专题04 平面向量基本定理及坐标表示11考点复习指南（讲+练）-2025-2026学年高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

2025-2026高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题04 平面向量基本定理及坐标表示 11考点复习指南 知识1：平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 知识2：平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 5．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 考点1 基底的概念及辨析 1．【多选】（2026高一·辽宁·期末）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（2026高三·全国·专题练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．【多选】（2026高三·全国·专题练习）若是平面内的一个基底，则下面的四组向量中能作为一个基底的是（ ） A． B． C． D． 4．（2026高一·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 5．（2026高一·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 6．（2026高三·吉林·月考）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．和能构成一组基底 考点2 用基底表示向量 7．（2026·江苏南通·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·广东·学业考试）如图，在中，，用表示，则 ．    9．（2026高一·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026高二·河南·学业考试）平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026高三·江西抚州·月考）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 12．【多选】（2026高一·广东深圳·月考）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 13．【多选】（2026·河北·模拟预测）如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 14．（2026高二·贵州·月考）如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 考点3 利用平面向量基本定理求参数 15．【多选】（2026高三·辽宁·期末）在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 16．【多选】（2026高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在中，为线段的一点，且，则下列正确的是（    ）    A． B． C． D． 17．（2026高三·湖南·月考）已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 18．（2026高一·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 19．（2026高三·江西·期中）在中，是的中点，.若，则（    ） A． B． C． D． 20．【多选】（2026·广东梅州·模拟预测）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 21．（2026高一·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 考点4 平面向量基本定理的应用 22．（2026高三·湖南长沙·月考）已知在中，是的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 23．（2026·广东汕头·模拟预测）在中，为边上的中线，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 24．（2026·四川德阳·模拟预测）在中，已知，P在线段（不包含端点）上，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 25．（2026高三·辽宁·期中）等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 26．（2026高一·浙江温州·期中）已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 27．（2026高三·广东惠州·月考）所在平面内一点满足，若，则（    ） A． B． C． D． 考点5 平面向量线性运算的坐标表示 28．（2026高一·天津武清·月考）已知向量，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 29．（2026高二·河北·期中）已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 30．（2026高三·全国·专题练习）设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 31．（2026高一·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 32．（2026高一·广东·期中）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 33．（2026高一·河南许昌·期中）已知，，点P满足，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 34．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 35．（2026高一·全国·假期作业）已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 考点6 向量共线的坐标表示 36．（2026高一·上海·课后作业）若两个非零向量，，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 37．（2026高三·福建漳州·月考）已知向量，，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．（2026高一·陕西咸阳·期末）已知向量，，，若与共线，则的最小值为 . 39．（2026高一·江苏南京·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 40．（2026高一·河北石家庄·期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 41．（2026高一·北京·期中）已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 42．（2026高一·浙江宁波·期末）已知三点共线，则（   ） A．1 B．3 C． D． 43．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 考点7 平面向量数量积的坐标表示 44．（2026高二·云南玉溪·期末）已知，，则（   ） A．5 B．6 C．12 D．16 45．（2026高三·安徽·月考）已知，向量，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 46．（2026高二·广东汕头·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 47．（2026高三·湖南常德·专题练习）在边长为1的正方形中，点、点分别为边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 48．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，为边上靠近点的三等分点．若，则（   ）    A．36 B．28 C．30 D．42 考点8 向量垂直的坐标表示 49．（2026·广东茂名·模拟预测）已知向量，且，则（    ） A．4 B． C．9 D． 50．（湖南岳阳市2026届高三年级教学质量监测（一）数学试题）已知向量，若，则（    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 51．（2026高三·广西桂林·月考）已知向量，，，若，则（    ） A．0 B．7 C． D．1 52．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知平面向量，若，则=（   ） A． B． C． D． 53．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 54．（2026高三·河北石家庄·期中）已知平面向量，若，则（   ） A． B．2 C． D．5 考点9 向量模长的坐标表示 55．（2026·山东泰安·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 56．（2026·安徽蚌埠·模拟预测）若向量与的夹角为，且，则（   ） A．2 B． C． D．6 57．（9-10高一·陕西西安·期中）已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A． B． C． D． 58．（2026·福建福州·模拟预测）已知向量，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 59．（2026高一·福建三明·期中）已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 60．（2026·辽宁·模拟预测）已知向量，向量满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点10 向量夹角的坐标表示 61．（2026高三·湖南·月考）向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 62．（2026·辽宁辽阳·模拟预测）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 63．（2026高三·江西鹰潭·月考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 64．（2026高三·全国·专题练习）已知平面向量，，，，则（    ） A． B．1 C． D． 65．（2026高三·湖南·开学考试）已知向量，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 66．（2026高三·全国·专题练习）已知不共线的向量，，，且，则（    ） A．1 B． C． D．6 67．（2026高一·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 68．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，，则当与的夹角为钝角时，的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．无法确定 考点11 投影向量的坐标表示 69．（2026高三·江西上饶·月考）记平面向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 70．（2026·安徽淮南·模拟预测）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 71．（2026高三·河南南阳·期中）已知向量若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．-1 B． C．1 D． 72．（2026高三·山东东营·期末）已知向量，若向量在方向上的投影的数量为，则（   ） A． B． C．1 D．2 73．（2026·广东江门·模拟预测）已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题04 平面向量基本定理及坐标表示 11考点复习指南 知识1：平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 知识2：平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 5．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 考点1 基底的概念及辨析 1．【多选】（2026高一·辽宁·期末）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 2．（2026高三·全国·专题练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B， 假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误； 对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 与不共线，所以能作为基底，所以D错误. 故选：C. 3．【多选】（2026高三·全国·专题练习）若是平面内的一个基底，则下面的四组向量中能作为一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据平面向量基底的定义可逐一判断. 【详解】因为是平面内的一个基底，所以不共线， 对于A，因不共线，故与不共线，即可以作为基底； 对于B，因，所以与共线，不能作为基底； 对于C，因不共线，故与不共线，即可以作为基底； 对于D，因不共线，与不共线，所以可以作为基底.. 故选：ACD 4．（2026高一·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解. 【详解】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 5．（2026高一·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 6．（2026高三·吉林·月考）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．和能构成一组基底 【答案】B 【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量的线性运算，对每个选项逐一分析即可判断. 【详解】在正八边形中， 对于A，，所以选项A正确； 对于B，，所以选项B错误； 对于C，在正八边形中，因为，，所以以向量和向量为邻边的平行四边形为正方形，对角线长度为，因为，所以的方向与向量方向相同，且长度为向量长度的倍，所以，所以选项C正确； 对于D，由图可知向量和为相等向量，所以向量和不共线，故和能构成一组基底，所以选项D正确. 故选：B. 考点2 用基底表示向量 7．（2026·江苏南通·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C. 8．（2026高三·广东·学业考试）如图，在中，，用表示，则 ．    【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，由向量的三角形法则，得 ． 故答案为： 9．（2026高一·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得，再利用向量线性运算求解即得. 【详解】在中，点在边上，由，得， 则，即，而，， 所以． 故选：B 10．（2026高二·河南·学业考试）平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，结合向量的加减法运算规则计算求解． 【详解】 是平行四边形，点是对角线的交点， ， ， ，故A正确． 故选：A． 11．（2026高三·江西抚州·月考）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得. 【详解】因为点，分别为，边上的中点，所以， 又，则， 所以. 故选：B 12．【多选】（2026高一·广东深圳·月考）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性. 【详解】如图： 对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：CD 13．【多选】（2026·河北·模拟预测）如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由平面向量运算法则逐项计算即可. 【详解】对于A：，故选项 A 正确； 对于B：由 知 在 上，且 ，则 ， 计算得：，故选项B错误； 对于C： 为 中点，则 ，于是： ，故选项C正确； 对于D： ，其中 ， 则：，故选项 D 正确. 故选：ACD 14．（2026高二·贵州·月考）如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形、三角形重心等性质结合平面向量的线性运算即可得所求. 【详解】在平行四边形中，因为为的重心，所以， 则，且， 所以：. 故选：A. 考点3 利用平面向量基本定理求参数 15．【多选】（2026高三·辽宁·期末）在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分两种情况，分别画出图形，利用平面向量基本定理求解即可. 【详解】由题意，当点位于如图所示的位置时，， 此时，那么. 由题意，当点位于如图所示的位置时，， 此时，那么. 故选：BC. 16．【多选】（2026高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在中，为线段的一点，且，则下列正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由以及向量减法运算法则得，再根据平面向量基本定理可得结果. 【详解】因为，所以，即， 又，所以，故CD正确. 故选：CD. 17．（2026高三·湖南·月考）已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【详解】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B 18．（2026高一·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【详解】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 19．（2026高三·江西·期中）在中，是的中点，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算可得，可求的值. 【详解】因为D是BC的中点，所以， 所以，又， 所以， 所以， 又，所以，. 所以. 故选：B. 20．【多选】（2026·广东梅州·模拟预测）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平行向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解. 【详解】因为，，所以， 因为为的中点，所以， 所以，所以，. 可知：AD错误，BC正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，要求考生了解平面向量基本定理及其意义. 21．（2026高一·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算及平面向量基本定理计算求参. 【详解】在平行四边形中，是对角线的交点，， 因为， 则，. 故选：A. 考点4 平面向量基本定理的应用 22．（2026高三·湖南长沙·月考）已知在中，是的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算可得，根据长度可求得结果. 【详解】 . 故选：C. 23．（2026·广东汕头·模拟预测）在中，为边上的中线，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选为基向量，将用基向量表示，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】 如图，因为边上的中线，则 ，又 ， 则． 故选：D. 24．（2026·四川德阳·模拟预测）在中，已知，P在线段（不包含端点）上，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】设，通过向量的线性运算结合题目中的条件把用表示，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】设， 则， 又因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：A 25．（2026高三·辽宁·期中）等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设,依题得分别由三点共线和三点共线，利用平面向量基本定理得两个向量方程，求得，再利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】 如图，不妨设，则 因三点共线，故存在，使, 又因三点共线，故存在，使, 对照可得：，解得， 即， 于是 故选：C. 26．（2026高一·浙江温州·期中）已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由题可得，结合重心性质及平面向量基本定理可得答案. 【详解】因，则. 又，由平面向量基本定理可得： . 则，，故三角形是等腰直角三角形. 故选：D 27．（2026高三·广东惠州·月考）所在平面内一点满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的基本定理，求得，，再根据二倍角的余弦公式求解即可． 【详解】由，得， 所以， 因为， 所以，， 则. 故选：D. 考点5 平面向量线性运算的坐标表示 28．（2026高一·天津武清·月考）已知向量，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可 【详解】向量， 所以向量, 故选：D 29．（2026高二·河北·期中）已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，求出,再根据向量相等的坐标表示列出方程,即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为，. 因为是平行四边形，所以， 即，解得，所以点的坐标为. 故选：A 30．（2026高三·全国·专题练习）设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求出，求出，求出和即可求解. 【详解】设，则， 所以， 即，解得， 因此，，． 故选：B． 31．（2026高一·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法表示，进而得到，再根据向量加法的坐标运算法则计算即可. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：C 32．（2026高一·广东·期中）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由题意或，结合向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】由线段的一个三等分点为，得或， 若，则，所以； 若，则，所以． 故选：B. 33．（2026高一·河南许昌·期中）已知，，点P满足，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标，进而求出点的坐标. 【详解】点，，则，于是， 所以点的坐标为. 故选：C 34．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点 ，求出，再列出方程，即可得解. 【详解】设点 ， 则， 又，所以， 所以点的坐标为， 故选：A 35．（2026高一·全国·假期作业）已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】由题意得， 因为， 所以⇒ 故. 故选：A. 考点6 向量共线的坐标表示 36．（2026高一·上海·课后作业）若两个非零向量，，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】令，则，，即向量与共线； 取，，满足与共线，而不成立， 所以是与共线的充分不必要条件. 故选：A 37．（2026高三·福建漳州·月考）已知向量，，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】首先利用向量的加减法则求出向量的坐标，然后根据向量平行求出参数即可. 【详解】因为， 所以. 因为，所以. 解得. 故选：D. 38．（2026高一·陕西咸阳·期末）已知向量，，，若与共线，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】利用两向量共线得出，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 向量，，，与共线， ∴， ∴， 当且仅当即时，等号成立， ∴， 故答案为：2. 39．（2026高一·江苏南京·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据基底的定义依次判断各项对应向量是否能作为基底即可. 【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合. 故选：D 40．（2026高一·河北石家庄·期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由单位向量的意义和共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对于A，因为向量的模为，故A错误； 对于B，因为，且向量的模为，故B正确； 对于C，因为向量的模为，故C错误； 对于D，因为，所以向量与向量不共线，故D错误. 故选：B. 41．（2026高一·北京·期中）已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】B 【分析】先利用向量坐标运算得到相应的向量，再计算向量共线所满足的关系式，看是否为0，得到结论. 【详解】A选项，由于，故不共线， 所以A、B、C三点不共线，A错误； B选项，， 由于，故共线，A、B、D三点共线，B正确； C选项，， 由于，故不共线，A、C、D三点不共线，C错误； D选项，，故不共线，B、C、D三点不共线，D错误. 故选：B 42．（2026高一·浙江宁波·期末）已知三点共线，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】依题意，，且，则， 所以. 故选：A 43．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 【答案】(3，3) 【分析】设P(x，y)，可得，根据共线向量的坐标表示即可求出 x、y的值. 【详解】设P(x，y)，则=(x，y)，因为=(4，4)， 且共线，所以，即x=y. 又=(x-4，y)，=(-2，6)，且共线， 则得(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3， 所以点P的坐标为(3，3). 考点7 平面向量数量积的坐标表示 44．（2026高二·云南玉溪·期末）已知，，则（   ） A．5 B．6 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据向量的加减以及数量积的坐标表示求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以. 故选：D. 45．（2026高三·安徽·月考）已知，向量，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据向量坐标运算法则求出，再结合倍角公式求解． 【详解】由题意知向量， 则， 故选：A. 46．（2026高二·广东汕头·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的坐标公式得，利用同角三角函数的平方关系，及二倍角公式计算即可. 【详解】易知，所以， 则，即. 故选：D 47．（2026高三·湖南常德·专题练习）在边长为1的正方形中，点、点分别为边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量法求得. 【详解】以为原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则， 则， 所以． 故选：C    48．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，为边上靠近点的三等分点．若，则（   ）    A．36 B．28 C．30 D．42 【答案】C 【分析】由题知，进而根据数量积的运算求解即可. 【详解】解：由题知，，， 所以 故选：C 考点8 向量垂直的坐标表示 49．（2026·广东茂名·模拟预测）已知向量，且，则（    ） A．4 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】直接根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 故选：A 50．（湖南岳阳市2026届高三年级教学质量监测（一）数学试题）已知向量，若，则（    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，所以， 若，则，解得， 故选：D. 51．（2026高三·广西桂林·月考）已知向量，，，若，则（    ） A．0 B．7 C． D．1 【答案】C 【分析】利用和向量的坐标运算求得的坐标，利用向量的数量积的坐标运算可求得. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，解得. 故选：C. 52．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知平面向量，若，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，可得，的坐标，根据向量垂直坐标的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：D 53．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标运算先计算，再由向量的数量积的坐标运算即可求解. 【详解】因为， 所以. 因为，所以， 所以，解得. 故选：D. 54．（2026高三·河北石家庄·期中）已知平面向量，若，则（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】利用向量平行的判定可得到，再利用向量的模长计算公式计算即可. 【详解】平面向量， 因为，所以，解得 因此，， . 故选： C. 考点9 向量模长的坐标表示 55．（2026·山东泰安·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的数量积坐标公式计算得出，最后应用模长公式计算求解. 【详解】因为，所以，所以.   故选：C. 56．（2026·安徽蚌埠·模拟预测）若向量与的夹角为，且，则（   ） A．2 B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用数量积求出后可得. 【详解】由题意得，, 故， 故选：C. 57．（9-10高一·陕西西安·期中）已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 . 故选：B 58．（2026·福建福州·模拟预测）已知向量，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先计算的坐标，再利用模长公式计算即可. 【详解】由题意可得，， 则，解得. 故选：A 59．（2026高一·福建三明·期中）已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先利用向量坐标的加减运算求出和，然后利用向量模的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为向量，，所以， 由得，即， 解得. 故选：B 60．（2026·辽宁·模拟预测）已知向量，向量满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意可得：，，根据向量减法的运算性质即可得结果. 【详解】由题意可得：， 因为，则， 当且仅当反向时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：A. 考点10 向量夹角的坐标表示 61．（2026高三·湖南·月考）向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量夹角的余弦值的坐标表示求解即可. 【详解】由，， 则，， ， 所以， 又，则. 故选：C 62．（2026·辽宁辽阳·模拟预测）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量坐标运算求出，再利用向量数量积公式求向量的夹角. 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 所以，又， 所以向量与的夹角为， 故选：B 63．（2026高三·江西鹰潭·月考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由坐标计算向量夹角的余弦可得. 【详解】由，得，， 所以. 故选：A 64．（2026高三·全国·专题练习）已知平面向量，，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量夹角的坐标公式计算即可. 【详解】由题意得，即， 解得. 故选：A. 65．（2026高三·湖南·开学考试）已知向量，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算计算参数． 【详解】由题意知，因为， 解得或，由，得，因此. 故选:D. 66．（2026高三·全国·专题练习）已知不共线的向量，，，且，则（    ） A．1 B． C． D．6 【答案】D 【分析】应用向量夹角的坐标表示列方程求参数值，结合向量不共线求解. 【详解】因为，所以， 即，解得， 当时，，，不共线，满足题意； 故. 故选：D 67．（2026高一·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【详解】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 68．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，，则当与的夹角为钝角时，的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意有且与不共线，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有且， 故选：C． 考点11 投影向量的坐标表示 69．（2026高三·江西上饶·月考）记平面向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】由题意可得， 故向量在向量方向上的投影向量的坐标为 ， 故选：C 70．（2026·安徽淮南·模拟预测）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加法求得，然后利用投影向量的公式求得结果. 【详解】， ∴. 故选：A. 71．（2026高三·河南南阳·期中）已知向量若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．-1 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义列式计算即得. 【详解】因为向量， 则向量在向量上的投影向量为：， 故有，解得. 故选：C. 72．（2026高三·山东东营·期末）已知向量，若向量在方向上的投影的数量为，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】首先求出，再由向量在方向上的投影的数量为计算可得. 【详解】由向量，可得， 因为向量在方向上的投影的数量为， 由题意可得，解得. 故选：B 73．（2026·广东江门·模拟预测）已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量的坐标运算及向量相等的充要条件得到方程，求出的坐标，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】设，又， 则，，， 因为，所以， 即，解得， 所以，则，， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：D 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $