第5章 概率 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

湘教版高中数学必修第二册 第五章：概率 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第五章：概率 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 2．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．恰有1名女生与恰有2名女生 C．至少有1名女生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 3．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 4．已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则（   ） A．0.06 B．0.5 C．0.6 D．0.7 5．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 x 14 15 13 12 9 第三组的频数和频率分别是（    ） A．14和0.14 B．0.14和14 C．和0.14 D．和 6．太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为（    ） A． B． C． D． 7．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（    ） A． B． C． D． 8．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P（A）=0.65 ,P(B)=0.2，,P(C)=0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（    ） A．0.35 B．0.65 C．0.7 D．0.3 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法不正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件 B．若A，B为两个事件，则 C．若事件A，B，C两两互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 10．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成这五组），则下列结论正确的是（    ） A．直方图中 B．此次比赛得分不及格的共有40人 C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5 D．这100名参赛者得分的中位数为65 11．有两个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了游戏对双方都公平，下列获胜规则正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上时甲获胜，所确定的点在直线上时乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15时甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．甲和乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为 . 13．甲乙丙三位同学之间相互踢毽子．假设他们相互间传递毽子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，毽子传到丙处的概率为 ． 14．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，恰有一人命中的概率是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用表示结果，其中表示第1颗正四面体玩具出现的点数，表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：（以下各小题先回答基本事件数目，再具体作答） (1)试验的基本事件； (2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件； (3)事件“出现点数相等”包含的基本事件. 16．（15分）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 17．（15分）本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图． (1)若数据分布均匀， 用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率； (2)现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[180， 190)中样本的均值为184 厘米，方差为16，试求这80人的方差. 18．（17分）多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． (1)考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； (2)现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 19．（17分）在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组.    (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学必修第二册 第五章：橛率单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)必修第二册第五章：概率 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.下列各项中，属于随机事件的是() A.若正方形边长为a,则正方形的面积为a2 B.在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C.在一个标准大气压下，温度达到80C时水会沸腾 D.抛掷一枚硬币，反面向上 2.某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个 事件是() A.至少有1名女生与全是女生 B.恰有1名女生与恰有2名女生 C.至少有1名女生与全是男生 D.至少有1名女生与至多有1名男生 3.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是() A. B月 C. D含 4.已知A,B,C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且P(A)=0.1，P(C)=0.4, 则P(AUB)=() A.0.06 B.0.5 C.0.6 D.0.7 5.容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表： 组号 y 2 6 P 频数 10 13 14 15 13 12 第三组的频数和频率分别是() A.14和0.14 B.0.14和14 C和014 n4 6.太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出 舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验：若实验成功，则终止实验， 已知甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为 寻子行人出能实随能清成功相互 独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为() B.0 7 c. 37 D.39 40 40 口。某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是？号，，则 汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为() A司 B.g 3 c. 7 D8 8.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品)，事件B={抽到二等品)，事 件C={抽到三等品}，且已知P(A)=0.65,P(B)-0.2,,P(C=0.1,则事件“抽到的不是一等 品的概率为() A.0.35 B.0.65 C.0.7 D.0.3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法不正确的是() A.若A,B为两个事件，则A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件 B.若A,B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B) C.若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1 D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B相互对立 10.某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的 得分都在[40,90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分 分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]这五组)，则下列结论正确的是（) 频率 组距 0.035 0.030 0.020 0.010 a 0 405060708090 得分/分 A.直方图中 a=0.005 B.此次比赛得分不及格的共有40人 C.以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在 [60，80) 的概率为0.5 D.这100名参赛者得分的中位数为65 11.有两个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1 ， 2，3，4，第二个信封内的四张 卡片上分别写有5，6，7，8， 甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随 机抽取一张卡片，得到两个数.为了游戏对双方都公平，下列获胜规则正确的是() A.第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的 点在直线 y=x+4 上时甲获胜，所确定的点在直线 y=-x+8 上时乙获胜 B.取出的两个数乘积不大于15时甲获胜，否则乙获胜 C.取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高 的人获胜 D.取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.甲和乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9 则甲、乙和棋的概率 为 13.甲乙丙三位同学之间相互踢毽子.假设他们相互间传递毽子是等可能的，并且由甲开始 传，则经过3次传递后，毽子传到丙处的概率为. 14.甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为 $$\frac { 4 } { 5 } ，$$ 乙同学一次投篮 命中的概率为 $$\frac { 1 } { 3 } ，$$ ，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，恰有一人命 中的概率是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这 两颗正四面体玩具的试验：用(x,y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数， y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：（以下各小题先回答基本事件数目，再具体 作答) (1)试验的基本事件： (2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件； (3)事件“出现点数相等包含的基本事件。 16.(15分)一个袋子中有5个球，其中n(1≤n≤5，n∈Z)个红球，其余为绿球，采用不放 回方式从中依次随机地取出2个球. (1)若n=3,求第二次取到红球的概率； (②)若取出的2个球都是红球的概率为3 910,求n. 17.(15分)本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直 方图. 频率 组距 0.027 0.025 0.022 0.01-…-- 0.001- 0150160170180190200210身高/厘米 (1)若数据分布均匀，用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180 厘米的概率； (2)现从身高在区间[170,190)的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间 [170,180)中样本的均值为176厘米，方差为10：身高在区间[180,190)中样本的均值为184 厘米，方差为16，试求这80人的方差 18.(17分)多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从A,B,C,D四个选项中选 出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确 选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分)，有选错的得0分. (1)考生甲有一道答案为ABD的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求 他本题至少得2分的概率： (②现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为 得3分的概率为：每道思考生丙得6分的概率为}，得3分的概率为分，乙，丙二人答题 互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18 分的概率. 19.(17分)在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制赢得了许多赛事的青睐.传统 的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败 了两场才会淘汰出局，因此更有容错率假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛 制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠 军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜 者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜 者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程 图如图所示).双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即 总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到 冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单 研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为A,B,C,D，,其中A对阵其他三个队伍时获胜的概 率均为p(0<p<),另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为子，最初分组时，A,B同 组，C,D同组 第一轮 第二轮 第三轮 A A/B胜 B 胜者组 晋级名额] D CD胜者 第二轮胜者组败者 败者组A/B败者 晋级名额① C/D败者 第二轮败者组胜者 双败赛制流程图 3 (1)诺卫=年在淘汰赛赛制下，4，C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用P表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影 响，是否如很多人质疑的对强者不公平？ 湘教版高中数学必修第二册 第五章：概率 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第五章：概率 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【答案】D 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义即可一一判断. 【详解】对于A，若正方形边长为，由面积公式可知其面积为，这是必然事件，故A不合题意； 对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意； 对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾，当温度是时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意； 对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D符合题意. 故选：D. 2．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．恰有1名女生与恰有2名女生 C．至少有1名女生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 【答案】B 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念逐项判断可得结果. 【详解】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女. A. “至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，与“全是女生”可以同时发生，不是互斥事件，A错误. B.“恰有1名女生” 表示一男一女，与“恰有2名女生”不可能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件，B正确. C.“至少有1名女生”与“全是男生”是互斥事件也是对立事件，C错误. D.“至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，“至多有1名男生” 包含的基本情况有：两女、一男一女，可以同时发生，不是互斥事件，D错误. 故选：B. 3．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由列举法求解古典概型概率问题即可. 【详解】画出树状图：    甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为．故选：B. 4．已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则（   ） A．0.06 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【分析】根据对立事件和互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】因为B与C互为对立，，所以， 因为A与B互斥，所以.故选：D. 5．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 x 14 15 13 12 9 第三组的频数和频率分别是（    ） A．14和0.14 B．0.14和14 C．和0.14 D．和 【答案】A 【分析】根据所给数据结合频率的含义直接计算，即得答案. 【详解】第三组的频数，频率为， 故选：A 6．太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】因为甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立， 若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为.故选：D. 7．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把汽车在三处遇两次绿灯的事件M分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解. 【详解】汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A，B，C，则， 汽车在三处遇两次绿灯的事件M，则，且，，互斥，而事件A，B，C相互独立， 则， 所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为.故选：D 8．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P（A）=0.65 ,P(B)=0.2，,P(C)=0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（    ） A．0.35 B．0.65 C．0.7 D．0.3 【答案】A 【分析】直接根据对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为事件“抽到的不是一等品”是事件A=｛抽到一等品｝的对立事件， 而P（A）=0.65 ,所以，故选：A. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法不正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件 B．若A，B为两个事件，则 C．若事件A，B，C两两互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【答案】BCD 【分析】A. “A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确； B. ,所以该选项错误； C. 举反例说明不一定成立，所以该选项错误； D. 举反例说明A与B不对立，所以该选项错误. 【详解】解：A. 若A，B为两个事件，“A与B互斥”则“A与B不一定相互对立”； “A与B相互对立”则“A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；B. 若A，B为两个事件，则,所以该选项错误； C. 若事件A，B，C两两互斥，则不一定成立，如：掷骰子一次，记向上的点数为1，向上的点数为2，向上的点数为3，事件A，B，C两两互斥，则.所以该选项错误； D. 抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，所以该选项错误.故选：BCD 10．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成这五组），则下列结论正确的是（    ） A．直方图中 B．此次比赛得分不及格的共有40人 C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5 D．这100名参赛者得分的中位数为65 【答案】ABC 【分析】由频率和为1求参数a，判断A；由直方图求60分以下的人数、求的频率判断B、C；由中位数的性质求中位数即可判断D. 【详解】因为，所以，所以A正确； 因为不及格的人数为，所以B正确； 因为得分在的频率为，所以从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5，所以C正确； 这100名参赛者得分的中位数为，所以D错误．故选：ABC. 11．有两个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了游戏对双方都公平，下列获胜规则正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上时甲获胜，所确定的点在直线上时乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15时甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 【答案】BCD 【分析】根据题意，列出树状图，根据各项规则列出对应情况判断是否公平即可. 【详解】画树状图如下：    A错，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中所确定的点在直线上的有（1，5），（2，6），（3，7），（4，8），共4个样本点， 所确定的点在直线上的点有（1，7），（2，6），（3，5），共3个样本点， 故两种情况下的样本点个数不一样，即两种情况下概率不一样． B对，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中两个数乘积大于15的有（2，8），（3，6），（3，7），（3，8），（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），共8种， 则两个数乘积不大于15的也有8种，故两种情况下的样本点个数一样，即两种情况下概率一样． C对，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中取出的两个数乘积不小于20的有（3，7），（3，8），（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），共6种，则取出的两个数乘积小于20的有10种，． D对，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中取出的两个数相加和为奇数的有（1，6），（1，8），（2，5），（2，7），（3，6），（3，8），（4，5），（4，7），共8种，则取出的两个数相加和为偶数的有8种，故两种情况下的样本点个数一样，即两种情况下概率一样．故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．甲和乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为 . 【答案】 【分析】利用互斥事件概率加法公式直接进行求解 【详解】甲和乙下中国象棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为， 甲乙和棋的概率为：故答案为：. 13．甲乙丙三位同学之间相互踢毽子．假设他们相互间传递毽子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，毽子传到丙处的概率为 ． 【答案】/0.375 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概型的概率. 【详解】设甲乙丙分别为，毽子由甲开始传，经过3次传递后的所有可能结果如树状图： 3次传递后的基本事件是种，毽子传到丙处的事件含有基本事件数是3种， 所以经过3次传递后，毽子传到丙处的概率.故答案为：. 14．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，恰有一人命中的概率是 ． 【答案】 【分析】根据互斥事件与独立事件的概率运算公式求解即可得所求事件的概率. 【详解】设A，B分别表示事件“一次投篮中甲命中”和“一次投篮中乙命中” 所以，则恰有一人命中的概率为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用表示结果，其中表示第1颗正四面体玩具出现的点数，表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：（以下各小题先回答基本事件数目，再具体作答） (1)试验的基本事件； (2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件； (3)事件“出现点数相等”包含的基本事件. 【答案】(1)16个，答案见解析； (2)13个，答案见解析； (3)4个，答案见解析. 【分析】（1）（2）（3）用列举法列出所对应的基本事件即可. 【详解】（1）解：这个试验的基本事件一共有个，分别为： ，，，，，，，， ，，，，，，，. （2）解：事件“出现点数之和大于3”包含以下个基本事件： ，，，，，，，，，，，，. （3）解：事件“出现点数相等”包含以下个基本事件：，，，. 16．（15分）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）写出所有样本点，根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据古典概型公式得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ，共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则，于是， 即第二次取到红球的概率为. （2）两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为，即，解得． 17．（15分）本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图． (1)若数据分布均匀， 用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率； (2)现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[180， 190)中样本的均值为184 厘米，方差为16，试求这80人的方差. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先由频率分布直方图中每组的频率之和等于1求出的值，再对身高不低于180厘米的各个小组的频率进行累加即得； （2）由分层抽样确定两个组别分别抽取的人数，设出两组的样本，计算出所抽取的80人的身高总样本的均值，化简总样本方差公式，将数据代入计算即得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：解得 则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率为. （2）由于身高在区间，的人数之比为，所以分层抽样抽取80人，区间，内抽取的人数分别为50人与30人． 设在区间中抽取的50个样本为，其均值为176，方差为，即． 设区间中抽取的30个样本为．其均值为，方差为，即； 所以这80人身高的均值为． 从而这80人身高的方差为 因此，这80人身高的方差为 18．（17分）多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． (1)考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； (2)现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设相应事件，利用列举法结合古典概型运算求解； （2）分析得分刚好得18分的可能性情况，根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式运算求解. 【详解】（1）甲同学所有可能的选择答案有14种：，，，，，，，，，，，，，， 设事件表示“猜对本题至少得2分”， 则，有7个样本点，所以. （2）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，乙丙总分刚好得18分的情况包含： 事件E：乙得12分有一种情况，丙得6分有，，三种情况， 则， 事件F：乙得9分有，两种情况，丙得9分有，两种情况， 则 事件G：乙得6分有，，三种情况，丙得12分有一种情况， 则， 故乙丙总分刚好得18分的概率. 19．（17分）在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组.    (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)获得冠军的概率为，获得冠军的概率为. (2)在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为；在“双败赛制”赛制下，获得冠军的概率为；双败赛制对强者更有利 【分析】（1）利用独立事件的概率公式进行求解即可； （2）首先利用独立事件的概率公式分别求出两种赛制下获得冠军的概率，再利用作差法比较大小即可. 【详解】（1）结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为. 结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为. （2）在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为. 在“双败赛制”赛制下，讨论进入胜者组､败者组两种情况： 当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军，此时获得冠军的概率为； 当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军，此时获得冠军的概率为. 综上，获得冠军的概率为. 令， 则， 由得.若A为强队，则，此时. 即，所以.所以双败赛制对强者更有利. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学必修第二册 第五章：橛率单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)必修第二册第五章：概率 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.下列各项中，属于随机事件的是() A.若正方形边长为a,则正方形的面积为a2 B.在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C.在一个标准大气压下，温度达到80C时水会沸腾 D.抛掷一枚硬币，反面向上 【答案】D 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义即可一一判断. 【详解】对于A,若正方形边长为a,由面积公式可知其面积为a2,这是必然事件，故A 不合题意： 对于B,真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件， 故B不合题意： 对于C,在一个标准大气压下，只有温度达到100C,水才会沸腾，当温度是80C时，水不 会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意： 对于D,地掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件，故D符 合题意 故选：D 2.某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个 事件是() A.至少有1名女生与全是女生 B.恰有1名女生与恰有2名女生 C.至少有1名女生与全是男生 D.至少有1名女生与至多有1名男生 【答案】B 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念逐项判断可得结果。 【详解】“从中任选2名同学参加比赛所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女 A.“至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，与“全是女生”可以同时发生，不 是互斥事件，A错误。 B“恰有1名女生”表示一男一女，与“恰有2名女生”不可能同时发生，是互斥事件，但不 是对立事件，B正确 C.“至少有1名女生与“全是男生”是互斥事件也是对立事件，C错误 D.“至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，“至多有1名男生”包含的基本 情况有：两女、一男一女，可以同时发生，不是互斥事件，D错误 故选：B 3.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是() A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【分析】由列举法求解古典概型概率问题即可. 【详解】画出树状图： 甲 乙 丙 丁 甲 丙 ∧∧ ∧ 内两子王2 丙丁甲丁甲丙 ,丙乙 丁丙丁甲丙甲 丙 丁 甲乙 甲乙 丙 ∧∧ ∧Λ∧ 乙丁甲丁甲乙 乙丙甲丙甲乙 丁乙丁甲乙甲 丙乙丙甲乙甲 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共 有8种，所以所求概率为 故选：B 4.已知A,B,C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且P(A)=0.1,P(C)=0.4, 则P(AUB)=() A.0.06 B.0.5 C.0.6 D.0.7 【答案】D 【分析】根据对立事件和互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】因为B与C互为对立，P(C)=0.4,所以P(B)=1-P(C)=0.6, 因为A与B互斥，所以P(AUB)=P(A)+P(B)=0.7.故选：D 5.容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表： 组号 3 6 P 频数 10 13 14 15 13 12 第三组的频数和频率分别是() A.14和0.14 B.0.14和14 C. 1 14 和0.14 D.3 【答案】A 【分析】根据所给数据结合频率的含义直接计算，即得答案 【详解】第三组的频数x=100-10+13+14+15+13+12+9)=100-86=14,频率为 4=0.14, 00 故选：A 6.太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出 舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验：若实验成功，则终止实验 已知甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为10、？，每人出舱实验能否成功相互 独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为() 37 39 B.10 C. D. 40 40 【答案】D 【分析】利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率。 【详解】因为甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为 子、子每人出验实验能古 成功相互独立， 若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为 P=1--)--引碧赖随：D 112 7。某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是2了，则 汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为() 1 1 > A.9 B. 6 D. 18 【答案】D 【分析】把汽车在三处遇两次绿灯的事件M分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、 对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解 【详解汽车在甲，乙~丙三处透绿灯的事件分别记为A4BC,则P)号P)-专PO-号 汽车在三处遇两次绿灯的事件M,则M=ABC+ABC+ABC,且ABC,ABC,ABC互斥， 而事件A,B,C相互独立， 则00=PuO+M-0=子0-争+a-主子0-子g 所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为8故选：D 8.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品，事 件C={抽到三等品}，且己知P(A)=0.65,P(B)0.2,,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等 品的概率为() A.0.35 B.0.65 C.0.7 D.0.3 【答案】A 【分析】直接根据对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为事件抽到的不是一等品”是事件A={抽到一等品}的对立事件A, 而P(A)=0.65,所以P(A)=1-P(A)=1-0.65=0.35,故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法不正确的是() A.若A,B为两个事件，则A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件 B.若A,B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B) C.若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1 D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B相互对立 【答案】BCD 【分析】A.“A与B互斥”是“A与B相互对立的必要不充分条件，所以该选项正确： B.P(A+B)=P(A)+PB)P4∩B),所以该选项错误： C.举反例说明P(A)+P(B)+P(C)=1不一定成立，所以该选项错误： D.举反例说明A与B不对立，所以该选项错误 【详解】解：A.若A,B为两个事件，A与B互斥则A与B不一定相互对立”；“A与B 相互对立”则A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该 选项正确：B.若A,B为两个事件，则P(A+B)=P(4)+PB)P4∩B),所以该选项错误； C.若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1不一定成立，如：掷骰子一次，记 A=向上的点数为1，B=向上的点数为2，C=向上的点数为3，事件A,B,C两两互斥， 则P)rP(+9-后合所以该选项错误 D.抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是；，掷一枚硬币，正面向上的概率是；， 满足P(A)+P(B)=1,但是A与B不对立，所以该选项错误故选：BCD 10.某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的 得分都在[40,90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分 分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]这五组)，则下列结论正确的是() 人频率 组距 0.035 0.030 0.020 0.010 405060708090得分分 A.直方图中a=0.005 B.此次比赛得分不及格的共有40人 C.以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5 D.这100名参赛者得分的中位数为65 【答案】ABC 【分析】由频率和为1求参数a,判断A;由直方图求60分以下的人数、求[60,80)的频率 判断B、C:由中位数的性质求中位数即可判断D, 【详解】因为(a+0.01+0.02+0.03+0.035)×10=1,所以a=0.005,所以A正确： 因为不及格的人数为100×(0.005+0.035)×10=40，所以B正确： 因为得分在[60,80)的频率为(0.03+0.02)×10=0.5，所以从这100名参赛者中随机选取1人， 其得分在[60,80)的概率为0.5，所以C正确： 这100名参赛者得分的中位数为60+01+65，所以D错误.故选：ABC 0.03 11.有两个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1,2,3,4，第二个信封内的四张 卡片上分别写有5,6,7,8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随 机抽取一张卡片，得到两个数.为了游戏对双方都公平，下列获胜规则正确的是() A.第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的 点在直线y=x+4上时甲获胜，所确定的点在直线y=-x+8上时乙获胜 B.取出的两个数乘积不大于15时甲获胜，否则乙获胜 C.取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高 的人获胜 D.取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 【答案】BCD 【分析】根据题意，列出树状图，根据各项规则列出对应情况判断是否公平即可。 【详解】画树状图如下： 开始 678 678567856 A错，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中所确定的点在直线y=x+4上的有(1,5)，(2,6)，(3,7)，(4,8)，共4个样本点， 所确定的点在直线y=-x+8上的点有(1,7)，(2,6)，(3,5)，共3个样本点， 故两种情况下的样本点个数不一样，即两种情况下概率不一样， B对，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中两个数乘积大于15的有(2,8)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(4,5)，(4,6)，(4,7)， (4,8),共8种， 则两个数乘积不大于15的也有8种，故两种情况下的样本点个数一样，即两种情况下概率 样。 C对，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中取出的两个数乘积不小于20的有(3,7)，(3,8)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)， 共6种，则取出的两个数乘积小于20的有10种，5×6=3×10=30。 D对，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中取出的两个数相加和为奇数的有(1,6)，(1,8)，(2,5)，(2,7)，(3,6)，(3,8)， (4,5),(4,7),共8种，则取出的两个数相加和为偶数的有8种，故两种情况下的样本 点个数一样，即两种情况下概率一样.故选：BCD, 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.甲和乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率 为 【答案】0.5 【分析】利用互斥事件概率加法公式直接进行求解 【详解】甲和乙下中国象棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9， 甲乙和棋的概率为：P=0.9-0.4-0.5故答案为：0.5 13.甲乙丙三位同学之间相互踢毽子.假设他们相互间传递键子是等可能的，并且由甲开始 传，则经过3次传递后，健子传到丙处的概率为 【俗案】0375 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概型的概率 【详解】设甲乙丙分别为1,2,3，键子由甲开始传，经过3次传递后的所有可能结果如树状 图 2 2 1 (2 1 3 2 3 3次传递后的基本事件是8种，健子传到丙处的事件含有基本事件数是3种， 所以经过3次传递后，壁子传到丙处的概率P。故答案为： 3 14.甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为；，乙同学一次投篮 命中的概率为？假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，恰有一人命 中的概率是 【容案) 【分析】根据互斥事件与独立事件的概率运算公式求解即可得所求事件的概率. 【详解】设A,B分别表示事件“一次投篮中甲命中”和一次投篮中乙命中” 所以P(d)号P)划哈有一人金中的概车为®网凡国卧写}兮 1 故答案为：5 四、解答题：本题共5小题。共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这 两颗正四面体玩具的试验：用(x,y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数， y表示第2颗正四面体玩具出现的点数试写出：（以下各小题先回答基本事件数目，再具体 作答) (1)试验的基本事件： (2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件： (3)事件“出现点数相等包含的基本事件」 【答案】(1)16个，答案见解析：(2)13个，答案见解析： (3)4个，答案见解析， 【分析】(1)(2)(3)用列举法列出所对应的基本事件即可. 【详解】(1)解：这个试验的基本事件一共有16个，分别为： 1,1),1,2),1,3),1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4,(4,1),(4,2),(4,3),(4,4) (2)解：事件“出现点数之和大于3包含以下13个基本事件： 1,3),1,4),(2,2),(2,3),(2,4),3,1),(3,2),(3,3)，(34),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4) (3)解：事件“出现点数相等包含以下4个基本事件：(1，)，(2,2)，(3,3)，(4,4) 16.(15分)一个袋子中有5个球，其中n(1≤n≤5，n∈Z)个红球，其余为绿球，采用不放 回方式从中依次随机地取出2个球. (1)若n=3,求第二次取到红球的概率； (②)若取出的2个球都是红球的概率为0，求刀 3 【答案】() (2)3. 【分析】(1)写出所有样本点，根据古典概型的计算公式即可得到答案： (2)根据古典概型公式得到方程，解出即可 【详解】(1)由题可知袋中共有5个球，记作4,42,4,4,4， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 (a,42),(4,4),(4,44)2(4,4)42,4）色2,4）乌2,44)乌，4）， (a,a),(a,a2),(a,a4)(a,a)(a,(a4,a(a4,a(a4,, (a,4),(a,4),(a,4),(a,a),共20个样本点， 记"第次取到红球"为事件A,则"第次取到绿球”为事件A, 不妨设4,42,4为红球，4，a为绿球.两次都取到红球，则(AA,)=6. 先取到绿球再取到红球，则A4)=6,于是p④=心_n4A)+n4A）3 20 20 即第二次取到红球的概率为 3 (2)两次都取到红球为事件AA,n(AA)=n(n-1) 所以两次取出红球的氨车为(44))”，即，品解得=3. 17.(15分)本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直 方图. 频率 组距 0.027- 0025----- 0.022 0.01- 0.001 0150160170180190200210身高/厘米 (1)若数据分布均匀，用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180 厘米的概率： (2)现从身高在区间[170,190)的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间 [170,180)中样本的均值为176厘米，方差为10：身高在区间[180,190)中样本的均值为184 厘米，方差为16，试求这80人的方差. 【答案】(1)0.26： (2)27.25 【分析】(1)先由频率分布直方图中每组的频率之和等于1求出x的值，再对身高不低于 180厘米的各个小组的频率进行累加即得： (2)由分层抽样确定两个组别分别抽取的人数，设出两组的样本，计算出所抽取的80人的 身高总样本的均值，化简总样本方差公式，将数据代入计算即得 【详解】(1)由频率分布直方图可得：(0.022+0.027+0.025+x+0.01+0.001)×10=1解得 x=0.015 则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率为 (0.015+0.01+0.001)×10=0.26 (2)由于身高在区间170,180)，[180,190)的人数之比为5：3，所以分层抽样抽取80人，区 间[170,180)，[180,190)内抽取的人数分别为50人与30人， 设在区间[170,180)中抽取的50个样本为x1,x2,,x0,其均值为176，方差为10，即 x=176,5=10. 设区间180,190)中抽取的30个样本为y,y2,,yo.其均值为184，方差为20，即 =184,52=16: 所以这80人身高的均值为：=50x176+30×184=179】 80 从而这80人身高的方差为 可2-+派-心-0司立-j420°门00=订 =[50+50医-广+30+30(-]=272 因此，这80人身高的方差为27.25 18.(17分)多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从A,B,C,D四个选项中选 出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确 选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分)，有选错的得0分， (1)考生甲有一道答案为ABD的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求