第22讲 解三角形必刷9大题型63题（优质好题速递）（寒假预习讲义）高一数学人教A版必修第二册

第22讲 解三角形必刷9大题型63题 不做说明默认为单选题 【题型01：正、余弦定理解三角形】 1．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．3或5 2．（24-25高一下·北京朝阳·期中）在中，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高一下·四川成都·期中）在中，已知，，，则（    ） A． B． C．3 D． 4．（24-25高一下·重庆北碚·期中）中，分别是三个内角的对边，，则最小角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角，，的对边为，，，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高一下·吉林长春·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的大小是（    ） A． B． C．3 D． 10．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则的周长为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 【题型02：三角形解的个数问题】 1．（23-24高一下·福建泉州·期中）在中，，，，则满足条件的（    ） A．不能确定 B．无解 C．有一解 D．有两解 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25高一下·陕西西安·期中）的内角的对边分别为，如果有一解，则的值不可能为（    ） A． B．7 C． D． 4．（24-25高一下·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型03：三角形面积公式】 1．（24-25高一下·广东·期中）在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（    ） A． B． C． D．3 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）记的内角的对边分别为，面积为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东聊城·期中）记的面积为S，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 6．（24-25高一下·云南昭通·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，表示的面积，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为，已知，，，求外接圆半径与内切圆半径之比为（    ） A． B． C． D． 【题型04：三角形形状的判断】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 3．（24-25高一下·山西吕梁·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 4．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 5．（24-25高一下·广东广州·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 6．（24-25高一下·四川成都·期末）设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【题型05：解三角形在实际问题中的应用】 1．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 3．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ）    A．200 m B．400 m C． D． 5．（24-25高一下·辽宁·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进80米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（   ）（，结果保留2位小数） A．80.56米 B．81.46米 C．84.32米 D．86.56米 6．（24-25高一下·山东烟台·期中）斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 7．（24-25高一下·浙江·期中）壕股塔是嘉兴著名景点，某同学为了测量壕股塔PQ的高，他在山下处测得塔尖P的仰角为，再沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，测得塔尖的仰角为，塔底的仰角为，那么壕股塔的高为（    ） A． B． C． D． 【题型06：面积、周长、边的最值问题】 1．（24-25高一下·湖北荆门·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积，求面积的最小值. 2．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 3．已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)若的面积为，求的最小值． 4．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 5．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 6．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知钝角△ABC中，. (1)若，，求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 7．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求边长的取值范围. 8．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 9．记锐角三角形的内角，，所对的边分别为，， (1)若，，求的取值范围 (2)若，，求面积的取值范围 【题型07：中线、角平分线问题】 1．（24-25高一下·四川成都·期末）（多选题）在中，，，，点为边上一动点，则（   ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角的角平分线时， 2．在中，的平分线交BC于点，若，则（   ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高一下·四川绵阳·期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（    ） A． B． C． D．4 4．（2025高一·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为 ． 5．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）在中，已知的平分线与边相交于点. (1)求证：； (2)若，，，求. 6．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，， (1)求角A的大小； (2)求周长的最大值； (3)若BC中点为D，求AD的最小值. 7．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 8．（24-25高一下·河南南阳·期末）在锐角中，设角的对边依次为，满足. (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围. 【题型08：几何图形中解三角形】 1．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（    ）    A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，角的对边分别为的面积为，且满足条件，为边上一点，，则的边长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)已知D为边上的一点，且.若，，求的长； 5．如图，在四边形中，，，平分且与相交于点． (1)若的面积为，求； (2)若，求的面积． 6．已知平面四边形中，，，. (1)若，求的长； (2)设，记四边形的周长，求的最大值. 【题型09：解三角形中的结构不良问题】 1．在中，，． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）为助力第四届湖南旅游发展大会，提高游客舒适度，岳阳政府决定新增若干休闲区域.如图，某休闲区域是四边形，其四周是步道，中间是花卉种植区域，为方便观赏，中间穿插了步道，已知，，，. (1)求步道的长； (2)若________；求花卉种植区域总面积. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 3．（24-25高一下·北京·期中）在中，． (1)求的大小； (2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，，并且______． ①； ②． 从上面两个条件中任选一个，补充在问题中，并解答下列问题． (1)求角； (2)求周长的最大值． 5．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．给出如下三个条件： ①； ②； ③； 从这三个条件中任选一个作为满足的条件，完成以下问题： (1)求角A的大小； (2)若的面积为．角A的内角平分线交边BC于D，且，试判断的形状并证明. 6．（24-25高一下·福建厦门·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从以下三个条件中任选一个，解答以下问题 ①；②；③ (1)求证：； (2)若求边长 (3)求的最小值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 解三角形必刷9大题型63题 不做说明默认为单选题 【题型01：正、余弦定理解三角形】 1．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．3或5 【答案】C 【分析】根据已知条件，用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理:, 代入已知条件，即， 化简得， 解一元二次方程：， 解得：或（舍去）， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·北京朝阳·期中）在中，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理结合三角形大边对大角性质即可求解. 【详解】由正弦定理得，即， 解得，又为三角形内角，所以或， 又因为，所以，又，所以． 故选：A． 3．（24-25高一下·四川成都·期中）在中，已知，，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据两角和差的正弦公式计算，再结合正弦定理即可. 【详解】由题意可知，， 又， 则由正弦定理可得，. 故选：D 4．（24-25高一下·重庆北碚·期中）中，分别是三个内角的对边，，则最小角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据性质大边对大角确定三角形的最小角，再由余弦定理求最小角的余弦值. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 又， 所以最小角的余弦值为， 故选：B 5．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由正弦定理得到，求得，再由余弦定理，求得，结合余弦定理，即可求得的值，得到答案. 【详解】解：因为， 由正弦定理，可得，即，可得， 又由余弦定理，可得，所以， 则. 故选：A. 6．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角，，的对边为，，，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合已知利用正弦定理化简得，进而求得，由余弦定理建立方程求解即可. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又，所以，所以， 又，所以，由余弦定理得，， 即，解得或（舍去）. 故选：C 7．（24-25高一下·吉林长春·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理得，结合已知得，得解. 【详解】因为， 所以， 即，. 故选：D 8．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变化，将题中条件化为，从而可求出结果. 【详解】在中，由及正弦定理， 得， 则， 而，，则，所以. 故选：B 9．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的大小是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理化简，可设，再根据化简求解即可. 【详解】∵， ∴由正弦定理得， 即， 令，，，显然， ∵， ∴，即， 故，由，解得， ∴. 故选：D 10．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则的周长为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式求出，再利用二倍角的正弦及正弦定理求出，进而利用正弦定理、余弦定理求出即可. 【详解】在中，由，得，而，则， 由，得，由正弦定理得， 则，，由正弦定理得， 由余弦定理得，整理得， 而，解得，所以的周长为18. 故选：B 【题型02：三角形解的个数问题】 1．（23-24高一下·福建泉州·期中）在中，，，，则满足条件的（    ） A．不能确定 B．无解 C．有一解 D．有两解 【答案】C 【分析】由题意画出图形，结合条件求出边上的高，可判断三角形解的情况. 【详解】因为，，，如图： 所以边上的高， 又，即，则此三角形有一解， 故选：C. 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由三角形的边角关系，可判断出三角形解的个数. 【详解】 因为，所以符合条件的三角形个数是2个. 故选：C. 3．（24-25高一下·陕西西安·期中）的内角的对边分别为，如果有一解，则的值不可能为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】法一；利用正弦定理求出，再分别代入验证，求出，再结合的范围可得. 【详解】法一：在中，利用正弦定理可得，则， 若，则，因，则或（舍）， 则有一解，故A错误； 若，则，因，则或（舍），则有一解， 故B错误； 若，则，因，则，则有一解，故C错误； 若，则，因，则或， 则有两解，故D正确. 法二：利用或者可知，或， 故选：D 4．（24-25高一下·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】由有两解，得即解得， 故选：A． 【题型03：三角形面积公式】 1．（24-25高一下·广东·期中）在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用余弦定理求出，可得，再由三角形面积公式可得答案. 【详解】，，， ， ， . 故选：D. 2．在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得，结合余弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得，即，解得或（舍）. 由余弦定理可得， 解得，故， 因为，则角为锐角，所以，， 因此，. 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）记的内角的对边分别为，面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 所以， 解得或（舍去）. 故选：B. 4．（24-25高一下·山东聊城·期中）记的面积为S，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，即，利用正弦定理和求解和，最后利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 由正弦定理有，又，， 所以，又因为，所以， 又， 所以， 所以， 故选：B. 5．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由正弦定理角化边，结合余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理角化边得到：， 即 ， 所以 ，， ， 又， 且， 得，即， 所以 . 故选：A 6．（24-25高一下·云南昭通·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，表示的面积，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积公式及余弦定理可得，结合诱导公式化简可得，再利用正弦定理得，即可求得角B. 【详解】由，可得, 所以， 由正弦定理，可得，化简得，即， 故选：C． 7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为，已知，，，求外接圆半径与内切圆半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式和余弦定理，结合辅助角公式可得角和，再利用正弦定理可求外接圆半径，等面积法求内切圆半径，从而求解. 【详解】因为，所以， 即， 由余弦定理，得， ，， 在三角形中，则或(舍)，故， 由余弦定理，，所以， 由正弦定理，，则， 因为， 所以，所以. 故选:B 【题型04：三角形形状的判断】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】利用二倍角公式将已知等式化为，然后利用正弦定理边角互化得，进而求得，即可判断. 【详解】利用二倍角公式将已知等式化为， 即，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理可以判断出B为钝角，则的形状为钝角三角形. 【详解】由，可得，即 则，又，则 则的形状为钝角三角形 故选：A 3．（24-25高一下·山西吕梁·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知可求得，结合范围可求或解得或即可得 【详解】可得， 由正弦定理可得: ，即， 可得， ，或， 解得或，即是等腰或直角三角形. 故选：D 4．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】结合余弦定理和可求C的大小，利用三角恒等变换公式和可求A与B的关系，从而可判断三角形的形状. 【详解】因为，所以， 又根据余弦定理可知， 所以， 因为，所以. 又由，得， 所以， 所以， 因为A和B是三角形的内角，所以，即， 所以是等腰三角形， 又因为，所以，是等边三角形. 故选：D. 5．（24-25高一下·广东广州·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【分析】由射影定理解出，得到或，即可判定其形状. 【详解】因为，则， 又因为射影定理：， 所以原式等价于 则，则或， 的形状为直角三角形或等腰三角形. 故选：D 6．（24-25高一下·四川成都·期末）设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 【题型05：解三角形在实际问题中的应用】 1．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【答案】D 【分析】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出的值． 【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60. 故选：D． 3．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ）    A．200 m B．400 m C． D． 【答案】C 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】在中， 在中， 在中 ． 故选：C 5．（24-25高一下·辽宁·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进80米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（   ）（，结果保留2位小数） A．80.56米 B．81.46米 C．84.32米 D．86.56米 【答案】B 【分析】设，分别在与中利用正弦定理，列方程，解方程即可. 【详解】由已知设，则，， 在中，由正弦定理得， 即， 又在中，由正弦定理得， 即， 则， 则， 故选：B. 6．（24-25高一下·山东烟台·期中）斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用三角函数表示出，进而得出，再根据同角三角函数的商数关系及两角差的正弦公式化简即可． 【详解】在中，， 在中，， 所以 ， 故选：A． 7．（24-25高一下·浙江·期中）壕股塔是嘉兴著名景点，某同学为了测量壕股塔PQ的高，他在山下处测得塔尖P的仰角为，再沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，测得塔尖的仰角为，塔底的仰角为，那么壕股塔的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，根据给定条件，求得和，利用正弦定理即可求解. 【详解】 如图，， 所以，得. 在中，， 在中，由正弦定理得， 即，解得， 所以壕股塔的高为米. 故选：A 【题型06：面积、周长、边的最值问题】 1．（24-25高一下·湖北荆门·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积，求面积的最小值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出； （2）由三角形面积公式得到，再由余弦定理和基本不等式得到，求出三角形面积的最小值. 【详解】（1）中，，由正弦定理得 ， 即， 故，又，则， 即， 又，可得； （2），则， 由余弦定理得， 即，即当且仅当时，等号成立， 故面积的最小值为. 2．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）正弦定理得，由，化简可得； （2）由余弦定理可得，可得，根据基本不等式即可求出的最大值，进而得出周长的最大值． 【详解】（1）在中，， 由正弦定理得， 在中，，则， 则， 得， 在中，，则，所以． （2）在中，由余弦定理得， 由（1）知，又， 则， 即， 又，则， 得，则， 当且仅当时，等号成立． 所以周长的最大值为． 3．已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)若的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)2． 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换求角； （2）利用三角形面积公式和余弦定理结合基本不等式求的最小值. 【详解】（1）由已知及正弦定理得， 由，得，得， 由，得，得，得， 得，得； （2）由，得， 由余弦定理得， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，得．故的最小值为2． 4．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，1 (2) 【分析】（1）利用正弦定理与和角的正弦公式求出角，再由条件求出边； （2）利用正弦定理求出边，代入所求式，经过三角恒等变换化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其范围. 【详解】（1）由和正弦定理可得， 化简得， 即 因，则，即， 因，故． 又由且， 可得． （2）由正弦定理，， 可得，， 则，（*） 因，将其代入（*），可得： ． 因，则，故， 则的取值范围是． 5．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换公式，有，根据为锐角三角形，求得的范围，结合三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 6．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知钝角△ABC中，. (1)若，，求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，再根据钝角三角形，进而确定； （2）表示周长，化成关于的函数，借助三角函数的取值范围求得答案. 【详解】（1）设的所对的边为， 则依题意，，，， 由余弦定理得，即， 即，解得或， 当，最大，最大，此时， 所以为锐角，不合题意； 当，最大，最大，此时， 所以为钝角，符合题意， 所以. （2），，设外接圆半径为， 则，则， 则周长 因为钝角△ABC，所以， 所以， 所以， 所以， 所以△ABC的周长取值范围为. 7．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求边长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式对原式进行化简，得到，再利用三角形内角的性质求解角度即可. （2）先利用正弦定理求出，再利用锐角三角形的性质求出，最后结合正弦函数的性质求解取值范围即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 则， 得到， 因为，所以， 化简得，而，则解得. （2）由正弦定理得，则， 因为为锐角，所以，， 解得，结合可得， 得到，则，故. 8．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正余弦定理进行边角互化即可； （2）利用三角形的面积公式求出然后利用正弦定理结合三角函数的性质求出的取值范围即可. 【详解】（1）， 故，即 故， 且，故. （2）由正弦定理得， ， 因为是锐角三角形，. 故，即 所以，故， 所以， 故面积的取值范围为. 9．记锐角三角形的内角，，所对的边分别为，， (1)若，，求的取值范围 (2)若，，求面积的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围； （2）根据二倍角公式和辅助角公式先得，由正弦定理表示，再由三角形面积公式列式，根据三角函数恒等变换即可得到面积的范围. 【详解】（1）因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是； （2）因为， 根据二倍角公式得， 也就是， 所以，则， 由于锐角三角形，所以，则， 则，得， 由正弦定理， 得， ， 因为为锐角三角形，所以， 解得，所以， 则，所以. 【题型07：中线、角平分线问题】 1．（24-25高一下·四川成都·期末）（多选题）在中，，，，点为边上一动点，则（   ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角的角平分线时， 【答案】AC 【分析】对于A，由余弦定理验算即可；对于B，由等面积法验算即可；对于C，由公式验算即可；对于D，将所求转换为即可. 【详解】对于A，由余弦定理有，故A正确； 对于B，当为边上的高线时，由等面积法有， 即，解得，故B错误； 对于C，当为边上的中线时， ，故C正确； 对于D，当为角的角平分线时，设， 由三点共线可知，，解得， 所以，故D错误. 故选：AC. 2．在中，的平分线交BC于点，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，由三角形的角平分线定理求得，在中，由余弦定理建立方程，求解即得. 【详解】如图， 设，由AD是的角平分线，可得，则， 由，可知， 由余弦定理得，解得或， 当时，，则，因，产生矛盾，故. 故选：D 3．（24-25高一下·四川绵阳·期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理边角互化以及和角公式化简求出，即得，根据三角形角平分线定理，推得，利用三角形面积公式求得，联立计算即得. 【详解】 由和正弦定理， 可得， 即， 因， 且，则，可得，故. 如图，因BC边上一点D满足，且AD平分， 则，即①， 又的面积为，即得②， 由①②联立，解得. 故选：C. 4．（2025高一·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为 ． 【答案】 【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可． 【详解】由题意得， 所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 所以最大值为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）在中，已知的平分线与边相交于点. (1)求证：； (2)若，，，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分别对和采用正弦定理可得，，两式联立即可. （2）解法一：由，得与，左右两侧同时平方解得与的长度，再通过余弦定理求解即可.    解法二：由，得，通过等面积法可求解与的长度，再通过余弦定理求解即可. 【详解】（1）在和中，如图所示：    由正弦定理得： ，， 因为，所以， 所以， 即， 又因为为的角平分线，所以， 所以，，两式相除得， 所以得证. （2）解法一：，所以， 平方得，由（1）可得：，， 解得，， 则，， 所以. 解法二： 由，由（1）得，所以， 因为为的角平分线, ，所以， 则， 解得，， 则，， 所以. 6．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，， (1)求角A的大小； (2)求周长的最大值； (3)若BC中点为D，求AD的最小值. 【答案】(1); (2); (3). 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出，即可得的大小； （2）利用正弦定理，表示出的周长，利用三角函数求出最大值即可. （3）由（1）得利用基本不等式求得，再根据D为的中点， 得，平方并利用向量数量积的运算律得，即可求得答案. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得，即 ， 因为，所以. （2）由（1）得，且 由正弦定理得：， . ∴当时，的最大值为， ∴周长的最大值是. （3）因为，所以 所以，当且仅当时，等号成立. 即 因为D为的中点，所以, 所以， 即. 所以. 故AD的最小值为. 7．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，求出； （2）①由三角形面积求出，从而得到，或，，根据中线得到，两边平方，结合向量数量积运算法则求出；②根据求出，由基本不等式求出长的最大值. 【详解】（1）由正弦定理得，即. 由余弦定理得. 因为，所以. （2）①，. 且，解得，或，. 由于， 所以， ； ②由， 得. 解得， 由于，当且仅当时，取等号， 故,当且仅当时，取等号，即的最大值为. 8．（24-25高一下·河南南阳·期末）在锐角中，设角的对边依次为，满足. (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）利用正弦定理、和角公式与辅助角公式化简计算即得； （2）利用线段中点的向量表达式化简得到，由正弦定理化简得到，结合锐角得到角的范围，利用正弦函数的图象即可求得答案. 【详解】（1）由题设知. 由正弦定理,可得.① 又，则. 将上式代入①式得 即， 即. 又，，故， 则，即. 又，则，则，解得. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得. 在中，由余弦定理得，因， 即， 所以. 在中，由正弦定理得，即得，， 所以 . 因为锐角三角形，则且，解得， 则，故，故， 则， 故中线的取值范围是. 【题型08：几何图形中解三角形】 1．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意在直角中，可得BC的值，再在中，由余弦定理可得BD的大小． 【详解】在中，， 可得， 在中，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得（负值已舍）． 即BD的长度为1． 故选：A． 2．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在和中利用余弦定理和正弦定理即可求解. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得，， 即，， 又在中，，，， 由正弦定理得，，即， 解得. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，角的对边分别为的面积为，且满足条件，为边上一点，，则的边长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求出，再利用直角三角形边角关系及差角的正弦、正弦定理求解. 【详解】在中，由及余弦定理、面积公式得： ，则，而，故， 在中，， 则，， 在中，， 由正弦定理得. 故选：D 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)已知D为边上的一点，且.若，，求的长； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角化结合三角恒等变换即可求解， （2）根据余弦定理求解，即可由正弦定理求解，进而由锐角三角函数即可求解. 【详解】（1），， 根据正弦定理，得，即，，， ，，，又，. （2），，，根据余弦定理得,， ，， 在中，由正弦定理知，，， ，，， ，. 5．如图，在四边形中，，，平分且与相交于点． (1)若的面积为，求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，再在中，利用三角形的面积公式，列出方程，求得，结合余弦定理，即可求解； （2）根据题意，求得，结合正弦定理，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）在中，，且，可得， 在中，， 可得，， 在中，，， 可得，由， 可得，解得， 又由余弦定理得：， 所以，所以. （2）因为， 在中，，，可得，， 所以， 由正弦定理，可得，解得， 所以， 所以. 6．已知平面四边形中，，，. (1)若，求的长； (2)设，记四边形的周长，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中，由余弦定理可解； （2）在中，由正弦定理可得，再利用两角和与差的正弦公式可得最大值. 【详解】（1） 连接， 因为，，， 所以为正三角形，， 在中，由余弦定理可得， 代入数值可得，解得. （2）在中，由正弦定理可得， 所以， 所以四边形的周长 ， 所以当时，的最大值为. 【题型09：解三角形中的结构不良问题】 1．在中，，． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由正弦定理和三角形的内角和定理，求得，进而求得的大小； 又因为，所以，可得. （2）分别选择条件①②③，结合题意，利用正弦定理、余弦定理和面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 因为，且， 所以，得， 因为，即， 则，又因为，可得， 所以，可得，可得. （2）解：选择条件①：，因为且， 由余弦定理得， 即，解得， 所以为方程的根，解得或， 即或，所以三角形的元素不唯一，不符合题意. 选择条件②：，因为，可得, 由正弦定理，可得， 因为且，所以为锐角且唯一，所以存在且唯一， 又由， 由正弦定理可得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 条件③：，由正弦定理，可得， 因为，所以， 又因为，所以为锐角，且唯一确定，所以存在且唯一， 又由， 因为， 所以， 又由正弦定理得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）为助力第四届湖南旅游发展大会，提高游客舒适度，岳阳政府决定新增若干休闲区域.如图，某休闲区域是四边形，其四周是步道，中间是花卉种植区域，为方便观赏，中间穿插了步道，已知，，，. (1)求步道的长； (2)若________；求花卉种植区域总面积. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）在三角形中，由余弦定理求解即可； （2）若选①，先求出，再由展开可求出，再由面积公式得出结果，若选②，在中由余弦定理得，再由三角形面积公式得解. 【详解】（1）∵，∴， ∴. ∵，， ∴由余弦定理得： ， ∴. （2）若选①： 在中，由正弦定理得 ∵，∴. 由（1）知.代入上式可得， 解得， ∵ . ∴. ∵，∴. ∴. ∴花卉种植区域总面积为. 若选②：∵，∴. 在中，由余弦定理得： ∴① ∵，∴② ①-②得： ∴ ∵，∴. ∴. ∴花卉种植区域总面积为. 3．（24-25高一下·北京·期中）在中，． (1)求的大小； (2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：． 【答案】(1) (2)选择①， 【分析】（1）利用倍角公式，通过解方程可得答案； （2）先利用正弦定理求出，选择①利用余弦定理求出或先判断为最长边，然后可得答案；选择②利用面积公式和余弦定理求解出两组答案，不合题意；选择③利用余弦定理得到的方程无解，不合题意. 【详解】（1）因为,所以, 所以，所以， 因为，所以舍,所以. （2）选择① 因为，由正弦定理，代入得. 法一： 由余弦定理，代入得， 所以，所以或（舍），所以边最长， 边上的高线. 法二： 因为，所以， 所以，所以，所以为最长边, 边上的高线. 选择② 因为, 所以, 因为，由余弦定理, 所以, 所以或,三角形不唯一，不能选择条件② 选择③，由余弦定理, 得，此时，，所以，三角形不存在． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，，并且______． ①； ②． 从上面两个条件中任选一个，补充在问题中，并解答下列问题． (1)求角； (2)求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①，正弦定理及辅助角公式得到，再结合的范围得到；选②，由正弦定理和余弦定理得到； （2）法一：由余弦定理得到，再由均值不等式得到，从而得到周长的最大值； 法二：由正弦定理边化角得到，，利用辅助角公式化为单角单函数，从而得到周长的最大值. 【详解】（1）选①， 因为，所以由正弦定理得． 因为，所以，即． 因为，所以， 从而，即． 选②， 因为， 所以，即，所以． 因为，所以． （2）法一：由（1）知，． 在中，由余弦定理得，即， 所以，得，当且仅当时等号成立． 所以周长的最大值为． 法二：由正弦定理有，得，． 因为，所以， 于是． 因为，所以， 从而， 所以，即周长的最大值为． 5．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．给出如下三个条件： ①； ②； ③； 从这三个条件中任选一个作为满足的条件，完成以下问题： (1)求角A的大小； (2)若的面积为．角A的内角平分线交边BC于D，且，试判断的形状并证明. 【答案】(1) (2)正三角形，证明见解析 【分析】（1）条件①利用正弦定理和二倍角公式化简得到，再结合两角和的正弦公式化简得到，进而求解角度，条件②利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解角度，条件③利用两角和的正弦公式化简得到，再利用辅助角公式求解角度即可. （2）利用三角形面积公式建立方程，求出，，再求出，最后判断三角形形状即可. 【详解】（1）选①由，得， 即，故， 则, 化简得，因为，所以， 故，则解得 选②由已知得， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理得，解得． 选③由已知得， 即， 所以， 化简得， 则， 因为，所以， 化简得，即，得， 又，所以，解得． （2）因为，故解得， 又因为 ，故解得． 所以解得，所以是正三角形. 6．（24-25高一下·福建厦门·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从以下三个条件中任选一个，解答以下问题 ①；②；③ (1)求证：； (2)若求边长 (3)求的最小值. 【答案】(1)选择见解析，证明见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）若选①，由余弦定理可得再利用正弦定理及两角和与差的正弦公式化简即可得证； 若选②，利用正弦定理将边化角，结合两角差的正弦公式即可得证； 若选③，利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系可得再结合角的范围即可得证； （2）利用同角三角函数的基本关系可得再由二倍角公式可得与由诱导公式及两角和的正弦公式可得利用正弦定理可得的值，结合已知条件可得a，c的值，由余弦定理即可求得b； （3）利用三角恒等变换化简利用正弦定理将化为利用基本不等式即可求解最小值． 【详解】（1）若选① 由余弦定理 则化简可得 根据正弦定理可得 因为 所以 即即 所以，此时或此时 因为所以 若选② 由正弦定理可得 所以即 所以，此时或此时 因为所以 若选③ 因为 所以所以 因为则所以或 若则则不符合题意， 所以即 （2）因为则 由可得 所以 已知由正弦定理可得 设则解得所以 根据余弦定理可得 所以 （3） 所以 因为所以 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $