C 5．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表： 性别 作业量 大 不大 总计 男 18 9 27 女 8 15 23 总计 26 24 50 则推断“学生的性别与认为作业量大有关”的把握为（    ） 附表： A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由独立性检验知识可判断选项正误. 【详解】由独立性检验公式得， 所以推断“学生的性别与认为作业量大有关”的把握为． 故选：A 6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对，A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表: 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则能体现A，B两变量有更强的线性相关性的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，残差平方和越小，相关性越强，得到结果． 【详解】在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强， 在四个选项中只有丁的相关系数最大， 残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小， 综上可知丁的试验结果体现、两变量有更强的线性相关性，故选：D． 7．已知随机变量呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则变量的估计值有（   ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 【答案】A 【分析】先根据已知条件将，代入线性回归方程，然后通过对数函数的性质求出的最值． 【详解】已知，把，代入可得： ． 得到． 因为，所以，那么，即． 因为对数函数在上单调递增，且，所以，即有最大值为． 变量的估计值有最大值为． 故选：A． 8．为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性人数的2倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性至少有（    ）（参考数据：） A．8人 B．10人 C．15人 D．20人 【答案】B 【分析】设被调查的男性有人，由题可得列联表，由卡方计算公式可得，然后结合选项及可被10整除可得答案. 【详解】设被调查的男性有人，则女性有人，根据题意，可得列联表如下： 钓鱼 性别 男性 女性 总计 喜欢钓鱼 不喜欢钓鱼 总计 则，本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，可得，解得， 又因为列联表中相关人数需为整数，则，， 所以结合选项，被调查的男性至少有10人．故选：B 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于变量间的线性相关系数说法正确的是（    ） A．相关系数的取值范围为 B．| r |=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上 C．两个变量正相关的充要条件是 D．相关系数r越小，则变量间的线性相关性越弱 【答案】ABC 【分析】利用相关系数的取值范围判断选项A；利用| r |=1的充要条件判断选项B；利用两个变量正相关的充要条件判断选项C；利用变量间的线性相关性与r的关系判断选项D. 【详解】选项A：相关系数的取值范围为.判断正确； 选项B：| r |=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.判断正确； 选项C：两个变量正相关的充要条件是.判断正确； 选项D：相关系数r的绝对值越小，则变量间的线性相关性越弱.判断错误.故选：ABC 10．某类汽车在某年1至5月的销量（单位：千辆）如下表所示（其中2月份销量未知）： 月份 1 2 3 4 5 月销量 2.4 4 5 5.5 若变量与之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ） A． B．样本相关系数 C．据该模型可以预测12月份的销量为11.29千辆 D．变量每增加1，变量增加0.81 【答案】AC 【分析】对于A，根据回归直线必过样本中心点可解得；对于B，根据表格和相关系数的意义，即可判断；对于C，利用回归方程可求出预测值.即可判断；对于D，经验回归直线方程的意义，即可判断. 【详解】对于A，由题意知，回归直线必过样本点的中心），由， 又，代入方程得，， 所以，解得，故A正确． 对于B，由表格可知变量与正相关，则，故B错误． 对于C，当时，，即预测12月份的销量为11.29千辆，故C正确．对于D，线性回归模型只起到预测作用，变量每增加1，变量不一定增加，故D错误．故选：AC． 11．电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的常用电池有锂电池与铅酸电池两种．某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占，并得到下表．则下列说法正确的是（    ） 性别 偏好情况 偏好锂电池电动车 偏好铅酸电池电动车 男性 200 100 女性 A． B．该市大约有65%的市民偏好锂电池电动车 C．有95%的把握认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关 D．若采用分层随机抽样的方法从偏好锂电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，则有女性市民参加座谈的概率为 【答案】AC 【分析】完成列联表可判断A；根据样本中偏好锂电池电动车的比例估计总体可判断B；求出可判断C；采用分层随机抽样的方法抽取的7人中，男性市民有5人，女性市民有2人,利用古典概型求出概率可判断D错误． 【详解】对于A，被调查的女性市民人数为， 其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为， 偏好锂电池电动车的女性市民人数为，所以列联表为： 性别 偏好情况 偏好锂电池电动车 偏好铅酸电池电动车 总计 男性 200 100 300 女性 80 120 200 总计 280 220 500 故，，，故A正确； 对于B，由A选项中的列联表，知样本中偏好锂电池电动车的比例 为，故由样本估计总体，该市大约有的市民偏好 锂电池电动车，故B错误；对于C，根据列联表中的数据可以求得 ， 故有的把握认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关，故C正确； 对于D，因为偏好锂电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比值为， 所以采用分层随机抽样的方法抽取的7人中，男性市民有5人，女性市民有2人． 方法一    设“有女性市民参加座谈”为事件，则． 方法二    设这5名男性市民和2名女性市民分别为， 则从这7人中抽取2人的基本事件有 ，， 共21种情况，其中“有女性市民参加座谈”的有11种情况，故所求概率为，故D错误． 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知变量与线性相关，由样本点求得的线性回归方程为，若点在回归直线上，且，则 ． 【答案】6 【分析】依题意，可得点在回归直线上，求得，将条件代入回归方程求出，利用平均数公式即可求得 【详解】由题意，点在回归直线上，代入可得，，解得． 又，且样本点的中心在回归直线上， 故代入得，最后得结果，则，解得． 故答案为：. 13．近五年来某草原羊只数量与草地植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示： 年份 1 2 3 4 5 羊只数量/万只 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7    若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则 （填，，，） 【答案】 【分析】根据散点图可知两个量呈负相关，且去掉数据后相关性变强，结合相关系数的概念判断即可. 【详解】根据散点图可知，羊只数量与草地植被指数呈负相关，则相关系数，， 当去掉第一年数据后，数据的线性相关性变强，所以，所以． 故答案为： 14．下列说法中正确的是 ． ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； ②设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位； ③设具有相关关系的两个变量、的相关系数为，则越接近于0，和之间的线性相关程度越强； ④在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大． 【答案】①④ 【分析】利用方差的性质判断①的正误；利用回归直线的性质判断②，相关系数判断③，独立检验判断④． 【详解】对于①，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满足方差的性质，①正确； 对于②，设有一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，平均减少5个单位；所以②不正确； 对于③，设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越弱，所以③ 不正确； 对于④，在一个2×2列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，所以④正确；故答案为：①④． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降，环比下降．某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时做出相应调整，并结合企业自身的情况制定相应的出厂价格．该企业统计了2019年1－10月份产品的生产数量与销售总额之间的关系，如下表所示． 万件 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 万元 42.5 43.7 44.0 45.5 46.4 47.5 49.2 50.3 51.4 52.6 (1)计算的值； (2)计算样本相关系数的值，并通过的值的大小说明与之间的相关程度． 【答案】(1) (2)，与之间具有很强的相关性 【分析】（1）由平均数的计算公式得到和； （2）由相关系数的计算公式计算，再由判断相关性. 【详解】（1）依题意， （2）依题意，，，， 所以， 因为，所以与之间具有很强的相关性． 16．（15分）某公司销售的3D卡通纪念章很受欢迎，国庆长假第一天每件售价为20元，卖出了100百件.为了缓解进货压力，同时保证销售额不下降，决定从第二天起开始涨价.根据往年的市场调研得出的规律，该种商品涨价会导致销量下降，具体数据如下： 每件涨价元 1 2 3 4 5 销量下降百件 1 2 8 14 15 (1)由统计表看出，可用线性回归模型拟合与的关系，试建立与的回归方程. (2)由（1）中的回归方程预测，当售价为多少元时，该款商品的日销售额最大，最大销售额是多少百元? 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1)； (2)售价为23元时，日销售额最大，为2116百元． 【分析】（1）计算出，，再代入线性回归方程公式即可； （2）设涨价元，再写出，最后利用二次函数性质即可求出最值. 【详解】（1），， ， ，则. （2）设涨价元时，每日的销售额为百元，则 ，则当时，销售额最大为2116百元， 此时售价为23元，日销售额最大，为2116百元． 17．（15分）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区随机抽取200人进行调查，得到如下列联表： 学业成绩 日均体育锻炼时长（单位：小时） 其它 合计 优秀 40 60 100 不优秀 25 75 100 合计 65 135 200 (1)记学业成绩优秀的学生中日均体育锻炼时长为1至2小时的概率为，给出的估计值； (2)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时有关？ 附：. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时有关 【分析】（1）根据列联表中的数据，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据列联表中的数据，利用公式求得，结合附表，即可得到答案. 【详解】（1）解：由列联表知，学业成绩优秀的学生共有100人， 其中日均体育锻炼时长为1至2小时的有40人， 根据古典摡型的概率计算公式，可得概率为， 所以的估计值为. （2）解：零假设，学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时无关， 由的列联表中的数据，可得：， 因为， 所以零假设不成立，故有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时有关. 18．（17分）某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）.y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成. (1)求回归系数； (2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）； (3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？ 参考公式： 提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2) (3)判断“检测结果”与“文本真实性”有差异 【分析】（1）利用回归直线过样本中心可求回归系数； （2）利用全概率公式可求概率； （3）完善列联表，再根据公式计算卡方，结合临界值表判断即可. 【详解】（1）因为，且，， 故，故. （2）记事件为 “由AI生成的文本”， 为“由人类撰写的文本”， 为“被检测系统识别为人类撰写的文本”， 由题意知，，，，， 由全概率公式知：， 即该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率约为. （3）AI生成的篇数为，人类撰写的篇数为， 真实AI生成且被识别为AI生成的篇数， 真实人类撰写且被识别为人类撰写的篇数， 故列联表为： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 29 1 30 真实人类撰写（篇） 6 164 170 总计 35 165 200 零假设为：分类变量相互独立，即“检测结果”与“文本真实性”无差异. 由列联表数据计算得，， 所以依据小概率值的独立性检验，可以判断“检测结果”与“文本真实性”有差异. 19．（17分）某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越．为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响．结合近12年的年研发资金投入和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，e为自然对数的底数．经对数据的初步处理，得到散点图如图．令，，计算得到如下数据． 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500    (1)设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型． (2)（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； （ⅱ）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入． 附：，． 【答案】(1)模型中与的相关性较强 (2)（ⅰ）；（ⅱ）27.1亿元． 【分析】（1）分别将表中数据代入样本相关系数公式求出，比较大小即可判断； （2）（ⅰ）由两边取对数，换元得，由表中数据分别求和，得线性回归方程，利用指数式和对数式的互化，即得； （ⅱ）将代入回归方程，利用题设条件，即可预测下一年的研发资金投入． 【详解】（1）由题意知， ． 因为，所以， 故从样本相关系数的角度，模型中与的相关性较强． （2）（ⅰ）由，得，即． 因为， 所以，故关于的线性回归方程为， 即，所以． （ⅱ）将代入，得，又， 故得，解得，故预测下一年的研发资金投入是27.1亿元． 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第二册 第四章：统计单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意禀项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)选择性必修第二册第四章：统计 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的： 1.观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是() 8g b A.a为正相关，b为负相关，c为不相关B.a为负相关，b为不相关，c为正相关 C.a为负相关，b为正相关，c为不相关D.α为正相关，b为不相关，c为负相关 2.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是() 0 5101520253035 0 5101520253035 样本相关系数为r 样本相关系数为2 35A 35。 ● 。”。”。 。。·。· 10 5·… 05101520253035 05101520253035 样本相关系数为r3 样本相关系数为4 A.52<<0<5<片B.4<h<0<1<3C.4<3<0<5<1D.2<4<0<1<3 3.某公司根据近几年经营经验，得到广告支出X(单位：万元)与获得利润Y(单位：万元)的数据如 下： 广告支出X/万元 2 5 8 11 15 19 利润Y1万元 33 45 50 53 58 64 根据表中数据可得利润Y关于广告支出X的线性回归方程为Y=X+34.据此线性回归方程，若计划利 润达到100万元，估计需要支出广告费() A.30万元 B.32万元 C.36万元 D.40万元 4.某产品的研发费用x万元与销售利润y万元的统计数据如表所示， 研发费用x(万元) 3 5 利润y(万元) 49 26 39 根据上表可得回归方程.)=bx+à中的b=9.4.据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5，则a,m= () A.a=9.4,m=52 B.à=9.1，m=53 C.à=9.1，m=54 D.à=9.2，l=54 5.某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表： 作业量 性别 大 不大 总计 男 18 9 27 女 8 15 23 总计 26 24 50 则推断学生的性别与认为作业量大有关的把握为() 附表： P(x2≥k) 0.050 0.010 k 3.841 6.635 A.95% B.5% C.99% D.100% 6.甲、乙、丙、丁四位同学各自对，A,B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关 系数r与残差平方和m如下表： 甲 乙 丙 丁 0.82 0.78 0.69 0.85 106 115 124 103 则能体现A,B两变量有更强的线性相关性的是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7.已知随机变量x,y（x>0,y>0)呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设u=3y,v=(4x-5)2, 利用最小二乘法，得到线性回归方程u=-v+3,则变量y的估计值有() A.最大值为eB.最小值为e C.最大值为e3 D.最小值为e 8.为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性 人数的2倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的？，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的}，若有95%的 把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性至少有()（参考数据： 363 ≈0.82) 442 A.8人 B.10人 C.15人 D.20人 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列关于变量间的线性相关系数？说法正确的是() A.相关系数r的取值范围为[-1，] B.r=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上 C.两个变量正相关的充要条件是r>0 D.相关系数r越小，则变量间的线性相关性越弱 10.某类汽车在某年1至5月的销量Y(单位：千辆)如下表所示（其中2月份销量未知）： 月份X 2 3 5 月销量Y 2.4 2 4 5 5.5 若变量Y与X之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的线性回归方程为Y=0.81X+1.57,则下 列说法正确的是() A.m=3.1 B.样本相关系数r<0 C.据该模型可以预测12月份的销量为11.29千辆D.变量X每增加1，变量Y增加0.81 11.电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的常用电池有锂电池与铅酸电池两种.某 公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性 市民中偏好铅酸电池电动车的占 ,并得到下表.则下列说法正确的是（) 偏好情况 性别 偏好锂电池电动车 偏好铅酸电池电动车 男性 200 100 女性 d b A.b-a=40 B.该市大约有65%的市民偏好锂电池电动车 C.有95%的把握认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关 D.若采用分层随机抽样的方法从偏好锂电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取 2人进行座谈，则有女性市民参加座谈的概率为 2 第二部分（非选择题共92分） 三、壤空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知变量r与x线性相关。山样本点，)=：-L234列求得的线任曰白方程为-兮+反， 若点(x,y)在回归直线上，且为=2，则∑y=· 13.近五年来某草原羊只数量与草地植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示： 年份 1 2 3 羊只数量/万只 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7 草地植被指数 60 50 40L 30 ● 2 10 ●， 0.511.5羊只数量/万只 若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据(1.4,1.1)后得到的相关系数为5，则 2(填≥，≤，<，>) 14.下列说法中正确的是 ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变： ②设有一个线性回归方程=3-5x,变量x增加1个单位时，)平均增加5个单位： ③设具有相关关系的两个变量x、y的相关系数为”，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强： ④在一个2×2列联表中，由计算得x的值，则x的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解窖应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降1.4%，环比下降0.1%.某企业在了解 市场动态之后，决定根据市场动态及时做出相应调整，并结合企业自身的情况制定相应的出厂价格.该 企业统计了2019年1一10月份产品的生产数量x与销售总额y之间的关系，如下表所示. x/万件 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 y/万元 42.5 43.7 44.0 45.5 46.4 47.5 49.2 50.3 51.4 52.6 (1)计算x,下的值： (2)计算样本相关系数r的值，并通过r的值的大小说明y与x之间的相关程度. 16.(15分)某公司销售的3D卡通纪念章很受欢迎，国庆长假第一天每件售价为20元，卖出了100百件 为了缓解进货压力，同时保证销售额不下降，决定从第二天起开始涨价根据往年的市场调研得出的规律， 该种商品涨价会导致销量下降，具体数据如下： 每件涨价x元 2 3 5 销量下降y百 2 8 14 15 件 ()由统计表看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试建立y与x的回归方程 (2)由(1)中的回归方程预测，当售价为多少元时，该款商品的日销售额最大，最大销售额是多少百元？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(x,y)(i=1,2,,),其经验回归直线)=r+à的斜率和截 审的最小三估计公式分别为6三-可） a=y-bx 2x-对 17.(15分)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区随机抽取200人进行调查， 得到如下列联表： 日均体育锻炼时长t(单位：小时) 学业成绩 [1,2) 其它 合计 优秀 40 60 100 不优秀 25 75 100 合计 65 135 200 (1)记学业成绩优秀的学生中日均体育锻炼时长为1至2小时的概率为P,给出p的估计值； (2)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时有关？ n(ad-be)2 附：X2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(x2≥k) 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 18.(17分)某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确 率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本 输出一个“AI生成概率”得分y(分)y与文本长度x(字)可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归 方程为y=bx+0.95,且x=480,y=0.35,已知该平台中15%的文本由AI生成。 (1)求回归系数b: (2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）： (3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）： 检测结果 文本真实性 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 依据小概率值=0.01的x独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性有差异？ 参考公式：X n(ad-be)' (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 提示：x独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19.(17分)某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划， 该研发团队需要了解年研发资金投入X(单位：亿元)对年销售额Y(单位：亿元)的影响.结合近12 年的年研发资金投入X和年销售额Y,该团队建立了两个函数模型：①Y=α+BX,②y=er#,其中 a,B,,t均为常数，e为自然对数的底数.经对数据的初步处理，得到散点图如图.令4=x2, y=1ny(i=1,2,,12),计算得到如下数据 x y 6野 总6-时 $-g可 20 66 770 200 14 u a时 c-可 空a-w-可 460 4.20 3125000 0.308 21500 y/亿元 80 75 70 65 60 01015202530x/亿元 (1)设变量U和变量Y的样本相关系数为，变量X和变量V的样本相关系数为2，请从样本相关系数的 角度，选择一个Y与X相关性较强的模型， (2)(i)根据(1)的选择及表中数据，建立Y关于X的回归方程（系数精确到0.01)： ()若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入. 附：√237.16=15.4，e4382≈80.