（寒假讲义-预习篇）第七讲 立方根（七大重点考点练+三难度分层练 共50题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册精编培优讲练

第七讲 立方根 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1. 能区分立方根与平方根的异同（如负数的立方根存在，平方根不存在）。 2. 理解立方根的唯一性，解释为何每个实数有且仅有一个立方根。 3.借助几何模型（如体积为V的正方体棱长计算），建立立方根与三维空间的联系，增强空间观念。 4.解决实际问题（如已知正方体体积求棱长、工程中的材料计算），体会立方根的实用价值。 重点：平方根的被开方数非负，立方根的被开方数可为任意实数；平方根有正负两个值，立方根仅有一个值。 难点：立方根的唯一性与平方根的对比：解释为何立方根具有唯一性，而平方根存在“±”双解，避免混淆。   教学重难点 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：立方根、开立方的定义 2 知识点二：立方根的性质 2 知识点三：用计算器求一个数的立方根的方法 3 优选考点讲练 3 考点一：立方根概念理解 3 考点二：求一个数的立方根 4 考点三：已知一个数的立方根，求这个数 4 考点四：与立方根有关的规律探索 4 考点五：立方根的实际应用 5 考点六：算术平方根和立方根的综合应用 6 考点七：计算器—平方根和立方根 6 三难度分层练（基础 提升 拔尖） 7 基础通关练 7 能力提升练 8 拔尖拓展练 9 知识点一：立方根、开立方的定义 1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. 2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数. 3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. 4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算. 知识点二：立方根的性质 1、立方根的性质： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【易错点拨】 任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个. 2、立方根的两个重要性质： ①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即，利用它可以把一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. ②. 3、平方根与立方根的区别和联系： （1）平方根与立方根的区别： （2）平方根与立方根的联系： 知识点三：用计算器求一个数的立方根的方法 一般计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值)．按键顺序为先按键，再输入被开方数，最后按键．有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根．按键顺序为先按键，再按键，再输入被开方数，最后按键． 考点一：立方根概念理解 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）下列语句正确的是（    ） A．是5的一个平方根 B．400万有7个有效数字 C．近似数12.8和12.80表示的意义是相同的 D．一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1 【变式1】立方根是它本身的数是 ， ，的平方根是 ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）已知与互为相反数，求a的值． 考点二：求一个数的立方根 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）计算下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 【变式1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知的算术平方根是，的立方根为1，求的平方根． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)判断是有理数还是无理数，并说明理由． 考点三：已知一个数的立方根，求这个数 【例3】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是，则的平方根为 ． 【变式】（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知x的两个不同的平方根分别是和，的立方根是3．求的算术平方根． 考点四：与立方根有关的规律探索 【例4】（25-26八年级上·山西临汾·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如果，，那么 ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 考点五：立方根的实际应用 【例5】王师傅打算用铁皮焊一个密封的正方体水箱，使其容积为，请你帮王师傅算一算他至少需要多大面积的铁皮．（铁皮厚度不计） 【变式1】已知甲、乙两个正方体纸盒，甲纸盒棱长为，乙纸盒体积比甲纸盒体积大，求乙纸盒的棱长． 【变式2】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）（1）一个长方体的体积为.它的长、宽、高之比为.求这个长方体的表面积； （2）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的平方根. 考点六：算术平方根和立方根的综合应用 【例6】若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式2】李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 考点七：计算器—平方根和立方根 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.01）： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级下·全国·假期作业）在用计算器求45的算术平方根时，需要用到的按键是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东临沂·一模）下列关于计算器的按键说法中，错误的是（   ） A．按键显示结果：2 B．按键显示结果：64 C．用计算器求的值时，按键顺序是 D．用计算器求的值时，按键顺序是 基础通关练 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）用计算器求2025的算术平方根时，下列四个键必须按的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）的立方根是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 4．（25-26七年级下·全国·月考）体积为2的正方体的边长为（    ） A．2的平方根 B．2的立方根 C．8的立方根 D．2的算术平方根 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是 ． 6．的立方根为 ． 7．（24-25七年级下·河南许昌·期末）计算： ． 8．（24-25七年级下·广东湛江·月考）计算：． 9．（24-25七年级下·广东东莞·月考）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 10．已知 的平方根是，的立方根是3， 求的平方根． 能力提升练 1．（25-26七年级下·全国·月考）如图所示的是小聪的数学测试卷上的填空题，他该题的得分应是（    ） 填空（每题5分，共30分） 1．的绝对值是． 2.  的倒数是． 3．的相反数是0.8． 4．的立方根是． 5．算术平方根是它本身的数是1． 6．的算术平方根是8． A．30分 B．25分 C．20分 D．15分 2．（2026七年级下·全国·专题练习）下列运算正确的为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东广州·期中）下列判断：①10的平方根是；②与互为相反数；③0.1的算术平方根是0.01；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．与 B．-3与 C．与 D．与 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若，则的立方根是 ． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，，则 ． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 7．若，，则 ． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： (1) (2) (3)（精确到0.01） 9．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 10．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 拔尖拓展练 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）若a是的平方根，则（    ） A．－3 B． C．或 D．3或－3 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列说法中，正确的有（   ）个 （1）的立方根是 （2）的算术平方根是 （3）点到x轴的距离是2 （4）是的一个平方根 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级下·湖南郴州·月考）若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为 ． 5．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在数轴上的两个点表示为实数，，化简： ． 6．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知，，依据立方根运算规律得： ． 7．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知的平方根是，的立方根是，则 ． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）解方程： (1)； (2)． 9．（25-26七年级下·全国·周测）已知且A是的算术平方根，且B是的立方根，为整数，求的值的平方根． 10．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七讲 立方根 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1. 能区分立方根与平方根的异同（如负数的立方根存在，平方根不存在）。 2. 理解立方根的唯一性，解释为何每个实数有且仅有一个立方根。 3.借助几何模型（如体积为V的正方体棱长计算），建立立方根与三维空间的联系，增强空间观念。 4.解决实际问题（如已知正方体体积求棱长、工程中的材料计算），体会立方根的实用价值。 重点：平方根的被开方数非负，立方根的被开方数可为任意实数；平方根有正负两个值，立方根仅有一个值。 难点：立方根的唯一性与平方根的对比：解释为何立方根具有唯一性，而平方根存在“±”双解，避免混淆。   教学重难点 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：立方根、开立方的定义 2 知识点二：立方根的性质 2 知识点三：用计算器求一个数的立方根的方法 3 优选考点讲练 3 考点一：立方根概念理解 3 考点二：求一个数的立方根 4 考点三：已知一个数的立方根，求这个数 6 考点四：与立方根有关的规律探索 7 考点五：立方根的实际应用 9 考点六：算术平方根和立方根的综合应用 11 考点七：计算器—平方根和立方根 12 三难度分层练（基础 提升 拔尖） 14 基础通关练 14 能力提升练 17 拔尖拓展练 22 知识点一：立方根、开立方的定义 1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. 2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数. 3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. 4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算. 知识点二：立方根的性质 1、立方根的性质： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【易错点拨】 任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个. 2、立方根的两个重要性质： ①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即，利用它可以把一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. ②. 3、平方根与立方根的区别和联系： （1）平方根与立方根的区别： （2）平方根与立方根的联系： 知识点三：用计算器求一个数的立方根的方法 一般计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值)．按键顺序为先按键，再输入被开方数，最后按键．有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根．按键顺序为先按键，再按键，再输入被开方数，最后按键． 考点一：立方根概念理解 【例1】（25-26八年级上·上海·期中）下列语句正确的是（    ） A．是5的一个平方根 B．400万有7个有效数字 C．近似数12.8和12.80表示的意义是相同的 D．一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1 【答案】A 【思路引导】本题考查近似数、有效数字、平方根、立方根，根据它们的定义逐项判断即可． 【完整解答】解：A：5的平方根是，故是5的一个平方根，故A正确； B：400万有3个有效数字，故B错误； C：近似数12.8和12.80表示的意义是不同的，12.8精确到十分位，12.80精确到百分位，故C错误； D：一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是0，故D错误． 故选：A． 【变式1】立方根是它本身的数是 ， ，的平方根是 ． 【答案】 0，，1 【思路引导】本题考查平方根、算术平方根、立方根的意义，理解和掌握平方根、算术平方根和立方根的意义是正确计算的前提．根据算术平方根、平方根、立方根的意义进行计算即可． 【完整解答】解：，，， 立方根是它本身的数是0，，1， ， 的平方根是， 故答案为：0，，1；；． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）已知与互为相反数，求a的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了相反数、立方根、解一元一次方程的应用，解题的关键是能根据题意得出方程． 根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解． 【完整解答】解：与互为相反数， ， ，即， 解得． 考点二：求一个数的立方根 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）计算下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)1 (4) 【思路引导】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键． （1）根据以及立方根的定义进行计算即可； （2）根据以及立方根的定义进行计算即可； （3）根据以及立方根的定义进行计算即可； （4）根据以及立方根的定义进行计算即可． 【完整解答】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知的算术平方根是，的立方根为1，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根的概念，立方根的概念，求一个数的平方根． 根据算术平方根的概念，立方根的概念求出，，则，求其平方根即可． 【完整解答】解： 的算术平方根是，的立方根为1， ，， 解得，． ， 的平方根为． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)判断是有理数还是无理数，并说明理由． 【答案】(1)   (2)是有理数   见解析 【思路引导】本题考查了平方根的性质、立方根的计算以及有理数与无理数的定义，解题关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”建立方程，以及掌握立方根的计算方法． （1）一个正数的两个不同平方根互为相反数，所以它们的和为，据此可以列方程求出的值，再代入求出其中一个平方根，进而求出； （2）将（1）中求得的代入表达式，计算出结果后根据有理数和无理数的定义进行判断． 【完整解答】（1）解：由题意，得， 解得， 将代入，得其中一个平方根为， 则． （2）解：将，代入，得 ∵ 是整数，属于有理数， ∴是有理数． 考点三：已知一个数的立方根，求这个数 【例3】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是，则的平方根为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用平方根的性质和立方根的定义进行解题． 【完整解答】解：由题意，一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 即 ， 解得： ， 又∵ 的立方根是 ， ∴ ， 解得： ， 则 ， ∴ 的平方根是 ． 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知x的两个不同的平方根分别是和，的立方根是3．求的算术平方根． 【答案】 4 【思路引导】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的定义，解题的关键是利用平方根的性质求出，利用立方根的定义求出，再计算目标代数式的算术平方根． 根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求的值，进而求出；根据立方根的定义列方程求出；计算的值后，求其算术平方根． 【完整解答】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得，即a = 4， ∴． ∵的立方根是， ∴， 将代入得， 解得． ∴， ∵16的算术平方根是， 答：的算术平方根是． 考点四：与立方根有关的规律探索 【例4】（25-26八年级上·山西临汾·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查立方根与被开方数的关系，掌握这个是解题的关键． 根据立方根与被开方数的关系：被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根也相应地向左或向右移动一位，选择即可． 【完整解答】解：， ． 故选：D． 【变式1】如果，，那么 ． 【答案】                                           【思路引导】本题主要考查立方根的性质，通过观察0.0237与23.7的关系，利用立方根的性质求解即可． 【完整解答】解：由已知条件，，且，根据立方根的性质得： 故答案为：0.2872． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 【答案】(1)①两；②9；③3；④39 (2) 【思路引导】本题考查了立方根的估算方法（利用立方数的位数特征、个位数字规律及范围界定十位数字），解题的关键是掌握“立方数的位数对应原数位数”“立方数个位数字与底数个位数字的唯一对应关系”“通过划去后三位数字确定底数十位数字的范围”这三个核心规律． （1）①通过对比（1000）和（1000000）与59319的大小，确定的位数；②根据“只有个位为9的数，其立方个位为9”确定的个位数字；③划去59319后三位得59，对比（27）和（64）的范围，确定的十位数字；④综合个位与十位数字得的结果； （2）求时，同理先判位数（对比与），再根据“个位为3的立方数对应底数个位为7”定个位，划去后三位得50，对比与定十位，最终得结果． 【完整解答】（1））①解：∵，，且， ∴是两位数； 故答案为：两． ②解：∵只有个位数字为9的数，其立方的个位数字为9（），且59319的个位为9， ∴的个位为9； 故答案为：9． ③解：划去59319后面三位319得59， ∵，，且， ∴的十位为3； 故答案为：3． ④解：由①知是两位数，②知其个位为9，③知其十位为3， ∴；故答案为：39． （2）解：∵，，且， ∴， ∴是两位数； ∵只有个位数字为7的数，其立方的个位数字为3（），且50653的个位为3， ∴的个位为7；划去50653后面三位653得50， ∵，，且， ∴的十位为3； 综合得． 考点五：立方根的实际应用 【例5】王师傅打算用铁皮焊一个密封的正方体水箱，使其容积为，请你帮王师傅算一算他至少需要多大面积的铁皮．（铁皮厚度不计） 【答案】王师傅至少需要的铁皮的面积是 【思路引导】本题考查实数的计算． 假设正方体水箱边长为，根据体积公式列出方程，计算出边长，再计算表面积． 【完整解答】解：设王师傅用铁皮焊一个密封的正方体水箱的棱长为， 解得，， ∴， 故王师傅至少需要的铁皮的面积是． 【变式1】已知甲、乙两个正方体纸盒，甲纸盒棱长为，乙纸盒体积比甲纸盒体积大，求乙纸盒的棱长． 【答案】乙纸盒的棱长为 【思路引导】本题主要考查了立方根的应用，设乙纸盒的棱长为，根据乙纸盒体积比甲纸盒体积大列出方程，根据立方根求出方程的解即可． 【完整解答】解：设乙纸盒的棱长为，根据题意得： ， ， ， ， 答：乙纸盒的棱长为． 【变式2】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）（1）一个长方体的体积为.它的长、宽、高之比为.求这个长方体的表面积； （2）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的平方根. 【答案】（1）；（2） 【思路引导】（1）设这个长方体的长、宽、高分别为，， ，根据这个长方体的体积为列方程得，求得，则可得这个长方体的长、宽、高分别为，， ，进而可求出这个长方体的表面积； （2）根据平方根的性质可得，求得．根据立方根的定义可得，求得，再代入中，求得，再根据平方根的定义即可得解． 本题主要考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． 【完整解答】(1)解：设这个长方体的长、宽、高分别为，， ， 则， ， ， ， ∴，， ∴这个长方体的长、宽、高分别为，， ， ∴这个长方体的表面积为． （2）解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴， 解得． ∵的立方根为， ， 解得， ， 2的平方根为， ∴的平方根为． 考点六：算术平方根和立方根的综合应用 【例6】若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【完整解答】解： ∵； ∴ 故选：A. 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【完整解答】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 【变式2】李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 【答案】的立方根为，过程见解析 【思路引导】本题考查了算术平方根，平方根和立方根的综合，熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的性质是解题的关键． 根据平方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后将其代入中计算后根据立方根的定义即可求得答案． 【完整解答】解：∵的平方根是，6是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为． 考点七：计算器—平方根和立方根 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.01）： (1)； (2)． 【答案】(1)0.68 (2) 【思路引导】本题考查了求算术平方根、求平方根，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用计算器并结合算术平方根的定义计算即可得解； （2）利用计算器并结合平方根的定义计算即可得解． 【完整解答】（1）解：； （2）解：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·假期作业）在用计算器求45的算术平方根时，需要用到的按键是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了用计算器求算术平方根，解题的关键是掌握用计算器求算术平方根的按键顺序和方法．根据用计算器求算术平方根的方法，即可进行解答． 【完整解答】解：计算器求45的算术平方根时，需要用到的按键是， 故选：B． 【变式2】（2024·山东临沂·一模）下列关于计算器的按键说法中，错误的是（   ） A．按键显示结果：2 B．按键显示结果：64 C．用计算器求的值时，按键顺序是 D．用计算器求的值时，按键顺序是 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了利用计算器进行有理数的相关运算，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能． 根据计算器的按键对应的功能即可求解． 【完整解答】 解：A．按键显示结果：2，正确，不符合题意； B．按键显示结果：64，正确，不符合题意；     C．用计算器求的值时，按键顺序是，正确，不符合题意； D．用计算器求的值时，按键顺序是，故原选项错误，符合题意． 故选：D． 基础通关练 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）用计算器求2025的算术平方根时，下列四个键必须按的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了利用计算器求算术平方根，知道计算器各个按键的功能是解决问题的关键． 根据题意，的算术平方根为，所以必须按的键是根号键． 【完整解答】解： 算术平方根的计算需按根号键 ， 故选： C． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解题的关键． 根据立方根的概念，求立方根逐一验证选项即可． 【完整解答】解： ， 的立方根是． 故选：A． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【完整解答】解：∵立方根是， ∴这个数为， 故选：A． 4．（25-26七年级下·全国·月考）体积为2的正方体的边长为（    ） A．2的平方根 B．2的立方根 C．8的立方根 D．2的算术平方根 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了立方根的定义，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． 正方体的体积公式为边长立方，已知体积为，故边长为的立方根. 【完整解答】解：∵ 正方体体积 ，且， ∴ ， ∴（的立方根）. 故选：B. 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】任意实数 【思路引导】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键． 根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此的取值范围没有限制． 【完整解答】解：∵立方根运算对任意实数都有意义， ∴对于，可以是任意实数， 即的取值范围是任意实数． 故答案为：任意实数． 6．的立方根为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据立方根的定义求解． 【完整解答】解：的立方根为， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·河南许昌·期末）计算： ． 【答案】1 【思路引导】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根．先计算和，再求它们的和，即可作答． 【完整解答】解：， 故答案为：1 8．（24-25七年级下·广东湛江·月考）计算：． 【答案】3 【思路引导】本题考查含乘方的有理数的混合运算，算术平方根，立方根，掌握知识点是解题的关键． 先计算乘方，算术平方根，立方根，再进行有理数的混合运算即可． 【完整解答】解： ． 9．（24-25七年级下·广东东莞·月考）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】2 【思路引导】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，以及一元一次方程的解法，熟记概念并列出方程是解题的关键．根据平方根求出，由立方根求出，然后代入即可求出答案. 【完整解答】解： 的平方根是 ，； 的立方根是2 ， ∴， ∴； ， 的算术平方根为． 10．已知 的平方根是，的立方根是3， 求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方根与立方根的定义，根据平方根的定义，可求出x的值，再利用立方根的定义，可求出y的值，将x，y代入求值，再取平方根． 【完整解答】解：∵的平方根是， ∴， ∴． ∵的立方根是3， ∴， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴的平方根为． 能力提升练 1．（25-26七年级下·全国·月考）如图所示的是小聪的数学测试卷上的填空题，他该题的得分应是（    ） 填空（每题5分，共30分） 1．的绝对值是． 2.  的倒数是． 3．的相反数是0.8． 4．的立方根是． 5．算术平方根是它本身的数是1． 6．的算术平方根是8． A．30分 B．25分 C．20分 D．15分 【答案】D 【思路引导】本题考查的是绝对值，倒数，相反数，立方根，算术平方根，掌握其各自定义是解题的关键． 检查小聪每道填空题的答案是否正确，每题分，完全正确才得分. 【完整解答】解：∵ 第题：的绝对值是，即，正确； 第题：的倒数应是，小聪答，错误； 第题：的相反数是，正确； 第题：的立方根是，正确； 第题：算术平方根是它本身的数有和，小聪只答，不完整，错误； 第题：，的算术平方根是=，不是，错误； ∴ 小聪答对第题，共题，得分分. 故选：D． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）下列运算正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平方根和立方根的概念，算术平方根为非负数，立方根可为负数． 本题考查了算术平方根，立方根，熟练掌握相关概念是解题关键． 【完整解答】解：∵ 算术平方根定义，表示的算术平方根；立方根定义，表示的立方根． A、，错误； B、，正确； C、，错误； D、，错误； 故选：B． 3．（23-24七年级下·广东广州·期中）下列判断：①10的平方根是；②与互为相反数；③0.1的算术平方根是0.01；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查平方根、立方根和算术平方根的概念，掌握平方根、立方根和算术平方根的定义是解题关键，注意算术平方根的非负性，根据定义逐一判断各命题的正确性． 【完整解答】解：∵ 10的平方根是，故①正确； ∵与互为相反数，故②正确； ∵0.1的算术平方根是，而，故③错误； ∵成立，故④正确； ∴正确的命题有3个， 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．与 B．-3与 C．与 D．与 【答案】C 【思路引导】本题考查的是算术平方根，绝对值，相反数与立方根，熟记概念是解题的关键． 判断各组数是否互为相反数，即和是否为零，需计算每组数值并验证. 【完整解答】解：A、，，，不是相反数，不符合题意； B、，，不是相反数，不符合题意； C、，，是相反数，符合题意； D、，不是相反数，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若，则的立方根是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了非负数的性质，立方根等知识，根据非负数的性质，平方项和算术平方根项均非负，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出和的值，再计算并求其立方根． 【完整解答】解：∵， ∴ ，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，，则 ． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 【答案】 【思路引导】本题主要考查了求一个数的立方根，被开立方的数的小数点每向左移动三位，则开立方的结果的小数点向左移动一位，据此可得答案． 【完整解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 7．若，，则 ． 【答案】1或 【思路引导】本题考查求一个数的平方根，立方根，求代数式的值．先由平方根，立方根的定义求出a，b，进而可以求解． 【完整解答】解：∵，， ∴，， 当，时，， 当，时，， ∴或． 故答案为：1或 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： (1) (2) (3)（精确到0.01） 【答案】(1)1.7 (2)-21 (3)3.05 【思路引导】本题考查了计算器计算数的立方根，近似数，解题的关键要掌握计算器的使用方法． （1）（2）利用计算器计算数的立方根即可； （3）利用计算器计算数的立方根，再把结果精确到即可． 【完整解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 9．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据的平方根是，的立方根是3，得，，求出，，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【完整解答】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3． ∴，， ∴，， 解得，． （2）解：由（1）得，， 则． 故的平方根为． 10．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【思路引导】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【完整解答】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 拔尖拓展练 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）若a是的平方根，则（    ） A．－3 B． C．或 D．3或－3 【答案】C 【思路引导】本题考查了平方根与立方根的定义，掌握先计算平方得到基础值，再求平方根确定的可能值，最后求立方根是解题的关键． 先计算 的值，得到 9，则 是 9 的平方根，即或，再求的立方根即可． 【完整解答】解：∵  ， ∴ 是 9 的平方根，即 ， 当 时，， 当 时，， ∴ 或 ， 故选： C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查了立方根的定义与计算，掌握通过计算立方值来验证立方根的正确性是解题的关键． 逐一验证每个立方根表达式是否正确． 【完整解答】解：对于第一个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第二个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第三个：∵ ，∴ ，错误； 对于第四个：∵ ，∴ ，∴ 错误； 综上，正确的个数为． 故选：B． 3．下列说法中，正确的有（   ）个 （1）的立方根是 （2）的算术平方根是 （3）点到x轴的距离是2 （4）是的一个平方根 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了坐标，立方根以及算术平方根和平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用立方根以及算术平方根和平方根的定义，和坐标的意义分别判断得出答案． 【完整解答】解：（1）的立方根是，故此选项错误； （2）的算术平方根是，故此选项错误； （3）点到x轴的距离是，故此选项错误； （4）的平方根是，故此选项正确； 综上可得，说法中正确的有个， 故选：A． 4．（24-25七年级下·湖南郴州·月考）若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查平方根与立方根有关计算，根据题意得出，，代入求解即可得到答案． 【完整解答】解：∵是数a的立方根，是数b的一个平方根， ∴，， ∴， 故答案为：1． 5．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在数轴上的两个点表示为实数，，化简： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，算术平方根，立方根的含义，整式的加减运算的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键．由数轴可得出a ，b ，c的大小关系，可得，，再化简即可． 【完整解答】解：根据数轴上点的位置得：，， ∴，， ∴ ． 6．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知，，依据立方根运算规律得： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知的平方根是，的立方根是，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查代数式求值，涉及平方根定义、立方根定义定义等知识，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 根据题意求出值，再代入计算即可． 【完整解答】解： 的平方根是， ， ； 的立方根是， ， ； ； 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题考查了根据立方根和平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【完整解答】（1）解：， ， 或 ， 或． （2）解：， ， ， ． 9．（25-26七年级下·全国·周测）已知且A是的算术平方根，且B是的立方根，为整数，求的值的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 根据算术平方根的定义求出，将求出的代入得到的值，根据立方根的定义求出，将求出的代入得到的值，从而可求出的值的平方根． 【完整解答】解：且是的算术平方根， ， 解得， ． 且是的立方根， ， 解得， ， ， 的值的平方根是． 10．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【思路引导】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【完整解答】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又 的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $