第08讲余弦定理（知识清单+2题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（苏教版必修第二册）数学高一重难点讲义与测试

本高中数学讲义聚焦余弦定理核心知识点，系统梳理其文字语言、符号语言及变形公式，构建从定理理解到解三角形应用的学习支架，涵盖已知两边夹角、三边、两边及一边对角三类求解类型。 资料以“举三反三”题型设计为亮点，通过例题与变式题结合，培养学生数学思维中的推理与运算能力，强化训练覆盖多样题型，助力学生用数学语言表达解三角形问题，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

第08讲 余弦定理 知识清单 知识点01：余弦定理 知识点02：利用余弦定理解三角形 题型讲解 （举三反三） 题型1：余弦定理的理解 题型2：余弦定理边角互化的应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1. 余弦定理 文字语言 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2=b2+c2-2bccos A， b2=c2+a2-2cacos B， c2=a2+b2-2abcos C 余弦定理的 其他形式 cos A=， cos B=， cos C= 知识点2.利用余弦定理解三角形 类型 求解方法 已知两边和它们的夹角， 如a，b，C ①根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C，求出边c； ②根据cos A=，求出A； ③根据B=180°-(A+C)，求出B 已知三边 可以先用余弦定理求出两角(常常求较小两边所对的角)，再由A+B+C=180°求出第三个角 已知两边和其中一边的对角 可利用余弦定理求出第三边(注意边的取舍)，再运用余弦定理的另一种形式求其他的角 题型1：余弦定理的理解 【例1-1】（24-25高一下·江苏·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角，，所对的边分别为，，若，，，则边 ． 【例1-3】在 中，是角分别所对的边，. (1)求的值； (2)求的值. 【变式1-1】（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，，，，则为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，已知角，，所对的边分别，，，已知，若，，则的周长为 . 【变式1-3】（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，角的对边分别为.三个内角满足. (1)求角的值； (2)如果，并且，求的周长. 题型2：余弦定理边角互化的应用 【例2-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024高一下·全国·专题练习）在中，已知，则 . 【例2-3】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）若，求的值； （2）求的取值范围． 【变式2-1】在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式2-2】在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为 ． 【变式2-3】）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°. (1)求BC的长； (2)求sin C的值. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，则 （ ） A． B． C． D． 3．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，已知，则角（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏南京·月考）如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏淮安·月考）的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在平面四边形中，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 8．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在中，，，为三个内角，，的对边，若，则角（    ） A． B． C． D． 10．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B．若，则 C．若，则周长的最大值为6 D．若的取值范围为 11．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，所对应的边分别为，，．已知，且，，为连续正整数，则（    ） A．存在唯一的，使得 B．存在无数个，使得 C．存在唯一的，使得 D．不存在，使得 三、填空题 12．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 13．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足．若A，B，C，D四点共圆，且点D与点A位于直线BC的两侧．，，则AD= ． 14．（24-25高一下·江苏镇江·期中）在四边形中，，则的值为 . 四、解答题 15．已知 的三内角 A , B , C 所对的边分别为， 且 (1)求角C﹔ (2)若，,求的值； 16．（24-25高一下·江苏·期中）已知的内角的对边分别为，若，求中线的长． 17．已知中，，，为边上的点． (1)若，求边上的高； (2)若为的中点，且，求线段的长； (3)若平分，求线段长的取值范围． 18．在中，为的对边， (1)求的值； (2)求的值． 19．（24-25高一下·江苏淮安·月考）以为钝角的中，. (1)若，且，，求 (2)若，当角最大时，求的面积 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 余弦定理 知识清单 知识点01：余弦定理 知识点02：利用余弦定理解三角形 题型讲解 （举三反三） 题型1：余弦定理的理解 题型2：余弦定理边角互化的应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1. 余弦定理 文字语言 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2=b2+c2-2bccos A， b2=c2+a2-2cacos B， c2=a2+b2-2abcos C 余弦定理的 其他形式 cos A=， cos B=， cos C= 知识点2.利用余弦定理解三角形 类型 求解方法 已知两边和它们的夹角， 如a，b，C ①根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C，求出边c； ②根据cos A=，求出A； ③根据B=180°-(A+C)，求出B 已知三边 可以先用余弦定理求出两角(常常求较小两边所对的角)，再由A+B+C=180°求出第三个角 已知两边和其中一边的对角 可利用余弦定理求出第三边(注意边的取舍)，再运用余弦定理的另一种形式求其他的角 题型1：余弦定理的理解 【例1-1】（24-25高一下·江苏·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接用余弦定理即可证明. 【详解】由余弦定理可得， 所以. 故选：A 【例1-2】（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角，，所对的边分别为，，若，，，则边 ． 【答案】 【分析】由余弦定理可求. 【详解】由余弦定理可得，故， 故，故（负值舍） 故答案为：. 【例1-3】在 中，是角分别所对的边，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由余弦定理得出，即可求解； （2）由余弦定理，求得，求得的值，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理得，即， 整理得，解得或（舍去），所以的值为. （2）解：在中，由余弦定理得， 因为，可得， 又因为，所以 . 【变式1-1】（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，，，，则为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用余弦定理即可. 【详解】由余弦定理得，， 即，得. 故选：D 【变式1-2】（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，已知角，，所对的边分别，，，已知，若，，则的周长为 . 【答案】 【分析】由条件可得的值，再由余弦定理可得的值，代入完全平方公式即可得到，从而得到结果. 【详解】因为，则， 由余弦定理可得， 即，解得， 则，则， 所以的周长为. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，角的对边分别为.三个内角满足. (1)求角的值； (2)如果，并且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用及和差角的正弦公式，可得到，再结合角的范围，即可求出角的值； （2）利用余弦定理及题目条件，即可求出边，进而求出的周长. 【详解】（1）在中，因为， 所以. 因为， 所以， 即， 所以， 即， 又因为是三角形的内角，所以， 所以. （2）由余弦定理可得， 因为，，所以， 又因为，所以， 解得或（舍去），所以， 所以的周长为. 题型2：余弦定理边角互化的应用 【例2-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 【详解】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C 【例2-2】（2024高一下·全国·专题练习）在中，已知，则 . 【答案】2 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】由余弦定理，得. 故答案为：2 【例2-3】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）若，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）先求出B,再用余弦定理求出的值； （2）由，消去A，把表示为，利用C的范围，求出的取值范围. 【详解】∵，∴即. 又，由余弦定理得：, ∴ 配方得：， 所以. （2）∵，∴,∴， ∴ ∵, ∴ ∴的取值范围是 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 【变式2-1】在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【分析】利用余弦定理角化边，然后整理化简即可得答案. 【详解】因为， 所以， 整理得， 所以是等腰三角形. 故选：B. 【变式2-2】在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为 ． 【答案】5 【分析】根据余弦定理角化边得，即，进而求周长即可. 【详解】解：，， 由余弦定理可得：， 整理可得：，解得， 则的周长为． 故答案为：5 【变式2-3】）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°. (1)求BC的长； (2)求sin C的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用余弦定理求得的长. （2）利用余弦定理求得的值，进而求得的值. 【详解】（1）由余弦定理得. （2）由余弦定理得.由于是三角形的内角，所以. 【点睛】本小题主要考查利用余弦定理求边长，考查利用余弦定理计算角的余弦值，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】在中利用余弦定理化简题干信息即可. 【详解】在中利用余弦定理，则， 得，则为直角三角形. 故选：B 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理可求得的值. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，故. 故选：D. 3．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理即可得解. 【详解】因为，即，所以， 由余弦定理可得， 又，所以. 故选：B． 4．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，已知，则角（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用余弦定理即可求解. 【详解】在中，∵， ， ∴由余弦定理可得：. ，. 故选：C. 5．（24-25高一下·江苏南京·月考）如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】因为，, 在中，. 故选：B 6．（24-25高一下·江苏淮安·月考）的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，进而结合平面向量数量积的运算律、余弦定理求解即可. 【详解】由题意，， 则， 则 ， 则，即. 故选：A. 7．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在平面四边形中，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】首先在中，根据已知条件求出的长度.然后在中，利用余弦定理建立的关系，最后结合基本不等式求出的最小值. 【详解】在中，已知，，，即. 所以，同时. 在中，，根据余弦定可得：，即. 由基本不等式（当且仅当时取等号）. 将代入中，得到. 设，则.解得，即. 当且仅当取得最值. 故选：B. 8．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方位角可得，利用余弦定理计算可得结果. 【详解】 由题意得，，. 由余弦定理得，， ∴. 故选：C. 二、多选题 9．在中，，，为三个内角，，的对边，若，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由余弦定理化边为角即得. 【详解】由题得 根据余弦定理可知， ∴或． 故选：BD. 10．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B．若，则 C．若，则周长的最大值为6 D．若的取值范围为 【答案】BC 【分析】由余弦定理化简判断选项A；由向量夹角结合余弦定理判断选项B；利用余弦定理和基本不等式即可求解周长的最大值判断选项C；三角恒等变换得，结合A的取值范围即可得到的取值范围判断选项D. 【详解】由余弦定理得，A选项错误； 若，则，由余弦定理， 得，所以有，B选项正确； 若，，由余弦定理得，解得， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 则周长，所以周长的最大值为6，故C选项正确； 若，，， 由，得，因此的取值范围为，D选项错误. 故选：BC. 11．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，所对应的边分别为，，．已知，且，，为连续正整数，则（    ） A．存在唯一的，使得 B．存在无数个，使得 C．存在唯一的，使得 D．不存在，使得 【答案】ACD 【分析】由题意设，，，结合倍角公式及余弦定理逐个判断即可. 【详解】设，，，且， 由于边c最长，所以需满足，即，解得，故A正确；B错误； 由得，即，即， 因此有，即，所以， 代入本题数据有，解得，故C正确； 由得，即， 即，即， 即，即， 化简有，整理得，又，， 即，由求根公式可得：， 故无解，D正确． 故选：ACD 三、填空题 12．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 【答案】 【分析】由余弦定理可得答案. 【详解】， ， 故答案为： 13．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足．若A，B，C，D四点共圆，且点D与点A位于直线BC的两侧．，，则AD= ． 【答案】 【分析】根据余弦定理，结合不等式以及三角函数的有界性可得，进而可得，进而由余弦定理即可求解. 【详解】由，与相加可得， 由于，所以, 所以,由于,故， 如图可知：,，, 在中，由余弦定理可得 , 解得 或（舍去）， 故答案为： 14．（24-25高一下·江苏镇江·期中）在四边形中，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据已知有，利用余弦定理求边长即可. 【详解】由题设，且， 由. 故答案为： 四、解答题 15．已知 的三内角 A , B , C 所对的边分别为， 且 (1)求角C﹔ (2)若，,求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)角化边化简可得即可求解;(2)利用余弦定理结合已知条件即可求解. 【详解】（1）由得, 因为, 所以,因为,所以, 因为,所以. （2）由余弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以，解得. 16．（24-25高一下·江苏·期中）已知的内角的对边分别为，若，求中线的长． 【答案】 【分析】利用余弦定理得到，解方程求解即可. 【详解】根据题意，作图如下： 在和中，由余弦定理得： ，， 又， 两式相加得， 即，，． 即三角形的中线长为． 17．已知中，，，为边上的点． (1)若，求边上的高； (2)若为的中点，且，求线段的长； (3)若平分，求线段长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用余弦定理结合作高法，利用锐角三角函数的定义求解即可. （2）利用向量中线定理求解即可. （3）利用三角形面积相等建立方程，把用三角函数合理表示，结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】（1）如图，在中，，作高， 由余弦定理得， (负值舍去)， 所以BC边上的高为 （2）因为M是BC的中点，所以， 平方得， ， 所以(负值舍去)， （3）设， 因为AM平分，所以， 因为， 所以， 即， 整理得，因为， 所以，即线段AM长的范围是. 18．在中，为的对边， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据余弦定理计算即可； （2）应用余弦定理和同角三角函数关系求函数值，再应用两角差公式计算. 【详解】（1）由题意可得，所以， 所以，所以 （2）， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 19．（24-25高一下·江苏淮安·月考）以为钝角的中，. (1)若，且，，求 (2)若，当角最大时，求的面积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，根据数量积的运算律求出，由余弦定理求出，在中由余弦定理求出，最后由数量积的定义计算可得； （2）根据向量关系得在方向上的投影长度始终为，进而过作，垂足为D，则，再建立坐标系，设，，，根据，并结合正切的差角公式得，再根据基本不等式即可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以， 即，解得或（舍去）， 在中由余弦定理， 即，所以， 所以， 在中由余弦定理， 所以. （2）中，，， ，即， 其几何意义为在方向上的投影的长度始终为， ∴过作，垂足为，则， 如图建立平面直角坐标系， 设，，， 则，， ，， 所以，（当且仅当，即时取等号）， 当时，取得最大值，此时边上的高为， 所以的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $