暑假作业07 解三角形的实际应用 （3大巩固提升练+2大能力培优练+2大创新提型练）-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019）

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 解三角形的实际应用 【知识点 测量中的专业术语】 　测量中几个术语的意义及图形表示 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 　 【提醒】(1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． (2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：测量距离（重点）】 【知识讲解】 测量距离的常见类型及方法： 求AB 图形 需要测量的元素 解法 求水平距离 山两侧 ∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a 用余弦定理AB＝ 河两岸 ∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a 用正弦定理AB＝ 河对岸 ∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a 在△ADC中，AC；在△BDC中，BC＝；在△ABC中，应用余弦定理求AB 1.3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A（小明），B（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 2．某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A．米 B．米 C．米 D．米 4．某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为 （精确到）.    5．已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是，C地在A地的北偏西方向，A，C两地之间的距离是，现要在B地的北偏东方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的倍． (1)求B、C两地之间的距离； (2)求高铁站D到C地的距离． 【题型二：测量高度问题（重点）】 【知识讲解】 (1)测量高度的常见类型及方法 求AB 图形 需要测量的元素 解法 求竖直高度 底部可达 ∠ACB＝α，BC＝a 解直角三角形AB＝a tan α 底部不可达 ∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a 解两个直角三角形AB＝ (2)三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)，并且条件对应好(仰角、俯角、方向角等). 6．奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（   ） A． B． C． D． 7．如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 8．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，B是AC的中点，米，则该建筑的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 9.为了测绘海面上一座活火山顶点的高度，测绘船围绕活火山展开测量，如图为测绘活动的俯视图，测绘船的路线中，三个观测点、、恰好构成正三角形，点为火山口在俯视图中的位置．已知从、、三点测量点的仰角正切值分别为、、． (1)求的正弦值； (2)若正三角形的边长为，求火山顶点的高度． 【题型三：测量角度问题(重点)】 【知识讲解】 测量角度问题是指在海上或空中等测量角度的问题，如确定目标的方位、观察 某一建筑物的视角等，解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，进而得到实际问题的解. 解题时应认真审题，结合图形去选择定理，这是最关键、最重要的一步. 10．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 11．如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（   ）    A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 12.如图，点A为半径为2千米的圆形海岛的最东端，点B为最北端，在点A的正东4千米C处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在B处有一小船正以速度v（千米/小时）向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为3v（千米/小时）．为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应向西偏北 度方向行驶．（结果精确到整数） 13．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 14．如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 【题型一：测量问题的综合应用（难点）】 1.某市一棚户区改造用地平面示意图如图所示.该区域是半径为的圆面，圆面的内接四边形是原棚户区建筑用地，测量可知. (1)求原棚户区建筑用地中对角线的长度； (2)请计算原棚户区建筑用地的面积. 2．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示，、、三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距.在地听到弹射声音的时间比地晚.在地测得该仪器至最高点处的仰角为（已知声音的传播速度为）. (1)求两地的距离； (2)求这种仪器的垂直弹射高度. 3．高新体育中心体育馆（图1）是成都大运会乒乓球项目比赛场馆，该体育馆屋顶近似为正六边形，屋底近似为正六边形．    (1)如图2，已知该体育馆屋顶上有三点用电缆围成了三角形形状，测得，米，求该电缆的长度； (2)如图3，若在建造该体育馆时在馆底处的垂直方向上分别有号塔吊，若1号塔吊（点处）驾驶员观察2号塔吊（点处）驾驶员的仰角为号塔吊驾驶员观察3号塔吊（点处）驾驶员的仰角为，且1号塔吊高米，2号塔吊比1号塔吊高米，则3号塔吊高多少米?（塔吊高度以驾驶员所在高度为准）． 【题型二：与测量有关的最值问题（难点）】 4．如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距20nmile的处，并以15nmile／h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以mile的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇，则的最小值为 ．    5．杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）    (1)请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）； (2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式） 6.某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离， 在A，C之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角 若 (1)求两导航标记距离地面的高度AB、CD； (2)要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角最大，点P应在何处? 7．2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米/秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别，． (1)当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ (2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为，长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值； (3)当机器狗的速度为米/秒时，若无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功，则的长度至少为多少米？ 8.巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向． (1)求二桥CD的长度． (2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值． 【题型一：数学文化题（高频）】 1．享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．东莞市金鳌洲塔是广东省文物保护单位，塔处江心陆洲，三面环水．东莞实验中学某数学兴趣小组准备测量塔的高度．如图选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，小组同学测得，，米，在点A处测得塔顶C的仰角为，则塔高CD为 米．（结果保留2位小数，参考数据：，）      5．古语云:“积善之家，必有余兴”.扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意.一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据，，AB=2.（图1中破碎边缘呈锯齿形状）    (1)求这个扇形玉佩的半径； (2)现又找到一块比较规则的三角形碎片，如图2所示，其三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，请复原该扇形玉佩的具体参数（圆心角.弧长、面积）. 【题型二：方案设计问题（难点）】 【知识讲解】 设计方案测量相关量时，方法一般不唯一，一般以简便为原则，尽量在一个三角形中解决问题，对于较复杂的问题，也可以考虑在几个三角形中解题. 6．如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了四种测量方案（的角所对的边分别记为，，），则一定能确定间距离的所有方案为（    ）    A．测量，， B．测量，， C．测量，， D．测量，， 7．石家庄电视塔是石家庄的地标性建筑，吸引众多游客来此拍照，如图所示，现某中学数学兴趣小组对电视塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为电视塔的最顶端，B为基座（即B在A的正下方），在世纪公园上（B在同一水平面内）选取两点，测得的长为100m．小组成员利用测角仪已测得，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出电视塔高度的是（    ） A． B． C． D． 8．人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心，是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑．正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字．在中国共产党百年华诞到来之际，某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑，并用学到的数学知识测量其高度．现准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小组设计了如下不同的测量方案，其中一定能测量出纪念碑高度的方案有（    ） A．在水平地面上任意寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离 B．在水平地面上寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离和两点相对于纪念碑底部的张角 C．在纪念碑正东方向找到一座建筑物（低于纪念碑），测得建筑物的高度为，在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角和 D．在纪念碑的正前方处测得纪念碑顶端的仰角，正对纪念碑前行5米到达处再次测量纪念碑顶端的仰角 9．在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，高423米的东莞第一高楼民盈·国贸中心2号楼（以下简称“国留中心’）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东堇最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米，“在同学们的叹中，老师提出了问盈：国贸中心真有这么高我们能否运用所学知识测量脸证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案． 第一小组采用的是“两次测角法”，他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了s米后，到达B点，在B点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图1）． 第二小组采用的是“镜面反射法”，在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤： ①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米； ②正对国贸中心，将镜子前移a米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米，然后计算出国贸中心的高度（如图2）． 实际操作中，第一小组测得米，，最终算得国贸中心的高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心的高度为假设测量者的身高h都为1.60米．    (1)请你用所学知识后两个小组完成计算（参考数据：，结果保留整数）； (2)你认为哪个小组的方案更好？请说明理由． 10．如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔和．小明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）且不渡过河的条件下，为了计算塔的高度，他在点测得点的仰角为，，又选择了相距100米的点，测得． （1）请你根据小明的测量数据求出塔高度； （2）在完成（1）的任务后，小明想要计算两塔顶之间的距离，在测得之后，小明准备再测量两个角的大小，并为此准备了如下四个方案： 方案①：测量和    方案②：测量和 方案③：测量和    方案④：测量和 请问：小明的备选方案中有哪些是可行的?写出所有可行方案的序号； （3）选择（2）中的一种方案，并结合以下数据，计算出两塔顶之间的距离，精确到米．，，，，，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 解三角形的实际应用 【知识点 测量中的专业术语】 　测量中几个术语的意义及图形表示 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 　 【提醒】(1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． (2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：测量距离（重点）】 【知识讲解】 测量距离的常见类型及方法： 求AB 图形 需要测量的元素 解法 求水平距离 山两侧 ∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a 用余弦定理AB＝ 河两岸 ∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a 用正弦定理AB＝ 河对岸 ∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a 在△ADC中，AC；在△BDC中，BC＝；在△ABC中，应用余弦定理求AB 1.3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A（小明），B（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，，则，而， 由正弦定理得. 故选：A 2．某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，， 在中，由余弦定理可得， ， 即观赏亭与观赏亭之间的距离为. 故选：C 3．如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解析】，， ，，， ， 在中，米. 在中，由正弦定理得米. 在中，由余弦定理得： ， 米. 故选：D. 4．某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为 （精确到）.    【答案】 【解析】在Rt中，，则 因为，所以 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中， 由余弦定理得 所以米． 故答案为：4.25米． 5．已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是，C地在A地的北偏西方向，A，C两地之间的距离是，现要在B地的北偏东方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的倍． (1)求B、C两地之间的距离； (2)求高铁站D到C地的距离． 【答案】(1)干米；(2)千米. 【解析】（1）依题意，在中，，，， 由余弦定理得， 则，解得， 即村庄，之间的距离为干米； （2）在中，由正弦定理得， 则，从而， 则地在地的正西方向，由高铁站在地的北偏东的方向，得， 在中，由余弦定理得， 而，则，解得， 所以高铁站D到C地的距离千米. 【题型二：测量高度问题（重点）】 【知识讲解】 (1)测量高度的常见类型及方法 求AB 图形 需要测量的元素 解法 求竖直高度 底部可达 ∠ACB＝α，BC＝a 解直角三角形AB＝a tan α 底部不可达 ∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a 解两个直角三角形AB＝ (2)三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)，并且条件对应好(仰角、俯角、方向角等). 6．奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，由题意可得，， ∴， 在中由正弦定理，，即，解得． ∴，则（）． 故选：B． 7．如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，则，即． 在中，则，， 由正弦定理得，，所以． 故选：D． 8．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，B是AC的中点，米，则该建筑的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】设，则可得， 由B是AC的中点，所以， 而，则， ，中，由余弦定理可得：， 解得：，所以该建筑的高度米. 故选：B. 9.为了测绘海面上一座活火山顶点的高度，测绘船围绕活火山展开测量，如图为测绘活动的俯视图，测绘船的路线中，三个观测点、、恰好构成正三角形，点为火山口在俯视图中的位置．已知从、、三点测量点的仰角正切值分别为、、． (1)求的正弦值； (2)若正三角形的边长为，求火山顶点的高度． 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)取线段的中点为，连接，设火山顶点的高度为， 则依题意可知， ∵，∴，且平分， ∴三点共线，∴， 由正弦定理可知， ∴， ∴ ； （2）在中，由正弦定理可知，， ∴， 即，∴． 【题型三：测量角度问题(重点)】 【知识讲解】 测量角度问题是指在海上或空中等测量角度的问题，如确定目标的方位、观察 某一建筑物的视角等，解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，进而得到实际问题的解. 解题时应认真审题，结合图形去选择定理，这是最关键、最重要的一步. 10．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【解析】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 11．如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（   ）    A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 【答案】B 【解析】由题意，在中，，，，所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：B. 12.如图，点A为半径为2千米的圆形海岛的最东端，点B为最北端，在点A的正东4千米C处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在B处有一小船正以速度v（千米/小时）向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为3v（千米/小时）．为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应向西偏北 度方向行驶．（结果精确到整数） 【答案】 【解析】为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应该在OB的延长线上与小船相遇， 设经过t小时，缉私艇在OB的延长线上拦截小船， 此时，，， 则有，解得：或（舍）， 此时，， 因此，则， 即缉私艇应向西偏北37°的方向行驶． 13．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 【答案】南偏西 【解析】如图，在中，，    由正弦定理得 ，解得， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以解得， 由正弦定理得 ，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 14．如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 【答案】(1)海里；(2)北偏东的方向， 2小时 【解析】（1）由在的南偏东，在的北偏东方向， 得在中，，，， 由正弦定理，得，所以， 又， 所以海里，即处到观测塔的距离为海里. （2）在中，，，， 由余弦定理，得， 所以海里，航行时间至少为小时. 又， 且，所以，所以在的北偏东方向. 故处的救援船应该朝北偏东的方向沿直线前往处救援，至少航行2小时才能到达处. 【题型一：测量问题的综合应用（难点）】 1.某市一棚户区改造用地平面示意图如图所示.该区域是半径为的圆面，圆面的内接四边形是原棚户区建筑用地，测量可知. (1)求原棚户区建筑用地中对角线的长度； (2)请计算原棚户区建筑用地的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1），由余弦定理，得 ， ， ， . 故原棚户区建筑用地中对角线的长度为. (2)在△中，因为， 故，又，故可得，则， 故. 即原棚户区建筑用地的面积为. 2．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示，、、三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距.在地听到弹射声音的时间比地晚.在地测得该仪器至最高点处的仰角为（已知声音的传播速度为）. (1)求两地的距离； (2)求这种仪器的垂直弹射高度. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意，设，因为在地听到弹射声音的时间比地晚，所以. 在中，由余弦定理得， 即，解得. 故两地的距离为. （2）在中，， 所以， 故该仪器的垂直弹射高度为. 3．高新体育中心体育馆（图1）是成都大运会乒乓球项目比赛场馆，该体育馆屋顶近似为正六边形，屋底近似为正六边形．    (1)如图2，已知该体育馆屋顶上有三点用电缆围成了三角形形状，测得，米，求该电缆的长度； (2)如图3，若在建造该体育馆时在馆底处的垂直方向上分别有号塔吊，若1号塔吊（点处）驾驶员观察2号塔吊（点处）驾驶员的仰角为号塔吊驾驶员观察3号塔吊（点处）驾驶员的仰角为，且1号塔吊高米，2号塔吊比1号塔吊高米，则3号塔吊高多少米?（塔吊高度以驾驶员所在高度为准）． 【答案】(1)米；(2)米. 【解析】（1）因为，，所以， . 由正弦定理得，得米， ，米， 所以该电缆的长度为米. （2）在直角梯形中，过作，垂足为， 则米，，米， 所以米，所以米，    所以正六边形的边长为米， 在直角梯形中，过作，垂足为， 则米，，所以米， 所以3号塔吊高为米. 【题型二：与测量有关的最值问题（难点）】 4．如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距20nmile的处，并以15nmile／h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以mile的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇，则的最小值为 ．    【答案】2 【解析】如图，假设小艇与轮船在点相遇，      由题意得，，． 由余弦定理得，得， 解得或4．故的最小值为2． 5．杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）    (1)请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）； (2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式） 【答案】(1)300米；(2)为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 【解析】（1）由题设， 所以米； （2）设米，则，， 由，则 ， 当且仅当时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 6.某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离， 在A，C之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角 若 (1)求两导航标记距离地面的高度AB、CD； (2)要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角最大，点P应在何处? 【答案】(1)；(2)时，张角最大 【解析】（1）由题意,在中，， 所以； 在中，, 在中，, 因为，所以， 所以， 解得，所以. （2）设，则； 在中，, 在中，, 于是 设，则 . 当且仅当时，即时，等号成立； 又恒成立，所以，所以； 由正切函数在上为增函数，所以取最大值时，也最大. 当时，张角最大. 7．2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米/秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别，． (1)当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ (2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为，长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值； (3)当机器狗的速度为米/秒时，若无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功，则的长度至少为多少米？ 【答案】(1)；(2)8米；(3)1.5米 【解析】（1）在中，由正弦定理知，即， 因为，，所以， 解得，因为，所以， 此时，因为，所有点在矩形内，捕捉成功． （2）在中，由余弦定理知， 故， 整理得， 即，当且仅当时等号成立，此时， ，点在矩形内，捕捉成功． 故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米． （3）如图，过作的垂线，垂足为 设，则，由题可知所以， 在中，由余弦定理知， 则，整理得， 所以， 又因为，， 当，即当时，有最大值为， 由题知恒成立，所以，此时， 故当的长度至少为米时，无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功． 8.巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向． (1)求二桥CD的长度． (2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值． 【答案】(1)2千米;(2)平方千米 【解析】（1） 如图所示，过点作，过点作， 点在点的正北方向，点在点的正南方向，点在点的正北方向. 根据题意可知，所以, 由题意得，， 所以，故， 在中，由正弦定理得，即 ，故， 因为， 所以. 在中，， 由正弦定理可得，，解得． 在中，， 由余弦定理可得，解得， 所以二桥的长度是2千米. （2） 由（1）知扇形所在区域半径，圆心角. 如图，取线段的中点，连接交于，连接． 设. 根据垂径定理可知，故． 在中，由得，， 所以， 则矩形的面积， 由得， 所以当，即时，公园面积的最大值为平方千米． 【题型一：数学文化题（高频）】 1．享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，， 在中，，，则， 在中，， 则， 由正弦定理得，，得， 在中，，则， 所以. 故选：C 2．如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，，，∴． 又，∴，根据勾股定理． 在中，根据正弦定理可知， 即，解得， 故选：C． 3．如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由， 可得： 解得： 故选：A 4．东莞市金鳌洲塔是广东省文物保护单位，塔处江心陆洲，三面环水．东莞实验中学某数学兴趣小组准备测量塔的高度．如图选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，小组同学测得，，米，在点A处测得塔顶C的仰角为，则塔高CD为 米．（结果保留2位小数，参考数据：，）      【答案】50.76 【解析】在中，由，，得，而， 由正弦定理得， 在中，，， 所以塔高CD为约为50.76米. 5．古语云:“积善之家，必有余兴”.扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意.一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据，，AB=2.（图1中破碎边缘呈锯齿形状）    (1)求这个扇形玉佩的半径； (2)现又找到一块比较规则的三角形碎片，如图2所示，其三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，请复原该扇形玉佩的具体参数（圆心角.弧长、面积）. 【答案】(1)这个扇形玉佩的半径为；(2)扇形的圆心角为，弧长为，面积为 【解析】（1）如图，设扇形的圆心为，连接， 在中，由余弦定理可得， 因为，可得， 在中，因为，则，即， 可得， 所以这个扇形玉佩的半径为.    （2）设扇形的圆心角为， 因为，可得， 所以扇形的圆心角为，弧长为，面积为. 【题型二：方案设计问题（难点）】 【知识讲解】 设计方案测量相关量时，方法一般不唯一，一般以简便为原则，尽量在一个三角形中解决问题，对于较复杂的问题，也可以考虑在几个三角形中解题. 6．如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了四种测量方案（的角所对的边分别记为，，），则一定能确定间距离的所有方案为（    ）    A．测量，， B．测量，， C．测量，， D．测量，， 【答案】ABC 【解析】对于A，先利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理解出c； 对于B，直接利用余弦定理即可解出c； 对于C，先利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理解出c； 对于D，不知道边的长度，显然不能求c. 故选：ABC. 7．石家庄电视塔是石家庄的地标性建筑，吸引众多游客来此拍照，如图所示，现某中学数学兴趣小组对电视塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为电视塔的最顶端，B为基座（即B在A的正下方），在世纪公园上（B在同一水平面内）选取两点，测得的长为100m．小组成员利用测角仪已测得，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出电视塔高度的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A：由题意得，在中，这是两边夹角情况， 故由正弦定理求得，从而再解求得，故A正确； 对于B；由题意得四个条件， 在中，已知，三角形形状不确定，即无法确定其他边和角， 而分别在中，也无法确定其他的边和角， 因此无法通过解三角形，求得，故B错误； 对于C︰由题意得，在中，已知两边和夹角， 由正弦定理求得，从而再解求得，故C正确； 对于D∶可设，利用和，分别表示出, 然后在中，结合和，利用余弦定理列出关于h的方程， 即可求得h，D正确， 故选︰ACD． 8．人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心，是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑．正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字．在中国共产党百年华诞到来之际，某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑，并用学到的数学知识测量其高度．现准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小组设计了如下不同的测量方案，其中一定能测量出纪念碑高度的方案有（    ） A．在水平地面上任意寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离 B．在水平地面上寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离和两点相对于纪念碑底部的张角 C．在纪念碑正东方向找到一座建筑物（低于纪念碑），测得建筑物的高度为，在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角和 D．在纪念碑的正前方处测得纪念碑顶端的仰角，正对纪念碑前行5米到达处再次测量纪念碑顶端的仰角 【答案】BCD 【解析】A：如果，两点与纪念碑底部不在一条直线上时，就不能测量出纪念碑高度，故不正确． B：在直角三角形△和△中用来表示，，在△中用余弦定理就可以计算出纪念碑高度，故正确． C：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确； D：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确； 故选：BCD. 9．在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，高423米的东莞第一高楼民盈·国贸中心2号楼（以下简称“国留中心’）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东堇最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米，“在同学们的叹中，老师提出了问盈：国贸中心真有这么高我们能否运用所学知识测量脸证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案． 第一小组采用的是“两次测角法”，他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了s米后，到达B点，在B点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图1）． 第二小组采用的是“镜面反射法”，在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤： ①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米； ②正对国贸中心，将镜子前移a米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米，然后计算出国贸中心的高度（如图2）． 实际操作中，第一小组测得米，，最终算得国贸中心的高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心的高度为假设测量者的身高h都为1.60米．    (1)请你用所学知识后两个小组完成计算（参考数据：，结果保留整数）； (2)你认为哪个小组的方案更好？请说明理由． 【答案】(1)；；(2)第一组方案更好，理由见解析 【解析】（1）第一小组：，，， 故， ； 第二小组：，， ，， 故，故， 故. （2）第一组方案更好： ①：测量方法容易理解，普适性强； ②：计算思路简洁； ③：操作性强； 10．如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔和．小明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）且不渡过河的条件下，为了计算塔的高度，他在点测得点的仰角为，，又选择了相距100米的点，测得． （1）请你根据小明的测量数据求出塔高度； （2）在完成（1）的任务后，小明想要计算两塔顶之间的距离，在测得之后，小明准备再测量两个角的大小，并为此准备了如下四个方案： 方案①：测量和    方案②：测量和 方案③：测量和    方案④：测量和 请问：小明的备选方案中有哪些是可行的?写出所有可行方案的序号； （3）选择（2）中的一种方案，并结合以下数据，计算出两塔顶之间的距离，精确到米．，，，，，． 【答案】（1）；（2）①②；（3）选择见解析；47米． 【解析】（1）由三角形的内角和定理得，又因为， 在中结合余弦定理得，所以， 又因为， 在中，； （2） 方案①：测量和；因为，且，所以平面，又因为平面，所以，所以，又因为，在中，由余弦定理得 方案②：测量和：因为，所以，又因为，在中，由余弦定理，有 ， 在中，，截取， 则， 方案③：需要过河测量，所以此方案不可行； 方案④：需要过河测量，所以此方案不可行； （3） 方案①：因为， 方案②：因为， . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$