(九)成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、独立性检验- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(湘教版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (九)成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、 独立性检验 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.下列各关系不属于相关关系的是 A.农作物的亩产量与施肥量 B.圆台的表面积与体积 C.家庭的支出与收入 D.人的年龄与身高 2.某课外兴趣小组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对 样本观测数据的分类统计结果，并计算得出x≈6.816，经查阅P(x2≥6.635)≈ 0.01,则下列判断正确的是 A.若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率约为0.01 B.每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生 C.至少有99%的把握认为数学成绩优秀与性别有关 D.没有99%的把握认为数学成绩优秀与性别有关 3.变量x与y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变 量u与v相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表 示变量y与x之间的相关系数，r2表示变量v与u之间的相关系数，则 A.r2<0<r1 B.0<r2<r1 C.r2<r1<0 D.n=re 4.如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图， 人口数（单位：万人） 100000 90000 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 2015201620172018201920202021202220232024 。一城镇人口·-●-·乡村人口 根据该折线图，下列说法错误的是 A.城镇人口与年份呈现正相关 B.乡村人口与年份的相关系数r接近1 C.城镇人口逐年增长率大致相同 D.可预测乡村人口仍呈现下降趋势 数学（湘教版）选择性必修第二册第1页（共8页） 衡水金卷·先享题· 5.某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示 (单位：人)： 每年体检 每年未体检 合计 老年人 a 7 年轻人 6 b d 合计 f 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是 A.a=18 B.b=19 C.c+e=49 D.e-f=2 6.3月30日，中华一家亲·2025海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福 建省第十二届“三月三”畲族文化周活动在福州启动.海峡两岸各民族同胞齐聚于此， 与当地群众共同欢庆“三月三”，畅两岸情.在活动现场，为了解不同时段的入口游 客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时 反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据(i,y:),其中i=1,2,3,4,5,y为第i次入口 人流量数据（单位：百人），由此得到y关于i的回归方程y=blog2(i十1)十5，已知y 9,根据回归方程，估计下午4点时入口游客的人流量为（参考数据：1og23≈1.6,1og25 ≈2.3) A.9.6 B.11.0 C.11.3 D.12.0 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下表是某品牌新能源汽车2024年10月至2025年2月的月销售数据： 10月 11月 12月 1月 2月 月份代码x 1 2 4 5 月销量y(万辆) 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得y关于x的回归直线方程为y=0.24x十α，则下列结论正确的是 A.y与x正相关 B.a=4.68 C.2025年3月的月销量一定不少于6.12万辆 D.这5个月的月销量的第75百分位数为5.7 高二同步周测卷九 数学（湘教版）选择性必修第二册第2页（共8页） 8.为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于170cm的关联性，研究小组从该 校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列 联表（单位：人）： 低于170cm 不低于170cm 合计 女生 140 60 200 男生 120 180 300 合计 260 240 500 小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有 数据都缩小为原来的。后再进行独立性检验，则下列说法正确的是 A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，甲可以认为该校高三年级学生的性别与 身高是否低于170cm有关联 B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，甲不能认为该校高三年级学生的性别与身 高是否低于170cm有关联 C.甲、乙计算出的x2值相同，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，他们得出的结 论也相同 D.甲、乙计算出的x值不同，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，他们得出的结 论也不同 n(ad-bc)? 附：x=(a+c十(ac)6+d,其中n=a+b+c+d. P(x≥x) 0.1 0.05 0.01 To 2.706 3.841 6.635 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 数学（湘教版）选择性必修第二册第3页（共8页） 衡水金卷·先享题· 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在一组样本数据(x1y1),(x2y2),…,(xn,yn)(n≥2，x1,x2,…,xm不全相等)的散点 图中，若所有样本点(x,y:)(i=1,2,3,…,n)都在直线2x十y-1=0上，则这组样本 数据的相关系数r为 10.随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引 发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否 与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数 据(10≤m≤20，m∈N*): 支持 不支持 男生 70-m 10+m 女生 50+m 30-m 通过计算至少有95%的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有 关”，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间政策的人数的最小 值为 n(ad-bc)2 附：x=(a+b)十a+c)b+dn=a+b+c+d. P(x≥xo) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Zo 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 高二同步周测卷九 数学（湘教版）选择性必修第二册第4页（共8页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 为考察某种药物M对预防疾病N的效果，进行了动物实验，根据200个有放回简单 随机样本的数据，得到的数据如下表（单位：只）： 未患疾病N 患疾病N 未服用药物M 60 40 服用药物M 80 20 (1)估计未服用药物M的动物中患疾病N的概率； (2)是否至少有99.5%的把握认为药物M对预防疾病N有效果？ 附临界值表及参考公式： P(x≥) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 To 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 n(ad-bc)2 x-(ab)(cid)(ac)(bd)n-atbic+d. 数学（湘教版）选择性必修第二册第5页（共8页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 近年来，共享单车行业在我国各城市迅猛发展，单车为人们的出行提供了便利，但也 给城市的交通管理带来了一些困难.为掌握共享单车在某省的发展情况，某调查机 构从该省随机抽取了5个城市，并统计了共享单车的A指标x和B指标y,数据如 下表所示： 城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 A指标x 2 4 5 6 8 B指标y 3 4 (1)试求y与x间的相关系数r,说明这两个变量之间的相关程度（结果保留两位小 数，若r>0.8,则认为y与x高度相关)； (2)建立y关于x的回归直线方程，并估计当A指标为7时，B指标的值； (3)若某城市的共享单车的A指标x在区间(x一3s,x十3s)的右侧，则认为该城市 共享单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响，交通管理部门将进行治理，直 至A指标x在区间(x一3s,x十3s)内.现已知该省某城市共享单车的A指标为13， 则该城市的交通管理部门是否需要进行治理？试说明理由. 参考公式：回归直线方程y=x十ā中，斜率和截距的最小二乘估计分别为 ∑(x-x)(y- ,a=y-证，相关系数r ∑(x,-x)月 2x-)√2w- 参考数据：s=, 5x-z=2,0.3≈0.55,0.9≈08 高二同步周测卷九 数学（湘教版）选择性必修第二册第6页（共8页） 13.（本小题满分20分) 2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大批游客前来旅 游.2024年底，第二十六届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次 邀请广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天 都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客 大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量.现有开 放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下： 滑道数量x 11 12 13 14 15 平均等待时间y(分钟) 88 81 75 70 66 (1)通过回归分析，可以利用模型y=lnx十a对y与x的关系进行拟合.利用表中 数据，求出y关于x的回归方程，并依据该模型估计，为了让游客的平均等待时间不 超过40分钟，至少应开放多少条滑道？ (2)园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目每个项目的平均排队时间为60分钟， 冰雪世界等4个VR体验项目每个项目的平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等3 个项目每个项目的平均排队时间为30分钟.由于天气原因，小红决定选择其中的3 个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120分钟的概率； 数学（湘教版）选择性必修第二册第7页（共8页） 衡水金卷·先享题· (3)为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖 方式可供选择： 方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%； 方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中， 那么下一次中奖的概率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复 到20%. 为使三人中奖次数的期望最大，应选择哪种抽奖方式？ 附：对于一组数据(x1,y),(x2y2),…,(xm,yn),其回归直线方程y=ix十a的斜率 ∑(x,-x)(-y) 和截距的最小二乘估计分别为：= i= ,a=y-证. x- 参考数据：设6=lnxx=13,i≈2.56，y=76,∑xy:=4885,∑ty:≈968， i=1 5=1 2(x-2=10,-i≈0.06，e2m≈18.4，e≈20.3，e"≈2.4 高二同步周测卷九 数学（湘教版）选择性必修第二册第8页（共8页）高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（九） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) ① ②③④ ⑦ 档次系数 1 选择题 5 相关关系的判断 易 0.95 2 选择题 5 对独立性检验的理解 易 0.85 3 选择题 5 相关系数的比较 易 0.82 4 选择题 5 折线图与回归分析 易 0.80 5 选择题 5 列联表中的相关计算 / 分 0.65 非线性回归问题与对 6 选择题 / 多 0.40 数函数的综合 7 选择题 6 线性回归性质的综合 易 0.70 两个独立性检验间的 8 选择题 0.55 关系 L 9 填空题 5 求相关系数 易 0.90 10 独立性检验与不等式 填空题 5 / 中 0.45 的综合 解答题 13 用频率估计概率，独立 易 性检验 0.72 12 解答题 15 线性回归 浓 0.45 13 解答题 20 非线性回归 0.35 叁考答案及解析 一、选择题 数学成绩优秀与性别无关.因为x≈6.816>6.635， 1.B【解析】ACD均为相关关系，B为函数关系.故 所以至少有99%的把握认为数学成绩优秀与性别有 选B. 关，故C正确，D错误.故选C. 2.C【解析】若某人数学成绩优秀，由已知数据不能判 3.A【解析】由变量x与y相对应的一组数据为 断他为男生的概率，故A错误；每100个数学成绩优 (10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5), 秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，由已 可得变量y与x正相关，所以r>0.而由变量u与v 知数据不能确定结论，故B错误；提出统计假设H。: 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)， ·87· ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 (12.5,2),(13,1),可知变量与u负相关，所以： 三、填空题 r2<0,所以r1与r2的大小关系是%<0<r1,故 9.一1【解析】：直线2x十y一1=0的斜率k=一2< 选A. 0,.这两个变量负相关，.r<0,又所有样本点都在 4.B【解析】对于A,城镇人口与年份呈现上升趋势， 直线2x十y-1=0上，.r=-1. 所以城镇人口与年份正相关，A正确；对于B,乡村人 10.66【解析】因为至少有95%的把握认为“支持增加 口与年份呈现下降趋势，且比较均匀的分布在直线的 中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，所以 两侧，所以乡村人口与年份的相关系数r接近一1，B 160×[(70-m)(30-)-(10十)(50+m)] 错误；对于C,城镇人口与年份呈现上升趋势，且比较 80×80×120×40 均匀的分布在直线的两侧，所以城镇人口逐年增长率 >3.841,即(m-10)2>28.8075,因为函数y= 大致相同，C正确：对于D,由选项B可预测乡村人口 (m-10)2在[10,20]上单调递增，且m∈N·, 仍呈现下降趋势，D正确.故选B. (15-10)2<28.8075,(16-10)>28.8075,所以 5.D【解析】因为抽取的村民中，老年人有25名，年轻 的最小值为16，所以在这被调查的80名女生中 人有25名，所以c=25,d=25,所以a=25-7=18,b= 支持增加中学生体育锻炼时间政策的人数的最小值 25-6=19,e=a+6=18+6=24,f=7+b=7+19=26, 为50+16=66 则c十e=49,e-f=24-26=-2,D错误.故选D. 四、解答题 6.C【解析】令=1og(i十1)，则=日(1og2十 11.解：(1)由列联表知，未服用药物M的动物有100 只，其中患疾病N的有40只， 1 log:3+log:4 log:5+log:6)=(4 loga5+ 所以估计未服用药物M的动物中患疾病N的概率 2log23),又y=9,由y=b·之十5，得6= 为品=号 (7分) 9-5. 20 40 (2)提出统计假设H。:药物M对预防疾病V没有 行(4+1og5+21og,3) 什29十2=智则少 效果. 智：(+1)十5，下车4点时对应的是=7，可得 由列联表可得2= 200×(20×60-40×80)2 200 140×60×100×100 21 ≈9.524， =智og:8+5≈13.故选C 由于7.879<9.524<10.828， (11分) 二、选择题 所以至少有99.5%的把握认为药物M对预防疾病 7.ABD【解析】对于A,由回归直线方程可知6=0.24 N有效果. (13分) >0,所以y与x正相关，所以A正确；对于B,因为 12.解：(1)由题表得x= 2+4+5+6+8 5 =5,y= =号×1+2+3+4+5)=3，=号×(4.9+5.1 3十4+4+4十5=4. (2分) +5.5+5.7+5.8)=5.4,所以5.4=0.24×3+a,得 5 a=4.68,所以B正确；对于C,由选项B可知回归直 ∑x,y:=2×3+4×4+5×4+6×4+8×5= 线方程为y=0.24x+4.68,若x=6,则y=0.24×6 十4.68=6.12，所以估计2025年3月的汽车销量约 106, 为6.12万辆，而不是不少于6.12万辆，所以C错误； 所以∑(x-x)2=5x2=20, 对于D,因为5×75%=3.75，所以各月销量4.9， 5.1,5.5,5.7,5.8的第75百分位数为5.7，所以D正 确.故选ABD. 8.AD【解析】提出统计假设H,:该校高三年级学生 +5y=∑xy,-5x·y-5·y+5x·y 的性别与身高是否低于170cm没有关联，对于甲，有 X-50×040X180-120X60 -≈43.269>6.635， = 260×240×200×300 ∑，-a=5 即在犯错误的概率不超过0.01的前提下，甲可以认 为该校高三年级学生的性别与身高是否低于170cm ∑0)=3=4)”+(4-4+(4① 有关联：对于乙，有X=50X14X18-12X6) +(4-4)2+(5-4)2=2, 26×24×20×30 所以r= 6 =V0.9≈0.95， (5分) 4.327<6.635,即在犯错误的概率不超过0.01的前 √/2ox√2 提下，乙不能认为该中学高三年级学生的性别与身高 因为0.95>0.8，所以y与x高度正相关.(6分) 是否低于170cm有关联；甲、乙计算出的x值不同， 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，他们得出的 2)l1得6=8=-0.3a=4-0.3X5=2.5, 结论也不同，故选AD. (8分) ·88· 高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 所以回归直线方程为y=0.3x十2.5. (10分) 则4个VR体验项目选取3个，或是从超级冰滑梯 当x=7时，y=0.3×7十2.5=4.6， 和雪花摩天轮中选1个，梦想大舞台等3个中选 即估计A指标为7时，B指标为4.6. (12分) 2个， (3)该城市的交通管理部门需要进行治理 则P(A)-七eC=品 C (11分) 理由如下： 由题意得(x-3s,x十3s)=(-1,11), (3)方式①：设中奖次数为X,则X~B(3,0.3), 因为13>11，所以该城市的交通管理部门需要进行 E(X)=0.9. (13分) 治理。 (15分) 方式②：设中奖次数为Y, 13.解：(1)设t=lnx, Y的可能取值为0,1,2,3， 则P(Y=0)=0.8×0.7×0.6=0.336, 包4)（场 ∑4y,-5iy P(Y=1)=0.2×0.8×0.7+0.8×0.3×0.8+0.8 则6= 2= ×0.7×0.4=0.528, ∑6-) (t-t) P(Y=2)=0.2×0.2×0.8+0.2×0.8×0.3+0.8 968-5×2.56×76 =-80, ×0.3×0.2=0.128, 0.06 (3分) P(Y=3)=0.2×0.2×0.2=0.008, a=y-it=280.8, (4分) .E(Y)=0×0.336+1×0.528+2×0.128+3× .y=-80lnx+280.8, (5分) 0.008=0.808, 令y≤40，则lnx≥3.01，x≥e.1≈20.3， E(X)>E(Y), .至少应开放21条滑道. (7分) 选方式①. (2)设事件A=“小红排队时间总和恰为120分钟”， ·89·