（寒假讲义-预习篇）第六讲 平方根（十大重点考点练+三难度分层练 共48题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册精编培优讲练

第六讲 平方根 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1. 理解平方根和算术平方根的定义；掌握平方根的性质；能准确求非负数的平方根和算术平方根；会用计算器求平方根近似值； 2. 经历“逆运算探究—概念形成—性质归纳—应用拓展”的流程，掌握“对比区分”“实例验证”的学习方法； 3. 通过实际问题激发学习兴趣，在探究中培养严谨思维，感受数系扩充的必要性。   教学重难点 重点：平方根和算术平方根的定义；求非负数的平方根和算术平方根；平方根的性质。 难点：区分平方根和算术平方根；理解“负数没有平方根”；运用平方根解决实际问题。 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：算术平方根的定义和性质 2 知识点二：算术平方根的估算 2 知识点三：用计算器求算术平方根 3 知识点四：平方根的定义和性质 3 优选考点讲练 4 考点一：平方根概念理解 4 考点二：求一个数的平方根 4 考点三：求代数式的平方根 5 考点四：已知一个数的平方根，求这个数 5 考点五：利用平方根解方程 6 考点六：求一个数的算术平方根 6 考点七：利用算术平方根的非负性解颎 7 考点八：估计算术平方根的取值范围 7 考点九：与算术平方根有关的规律探索题 7 考点十：算术平方根的实际应用 8 三难度分层练（基础 提升 拔尖） 8 基础通关练 8 能力提升练 9 拔尖拓展练 11 知识点一：算术平方根的定义和性质 1、算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记作：，读作:“根号a”. 即 x2=a (x>0) x叫做a的算术平方根，记作：x=. 规定：0的算术平方根是0. 记作: =0. 2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性. ①被开方数一定是非负数，即a≥0. ②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0. 3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. 4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 【易错点拨】 实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”. 知识点二：算术平方根的估算 求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用逼近法，是指从两边确定取值范围，一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度. 知识点三：用计算器求算术平方根 1、在求某些数的算术平方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根，为了提高计算速度，我们可以利用计算器，按照一定的按键顺序直接快速地求出这个数的算术平方根. 2、大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 知识点四：平方根的定义和性质 1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根. 3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-. 正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”． 4、算术平方根与平方根的联系和区别： （1）平方根与算术平方根的区别 （2）平方根与算术平方根的联系 5、平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 考点一：平方根概念理解 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 【变式】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法： ①是5的一个平方根； ②的算术平方根是－3； ③的平方根是； ④0的平方根是0． 其中错误说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二：求一个数的平方根 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）分别求下列各数的平方根： (1)169 (2)0.81 (3) (4) 【变式】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的平方根是与， (1)求a的值和这个正数 (2)求的平方根 考点三：求代数式的平方根 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【变式】（23-24八年级上·四川宜宾·期中）（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 考点四：已知一个数的平方根，求这个数 【例4】（24-25八年级上·福建泉州·月考）若一个正数的两个平方根为和，则这个数是 ． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 考点五：利用平方根解方程 【例5】解方程 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程： (1) ． (2)． 考点六：求一个数的算术平方根 【例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 考点七：利用算术平方根的非负性解颎 【例7】（2026七年级下·全国·专题练习）已知，满足，则的值等于 ． 【变式】（24-25七年级下·天津南开·月考）如果与互为相反数，那么的算术平方根是 ． 考点八：估计算术平方根的取值范围 【例8】（24-25八年级上·山西太原·期中）观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（    ） A．在3.4～3.5之间 B．在之间 C．在35～36之间 D．在0.35～0.36之间 【变式】（23-24七年级下·福建福州·月考）某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为． 王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 考点九：与算术平方根有关的规律探索题 【例9】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 根据以上规律，若，，则 ． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 考点十：算术平方根的实际应用 【例10】（24-25七年级下·天津·月考）如图1，把两个面积都为的小正方形分别沿对角线（虚线）剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形（如图2），那么该大正方形的边长为 ． 基础通关练 1．16的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：（    ） A．0.3 B． C．0.9 D． 3．的值是（   ） A． B．2 C． D． 4．（25-26七年级下·全国·周测）若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 5．（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 6．（25-26七年级下·全国·单元测试）的相反数是 ． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）若的算术平方根是5，则 ． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）排球比赛场地呈长方形，长是宽的2倍，面积为．它的长与宽分别是多少？ 能力提升练 1．（25-26七年级下·全国·周测）已知某实数的算术平方根是，则这个数的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（    ） A．8是64的算术平方根 B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 3．（24-25七年级下·广东湛江·月考）一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ） A．9 B． C．2 D． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为 ． 5．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 6．（23-24七年级下·重庆永川·期中）若一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数等于 ． 7．（25-26七年级下·全国·期中）已知一个正数的平方根分别是和，则的值为 ． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为． (1)请用含x的式子表示y，则__________； (2)小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形，请求出y的值． 10．（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 拔尖拓展练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若x是的平方根，则的正的平方根是（    ） A．1 B． C．1或5 D．1或 2．的平方根是（　　） A． B．3 C． D． 3．（24-25七年级下·四川泸州·月考）已知实数a满足，那么的值为（ ） A．1 B．2025 C．2026 D．2027 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若m是的平方根，是n的一个平方根，且，则 ． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知与都是的平方根，则的值为 ． 6．若和都是3的平方根，则 ． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）若实数x，y，z满足，则的平方根为 ． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 9．（25-26七年级下·全国·周测）已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．已知b是最小的正整数，且a，c满足． (1)求式子的值． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数． (3)已知数轴上存在一点D，使得，求点D表示的数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六讲 平方根 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1. 理解平方根和算术平方根的定义；掌握平方根的性质；能准确求非负数的平方根和算术平方根；会用计算器求平方根近似值； 2. 经历“逆运算探究—概念形成—性质归纳—应用拓展”的流程，掌握“对比区分”“实例验证”的学习方法； 3. 通过实际问题激发学习兴趣，在探究中培养严谨思维，感受数系扩充的必要性。   教学重难点 重点：平方根和算术平方根的定义；求非负数的平方根和算术平方根；平方根的性质。 难点：区分平方根和算术平方根；理解“负数没有平方根”；运用平方根解决实际问题。 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：算术平方根的定义和性质 2 知识点二：算术平方根的估算 2 知识点三：用计算器求算术平方根 3 知识点四：平方根的定义和性质 3 优选考点讲练 4 考点一：平方根概念理解 4 考点二：求一个数的平方根 5 考点三：求代数式的平方根 7 考点四：已知一个数的平方根，求这个数 8 考点五：利用平方根解方程 9 考点六：求一个数的算术平方根 9 考点七：利用算术平方根的非负性解颎 11 考点八：估计算术平方根的取值范围 11 考点九：与算术平方根有关的规律探索题 13 考点十：算术平方根的实际应用 14 三难度分层练（基础 提升 拔尖） 15 基础通关练 15 能力提升练 18 拔尖拓展练 23 知识点一：算术平方根的定义和性质 1、算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记作：，读作:“根号a”. 即 x2=a (x>0) x叫做a的算术平方根，记作：x=. 规定：0的算术平方根是0. 记作: =0. 2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性. ①被开方数一定是非负数，即a≥0. ②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0. 3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. 4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 【易错点拨】 实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”. 知识点二：算术平方根的估算 求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用逼近法，是指从两边确定取值范围，一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度. 知识点三：用计算器求算术平方根 1、在求某些数的算术平方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根，为了提高计算速度，我们可以利用计算器，按照一定的按键顺序直接快速地求出这个数的算术平方根. 2、大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 知识点四：平方根的定义和性质 1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根. 3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-. 正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”． 4、算术平方根与平方根的联系和区别： （1）平方根与算术平方根的区别 （2）平方根与算术平方根的联系 5、平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 考点一：平方根概念理解 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了平方根的概念，熟知如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根是解题的关键． 由 可得 x 的值，代入 求值，再求其平方根. 【完整解答】解：∵ ， ∴ . 当时，，的平方根为； 当时，，的平方根为. ∴的平方根是或. 故选：C． 【变式】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法： ①是5的一个平方根； ②的算术平方根是－3； ③的平方根是； ④0的平方根是0． 其中错误说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握求一个数的平方根和算术平方根的定义． 逐一分析各说法是否正确，结合平方根和算术平方根的定义进行判断． 【完整解答】解：说法①：是5的一个平方根； 平方根的定义：若，则是的平方根，5的平方根为，其中是正的平方根（即算术平方根），因此，确实是5的一个平方根，①正确，不符合题意； 说法②：的算术平方根是； 计算，其算术平方根为（算术平方根非负），题目中结果为，显然错误，②错误，符合题意； 说法③：的平方根是； 先计算，再求2的平方根为，题目中结果为，与不符，③错误，符合题意； 说法④：0的平方根是0； 根据定义，0的平方根仅有0本身，④正确，不符合题意； 综上，错误的说法为②和③，共2个， 故选：B． 考点二：求一个数的平方根 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）分别求下列各数的平方根： (1)169 (2)0.81 (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据以及平方根的定义进行计算即可； （2）根据以及平方根的定义进行计算即可； （3）根据以及平方根的定义进行计算即可； （4）根据以及平方根的定义进行计算即可． 【完整解答】（1）解：的平方根为； （2）解：的平方根为； （3）解：， 又的平方根为； 的平方根为； （4）解：的平方根为． 【变式】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的平方根是与， (1)求a的值和这个正数 (2)求的平方根 【答案】(1) ，这个正数是100 (2) 【思路引导】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求的值；再将代入平方根表达式，平方后得到这个正数； （2）先计算的值，再求其平方根． 【完整解答】（1）解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得． 则这个正数的平方根为与， ∴这个正数为． 答：的值为，这个正数为． （2）解：当时，， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 答：的平方根为． 考点三：求代数式的平方根 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【思路引导】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【完整解答】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 【变式】（23-24八年级上·四川宜宾·期中）（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 【答案】（1），    （2） 【思路引导】本题考查了平方根的应用： （1）根据平方根的定义可得，求得的值，进而求得和x； （2）根据被开方数为非负数，可得，求得的值，代入求得的平方根即可． 【完整解答】解：（1）， 解得， 则， ； （2） ， ， ， 则的平方根是． 考点四：已知一个数的平方根，求这个数 【例4】（24-25八年级上·福建泉州·月考）若一个正数的两个平方根为和，则这个数是 ． 【答案】25 【思路引导】本题考查平方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求解． 【完整解答】解：由题意，得， 解得， 则这个正数为． 故答案为：25． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】(1) (2)这个数是1或9 【思路引导】（1）根据平方运算，可得的值，求解可得答案； （2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得的值，根据平方运算，可得答案． 【完整解答】（1）解：∵的一个平方根是3， ∴，解得． （2）解：∵都是同一个数的平方根， ∴或，解得或， ∴或， ∴这个数是1或9． 【考点剖析】本题考查了平方根的概念，熟练掌握相关定义是解决本题的关键． 考点五：利用平方根解方程 【例5】解方程 【答案】， 【思路引导】此题主要考查了利用平方根解方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式，然后利用平方根求解即可． 【完整解答】解： ， ， ， ∴，． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【思路引导】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）（2）根据平方根的定义进行计算即可． 【完整解答】（1）解：由得， ∴， 解得，． （2）解：由得， ∴， 解得，． 考点六：求一个数的算术平方根 【例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据算术平方根和平方根的定义，逐项判断即可． 本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 【完整解答】解：A、，符合题意； B、表示的平方根，结果为，原式错误，不符合题意； C、，不符合题意； D、，，，不符合题意； 故选： A． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【答案】（1）3，0.5，0，6，；（2）；（3）①；② 【思路引导】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律是解决第（3）小问的关键． （1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）从（1）中可以得到规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； （3）①②利用（2）中总结的规律化简即可． 【完整解答】解：（1）计算：，，，，． （2）观察（1）中的等式，可以发现，． （3）①．   ， ， ． ②． ， ． 考点七：利用算术平方根的非负性解颎 【例7】（2026七年级下·全国·专题练习）已知，满足，则的值等于 ． 【答案】1 【思路引导】根据非负数的性质，平方项和算术平方根均非负，它们的和为零，则每个部分均为零，由此可求出和的值． 本题考查了算术平方根和完全平方式的非负性，掌握非负数的性质并能准确求解字母的值是解题的关键． 【完整解答】解：∵ ，，且 ， ∴ 且 ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ； ∴ ． 故答案为：1． 【变式】（24-25七年级下·天津南开·月考）如果与互为相反数，那么的算术平方根是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的算术平方根等知识．先根据与互为相反数，求出，进而得到，即可求出的算术平方根是． 【完整解答】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 考点八：估计算术平方根的取值范围 【例8】（24-25八年级上·山西太原·期中）观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（    ） A．在3.4～3.5之间 B．在之间 C．在35～36之间 D．在0.35～0.36之间 【答案】B 【思路引导】本题考查了估算无理数大小，根据表中的数据可得1269的平方根在35到36之间，进而可得12.69的平方根在3.5到3.6之间． 【完整解答】解：根据表中数据可得1269的平方根在35到36之间， ∵， ∴在之间， 故选：B． 【变式】（23-24七年级下·福建福州·月考）某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为． 王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析 【思路引导】本题考查了一元二次方程、算术平方根的实际应用和估算无理数的大小． 先求出正方形的边长为，再分别求出两种方案的长方形的长和宽，最后比较大小即可． 【完整解答】解：方案一可行． ∵正方形木板的面积为， 正方形木板的边长为． 如图所示，沿着裁剪， ∵， 只要使就满足条件； 方案二不可行．理由如下： 设所裁长方形装饰材料的长为、宽为， 则，即， 解得（负值已舍去）， 所裁长方形的长为， ∵， 所裁长方形的长大于正方形的边长， 方案二不可行． 考点九：与算术平方根有关的规律探索题 【例9】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 根据以上规律，若，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根，读懂题意，理解表格数据的规律是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此即可得到答案． 【完整解答】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位， ∵, ∴， 故答案为：． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 【答案】（1）0.1  10   （2）右  1   （3）①22.4  ②25 【思路引导】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【完整解答】解：（1）由表格可知，，． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到500，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②由及（2）中的规律可知， 则 ∴ 即． 考点十：算术平方根的实际应用 【例10】（24-25七年级下·天津·月考）如图1，把两个面积都为的小正方形分别沿对角线（虚线）剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形（如图2），那么该大正方形的边长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 由题意得到大正方形的面积为6，再根据正方形的面积计算方法，求出正方形面积的算术平方根即可求解， 【完整解答】解：由题意可得，大正方形的面积为， ∴该大正方形的边长为， 故答案为：． 基础通关练 1．16的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查求一个数的平方根，根据定义，一个正数的平方根有两个且互为相反数即可解答． 【完整解答】解：∵， ∴ 16的平方根是， 故选C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：（    ） A．0.3 B． C．0.9 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是解题的关键． 算术平方根定义为非负数的非负平方根，表示求的算术平方根． 【完整解答】解：， ， 故选：C ． 3．的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了求算术平方根．根据算术平方根的定义，解答即可． 【完整解答】解：． 故选：B． 4．（25-26七年级下·全国·周测）若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 【答案】D 【思路引导】先根据已知方程求出的值，再计算的算术平方根，最后逐一判断选项． 【完整解答】解：∵ = 7， ∴ 两边平方得：． ∴ ． ∴ 的算术平方根为 ． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了算术平方根的定义与方程求解，解题关键是先通过方程求出的值，再根据算术平方根的定义计算结果，避免混淆“”与“的算术平方根”这两个概念． 5．（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查算术平方根的定义，关键是理解算术平方根为非负的平方根，即若()，则是的算术平方根． 【完整解答】解：，且， 的算术平方根是． 故答案为：2． 6．（25-26七年级下·全国·单元测试）的相反数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根和相反数的定义，掌握先求数的算术平方根，再求其相反数是解题的关键． 先求的算术平方根，再求其相反数． 【完整解答】解：因为， 所以， 故的相反数是． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）若的算术平方根是5，则 ． 【答案】13 【思路引导】本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义，由的算术平方根是，可得，解方程即可求出． 【完整解答】解：∵ 的算术平方根是， ∴ ， 解得． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)4 (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数的乘方和算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）先算乘方，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据算术平方根的定义求解即可； （3）先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （4）先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解即可； 【完整解答】（1）解：， ∵， ∴的算术平方根为； （2）解：∵， ∴的算术平方根为； （3）解：， ∵， ∴的算术平方根为4． （4）解：， ∵， ∴的算术平方根为． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）排球比赛场地呈长方形，长是宽的2倍，面积为．它的长与宽分别是多少？ 【答案】长与宽分别是，宽是． 【思路引导】本题考查的是算术平方根的应用，设宽为，则长为，由面积可得，进一步可得答案． 【完整解答】解：设宽为，则长为， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴长与宽分别是，宽是． 能力提升练 1．（25-26七年级下·全国·周测）已知某实数的算术平方根是，则这个数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了算术平方根，相反数的概念，掌握相关概念是解题的关键. 根据算术平方根的定义，该实数为 ，其相反数为. 【完整解答】解：设该实数为 ， ∵ （）， ∴ ， ∴ 相反数为 . 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（    ） A．8是64的算术平方根 B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】C 【思路引导】本题考查平方根和算术平方根的概念，理解相关概念是解题的关键． 根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断各选项的正确性． 【完整解答】解：A、的算术平方根是，正确，不符合题意； B、的平方根是，是其中一个平方根，正确，不符合题意； C、，36的平方根是，选项说平方根是不全面，错误，符合题意； D、，的平方根是，正确，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级下·广东湛江·月考）一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ） A．9 B． C．2 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了根据平方根求原数． 利用正数的平方根互为相反数的性质，列方程求出a，再计算平方根和原数． 【完整解答】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 即， ∴， ∴一个平方根为， ∴这个正数为． 故选：A． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为 ． 【答案】36 【思路引导】根据平方根的性质，两个平方根互为相反数，列方程求解． 本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题的关键． 【完整解答】解：由题意，两个平方根互为相反数，故 ． 化简得 ，解得 ． 代入得平方根为 和 ， 因此这个正数为 ． 故答案为：36． 5．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】9 【思路引导】本题考查了平方根的性质，利用正数的两个平方根互为相反数列方程求解是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列出方程求解，即可得这个正数的平方根，将其中一个平方根平方，即可得出． 【完整解答】解：由题意，得 ， 化简得 ， 解得 ， 则一个平方根为 ，另一个平方根为 ， 故这个正数为 ． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·重庆永川·期中）若一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数等于 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方根的定义和性质，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求解的值，再根据平方根的定义即可求出这个正数． 【完整解答】解：由题意，得， 解得， 则一个平方根为， 所以这个正数为． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·期中）已知一个正数的平方根分别是和，则的值为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查平方根，理解平方根的定义以及一个正数的两个平方根的特征是正确解答的关键． 根据正数的平方根互为相反数，列出方程求解． 【完整解答】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， . 化简得 ， 即 ， 移项得， 解得 ． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （3）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （4）根据以及算术平方根的定义进行计算即可． 【完整解答】（1）解：∵， ； （2）解：∵，且， ，即； （3）解：∵，且， ，即； （4）解：∵， ， ． 9．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为． (1)请用含x的式子表示y，则__________； (2)小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形，请求出y的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了列代数式，代数式求值，求一个数的算术平方根． （1）根据长方形周长公式计算即可； （2）根据正方形面积公式求出x的值，代入计算即可． 【完整解答】（1）∵小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形， ∴， 即， ∴． 10．（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【思路引导】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【完整解答】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 拔尖拓展练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若x是的平方根，则的正的平方根是（    ） A．1 B． C．1或5 D．1或 【答案】D 【思路引导】先计算的值，再求其平方根得到，然后计算，最后求的正的平方根（算术平方根）． 本题考查平方根的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键．注意：一个正数的平方根有两个，一个正数的算术平方根只有一个． 【完整解答】解：∵， 又∵ 是的平方根， ∴或． 当时，，的正的平方根为； 当时，，的正的平方根为． ∴的正的平方根是1或． 故选：D． 2．的平方根是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的平方，解题的关键是逐步计算． 先计算根号内的平方，得到算术平方根，再求其平方根． 【完整解答】解：∵， ∴的平方根是， 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川泸州·月考）已知实数a满足，那么的值为（ ） A．1 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【思路引导】本题考查算术平方根和绝对值，计算出字母的取值范围，化简绝对值是解决本题的关键． 根据算术平方根有意义，求出的范围，化简绝对值，即可求解． 【完整解答】解：根据题意可得， ， ， 可得， ， ， ． 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若m是的平方根，是n的一个平方根，且，则 ． 【答案】8 【思路引导】本题主要考查了平方根的定义等知识点，掌握相关概念是解题的关键． 先计算的值，再根据平方根的定义和条件确定的值；由是的一个平方根求的值；最后计算． 【完整解答】解：∵， ∴ ∵ 是 的平方根，且 ， ∴ ∵，且 是 的一个平方根， ∴ 则 故答案为：8． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知与都是的平方根，则的值为 ． 【答案】49或441 【思路引导】本题考查了平方根的性质，掌握一个正数的两个平方根互为相反数的性质，以及运用分类讨论思想分析两种可能情况是解题的关键． 根据平方根的性质，分类讨论两种情况：当两个式子表示同一个平方根时，它们相等；当表示两个平方根时，它们互为相反数． 【完整解答】解：①当 与 是同一个平方根时， ， 解得 ， 此时 ； ②当 与 是两个平方根时， ， 解得 ， 此时 ． 故答案为：或． 6．若和都是3的平方根，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了平方根，利用平方根的定义求解，可得答案． 【完整解答】解：3的平方根是， 由题意知， ∴， 解得， 则， ∴， ∴， 解得， ∴； 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）若实数x，y，z满足，则的平方根为 ． 【答案】±2 【思路引导】本题考查的是算术平方根、平方根，掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值均为非负数，它们的和为零时，每个部分均为零，从而求出的值． 【完整解答】解：， ，，， 解得，，． 则， ， 的平方根为， 的平方根为． 故答案为：． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了非负数的性质和代数式求值，掌握几个非负数的和为时，每个非负数都为是解题的关键． 绝对值和算术平方根都是非负数，两个非负数的和为时，这两个非负数都为，由此建立方程求出的值，再代入代数式计算． 【完整解答】解：∵，且， ∴ 即 解得：，， 当，时， 原式 ． 9．（25-26七年级下·全国·周测）已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 【答案】(1) (2)81或9． 【思路引导】本题考查了平方根的性质，解题关键是利用“平方根等于本身的数是” 和“一个数的两个平方根要么互为相反数，要么相等”这两个核心性质来建立方程． （1）一个数的平方根是它本身，说明这个数是，由此可列方程求； （2）一个数的平方根有两种情况：互为相反数或相等，需分类讨论，据此列方程求出，再代入求． 【完整解答】（1）解：∵数的平方根是它本身， ∴． 解得：． （2）解：∵和是数的平方根， ① 解得： 解得：． 将代入，得一个平方根为， ∴． ② 解得： 将代入，得一个平方根为， ∴． ∴ 的值为或． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．已知b是最小的正整数，且a，c满足． (1)求式子的值． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数． (3)已知数轴上存在一点D，使得，求点D表示的数． 【答案】(1)64 (2)－7 (3)点D表示的数是0或4 【思路引导】（1）根据非负数的性质即可确定出、的值，然后代入进行计算即可得； （2）根据是最小的正整数，确定出点、点的对称点所表示的数，通过计算即可得出与点重合的点表示的数； （3）分点在点的左边、点在点，之间、点在点的右边三种情况进行讨论即可得． 【完整解答】（1）解：（1）∵， ∴，， 解得，， ∴． （2）解：∵是最小的正整数， ∴． ∵， ∴，， ∴与点重合的点表示的数是． （3）解：设点表示的数为．分以下三种情况讨论： 若点在点的左侧，则，解得（不合题意，舍去）； 若点在点，之间，则，解得； 若点在点的右侧，则，解得． 综上所述，点表示的数是0或4． 【考点剖析】本题考查的是非负性的应用、数轴上两点之间的距离、中点公式和一元一次方程的应用，掌握平方、绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离公式、中点公式和等量关系是解决此题的关键． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $