第08讲 向量的概念和线性运算（知识清单+8题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一数学（沪教版必修第二册）

本讲义聚焦向量的应用核心知识点，系统梳理向量的定义及表示、有关概念、加法、减法、数乘运算等内容，从基础概念到线性运算形成完整学习支架，帮助学生构建从定义理解到运算应用的知识脉络。 资料以“举一反三”题型设计为特色，通过8类题型的例题与变式题，结合几何应用培养数学眼光，借助混合运算训练数学思维，强化训练的填空、单选、解答题助力学生用数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升向量知识应用能力。

第08讲 向量的应用 知识清单 知识点01：向量的定义及表示 知识点02：向量的有关概念 知识点03：向量的加法 知识点04：向量的减法 知识点05：向量的数乘运算 题型讲解 （举三反三） 题型1：向量的概念 题型2：向量加法的法则 题型3：向量加法法则的几何应用 题型4：向量减法的法则 题型5：向量减法法则的几何应用 题型6：向量数乘的有关计算 题型7：平面向量的混合运算 题型8：向量的线性运算的几何应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01向量的定义及表示 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度； ②向量的表示： 知识点02向量的有关概念 相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 （共线向量） 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b， 规定：零向量与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b 知识点03向量的加法 （1）定义：求两个向量和的运算. （2）运算法则： 向量求和的法则 图示 几何意义 三角形法则 使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和 （3）规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. （4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. （5）一般地我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. （6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同 知识点04向量的减法 （1）相反向量（利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法） 定义：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量 性质：①对于相反向量有：a＋（－a）＝0；②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0；③零向量的相反向量仍是零向量 （2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算） 定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法. a－b＝a＋（－b），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量. 几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 知识点05 向量的数乘运算 （1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反. ③由①可知，当λ＝0时，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a. （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb； 特别地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb. （3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向 量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a±μ2b）＝λμ1 a±λμ2 b. （4）共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 题型1：向量的概念 【例1-1】（24-25高一下·上海长宁·月考）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 【答案】C 【分析】根据向量、有向线段、平行向量、相等向量等相关概念，对每个选项进行逐一分析判断. 【详解】向量可以用有向线段来表示，但向量与有向线段是不同的概念.有向线段有起点、方向和长度，而向量只有大小和方向，没有固定的起点.所以不能说向量又称有向线段，选项错误. 平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行.而相等向量不仅要求方向相同，还要求大小相等.所以平行向量不一定相等，选项错误. 平行向量也叫共线向量，这是向量的基本概念.所以平行向量一定共线，选项正确. 向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐标系xOy中的轴、轴是具有方向的直线，它们没有大小，不满足向量的定义，所以轴、轴不是向量，选项错误. 故选：C. 【例1-2】（24-25高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，若，则，故充分性满足，若，则， 即或，故必要性不满足，即是的充分非必要条件，故①正确； 对于②，若、为两个不平行向量，则由可得，故充分性满足， 若，则成立，故必要性满足， 所以是的充要条件，故②错误； 对于③，若，则同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足， 若可得同向，即，故必要性满足， 所以“”是“”的必要不充分条件，故③错误； 故选：B 【例1-3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在中， ． 【答案】 【分析】根据向量线性运算公式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 【变式1-1】若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ） A． B．如果，那么 C． D．如果，那么或 【答案】D 【分析】利用单位向量，向量相等及向量共线的定义进行判断即可. 【详解】因为，都是单位向量，所以，且，方向不确定， 所以选项A和选项C错误； 如果，与方向相同或相反，且， 所以选项B错误，选项D正确. 故选：D. 【变式1-2】在长方体中，与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量相等的定义即可判断. 【详解】由相等向量的定义：方向相同且大小相等的两个向量是相等向量， 故在长方体中，与相等的向量是、、， 故选：C 【变式1-3】 ． 【答案】 【分析】根据向量的加法法则求解即可． 【详解】 故答案为：． 题型2：向量加法的法则 【例2-1】（2024高一下·上海·专题练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则与方向相同或相反 B．若，，则 C．若，，则 D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 【答案】C 【分析】利用零向量否定选项AB；由向量相等定义判断选项CD. 【详解】对于A选项，因为，若，又零向量的方向任意，则A错； 对于B选项，取，则，，但、不一定平行，B错； 对于C选项，，，则，C对； 对于D选项，若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或互为相反向量，D错． 故选：C． 【例2-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）设表示“向东走2千米”，表示“向西走1千米”，表示“向南走2千米”，表示“向北走1千米”，说明下列向量的意义. （1）： ； （2）： ； （3）： ； （4）： ； 【答案】 向东走4千米 向东南方向走千米 向东北方向走千米 向西南方向走千米 【分析】根据向量的加法法则即可求解. 【详解】   （1）向东走4千米 （2）向东南方向走千米 （3）向东北方向走千米 （4）向西南方向走千米 【例2-3】已知A、B、C、D、E是平面上任意五个点，求证：．这个结果可以推广到更多点的情况吗？ 【答案】证明见解析；可以推广 【分析】根据向量加法法则分析证明，并推广至任意个点. 【详解】由题意可得：； 可以推广，推广可得：对于平面上任意个点， 均有. 证明如下： . 【变式2-1】（2024高一下·上海·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反 D．若，都是单位向量，则 【答案】A 【分析】举特例否定选项A；由向量相等定义判断选项B；由向量平行定义判断选项C；由单位向量定义判断选项D. 【详解】A.若，满足，， 但是不满足，所以该选项错误； B．由向量相等定义可知，若，，则，所以该选项正确； C． 若与是非零向量且， 则与的方向相同或者相反，所以该选项正确； D． 若，都是单位向量，则，所以该选项正确． 故选：A 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，化简： ； ； ； . 【答案】 【分析】根据平面向量加法的三角形法则即可求解. 【详解】由图，根据平面向量加法的三角形法则， 可得，， ， ， ， 故答案为：①，②，③，④. 【变式2-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解. 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）如图，即为所求. （4）如图，即为所求. 题型3：向量加法法则的几何应用 【例3-1】已知，，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】根据向量模长的三角不等式求解即可． 【详解】，当且仅当与同向时取等号， 故答案为：6． 【例3-2】（24-25高一·上海·随堂练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为 ． 【答案】3个 【分析】运用向量加法的运算法则和三角形法则可解. 【详解】，①对； ，②对； ，③错； ，④对． 故答案为：3个. 【例3-3】设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)向东走4 km (2)向东南走km (3)向东北走km (4)向南走3 km 【分析】由向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，根据向量的加法法则即可求解各小问. 【详解】（1） 由题意，因为向量表示“向东走2 km”， 则表示“向东走4 km”； （2）因为向量表示“向东走2 km”， 向量表示“向南走2 km”， 所以表示“向东南走km”； （3）因为向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向东北走km”； （4）因为向量表示“向南走2 km”，向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向南走3 km”. 【变式3-1】（24-25高一下·上海·期末）如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线的中点，为对角线与的交点，用的线性组合表示向量为： ．    【答案】 【分析】根据题意利用中点的性质结合向量的加法运算法则分析求解. 【详解】因为G为的中点，则， 又因为分别为BD，AC的中点，则， 所以. 故答案为：. 【变式3-2】化简 . 【答案】 【分析】根据向量加法运算律计算即可. 【详解】. 故答案为： 【变式3-3】如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及几何意义作图即可. 【详解】（1）根据向量加法的平行四边形法则可得，，分别如下图： （2）根据向量加法的平行四边形法则可得和分别如下图： 题型4： 向量减法的法则 【例4-1】下列式子中，不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：； B：； C：； D：； 故选：B 【例4-2】化简：= 【答案】 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 【例4-3】如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】根据向量的加减法法则即可作图． 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 【变式4-1】如图，A、B、C、D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的加法和减法运算化简求解即可得出结论. 【详解】解：，，，． 故选：B． 【变式4-2】（24-25高一·上海·课堂例题）在中，化简： （1） ；     （2） ． 【答案】 【分析】在三角形中，向量的加减法遵循三角形法则. 【详解】(1)， (2). 故答案为： 【变式4-3】化简下列向量运算； (1)， (2)， (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 题型5： 向量减法法则的几何应用 【例5-1】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，化简 【答案】 【分析】利用向量的加、减法运算即可. 【详解】. 故答案为： 【例5-2】已知正六边形，若，，则用，表示为 ． 【答案】 【分析】根据向量加法的三角形法则，即可求解 【详解】如图，， 故答案为： 【例5-3】已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】根据得出，进而得出，然后即可得出ABCD是平行四边形. 【详解】因为， 所以， 因为向量，，，， 所以， 即， 所以，且， 所以四边形ABCD是平行四边形. 【变式5-1】已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由向量模长的三角不等式可求得的取值范围. 【详解】由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立； ，当且仅当、的方向相反时，等号成立. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-2】已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由于，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当三点共线时取等号，可得答案. 【详解】由已知， 又 当反向，取到最大值，当同向，取到最小值 故答案为：. 【变式5-3】（25-26高一·上海·假期作业）如图，已知向量、、，作出下列向量：    (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）（2）根据向量的加减法法则即可作图． 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则；    如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则．    （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则；    如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则．    题型6： 向量数乘的有关计算 【例6-1】已知平面上不共线的四点，若，则等于（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】由已知可得，即，从而可得答案. 【详解】解：由，得，即， 所以，即， 故选：C. 【例6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非零向量，且，则向量的单位向量 .（用表示） 【答案】 【分析】先写出的单位向量，再由和反向可得. 【详解】由已知，则和反向， 又非零向量的单位向量， 所以向量的单位向量. 故答案为：. 【例6-3】（24-25高一上·上海·课前预习）如图，已知向量，请作出和这两个向量. 【答案】见解析 【分析】根据向量加法的运算即可作图. 【详解】如下： 作图如下： 【变式6-1】若点是所在平面内的一点，满足，则（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】化简得，即得解. 【详解】 ， ，得． 故选：C． 【变式6-2】若非零向量，且设，则实数 ． 【答案】 【分析】利用向量的加减法法则对化简变形，然后结合可求得结果. 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 故答案为： 【变式6-3】（24-25高一上·上海·课前预习）请指出和这两个向量与向量在长度和方向上有什么变化？ 【答案】见解析 【分析】根据向量的数乘运算即可求解. 【详解】的长度是的3倍，方向与相同，的长度是的3倍，方向与相反. 题型7： 平面向量的混合运算 【例7-1】（24-25高一下·上海普陀·月考）已知向量、，则等于 . 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 【例7-2】若，则 . 【答案】 【分析】直接运用平面向量的混合运算求解; 【详解】由，得 即 故答案为： 【例7-3】（24-25高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若存在一个使，则； (2)对于任意给定的实数和向量、，均有； (3)对于任意给定的实数、和向量，均有． 【答案】(1)错误，理由见详解 (2)正确，理由见详解 (3)正确，理由见详解 【分析】（1）举反例说明即可； （2）（3）根据线性运算的运算律分析判断. 【详解】（1）错误，理由如下： 例如，此时符合题意，但. （2）正确，理由如下： 根据线性运算律可得：， 所以. （3）正确，理由如下： 根据线性运算律可得：， 所以. 【变式7-1】已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量 【答案】 【分析】由等式变形可得出关于、的表达式. 【详解】因为，所以，，则. 故答案为：. 【变式7-2】已知向量，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的运算法则，即可求解. 【详解】根据向量的运算法则，可得. 故答案为：. 【变式7-3】化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 题型8： 向量的线性运算的几何应用 【例8-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则平分线上的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用单位向量概念公式，结合菱形性质，平行四边形法则可解. 【详解】、都是单位向量，所以是以、为邻边的菱形的对角线， 所以所指的方向即为、的夹角的角平分线方向，而、的夹角即为. 故选：A. 【例8-2】（24-25高一上·上海·课前预习）已知，边、、的中点分别为D、E、F，则 ． 【答案】 【分析】运用向量的加法运算法则计算即可. 【详解】边、、的中点分别为D、E、F ， 则 故答案为：. 【例8-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，在中，，，求证：，且. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量数乘及向量之间共线的概念即得. 【详解】证明：因为， 所以， 故，且. 【变式8-1】若平面四边形满足，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【分析】分析可得且，利用梯形的定义判断可得出结论. 【详解】因为平面四边形满足，则且， 故四边形一定是梯形， 故选：D. 【变式8-2】设是内部一点，且，则 ． 【答案】 【分析】先作出草图，然后分析出的位置，先考虑长度的比值，最后即可得到面积的比值. 【详解】设为的中点，如图所示，连接，则. 又，所以，即为的中点， 则，， 即. 故答案为：. 【变式8-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知、，试确定、、在网格中的位置：；；. 【答案】答案见解析 【分析】根据平行四边形定则与三角形定则直接作图即可. 【详解】如图所示， 根据平行四边形定则分别作平行四边形，即可得解. 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·期中）已知为单位向量，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量模的定义即可判断A；根据零向量的概念即可判断B；根据平面向量的加减法运算即可判断CD． 【详解】对于A，由平面向量模的定义知，故A错误； 对于B，根据零向量和任一向量平行，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：B． 2．（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 【答案】C 【分析】由相反向量的定义，模长相等，方向相反，即可依次判断． 【详解】A．与为相反向量，模长相等，方向相反，长度必相等，正确，不符合题意； B．与为相反向量，模长相等，方向相反，故，正确，不符合题意； C．当时，，此时，选项错误，符合题意； D．若是的负向量，故是的负向量，正确，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（    ） A．在同一条直线上 B．构成一个三角形 C．有两个向量的终点重合 D．不确定 【答案】A 【分析】，则由共线向量定理可得三点共线即可. 【详解】设的起点为，， 所以， 所以， 所以三点共线， 即向量在同一起点上，则它们的终点在同一条直线上. 故选：A. 4．（2024高一下·上海·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 【答案】D 【分析】对于A选项，共线的两个单位向量的方向可能相反，对于B选项，考虑即可判断，对于C选项，直线与可能重合，对于D选项，考虑向量，共线即可判断. 【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误； 选项B：，不一定有，故B错误； 选项C：直线与可能共线，故C错误； 选项D：若向量，共线，则与可能平行， 此时A，B，C，D四点不共线，故D正确． 故选：D. 二、填空题 5．向量化简后等于 【答案】 【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可. 【详解】由向量加法的运算法则，可得 . 故答案为： 6．设四边形中，且，则这个四边形是 ． 【答案】等腰梯形 【分析】根据相等向量定义，结合可得结果. 【详解】，且，∴四边形为梯形. 又，四边形为等腰梯形. 故答案为：等腰梯形. 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列等式：①；②；③；④；⑤，正确的序号为 . 【答案】①②③⑤ 【分析】根据向量加法的运算律、相反向量的性质，结合向量加法的运算法则逐一判断即可. 【详解】因为任意向量加上零向量等于这个向量，故①正确； 由向量的运算律及相反向量的性质可知②③是正确的； 向量的线性运算结果应为向量，故④错误； 由向量的加法运算律，加上一个向量等于减去这个向量的相反向量，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤ 8．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是 ． 【答案】, 【分析】根据相等向量的定义确定即可. 【详解】因为P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，所以，, 因为方向相同，大小相等的向量为相等向量，所以与相等的向量为，. 故答案为：，. 9．（24-25高一上·上海·课后作业）化简： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 【答案】 【分析】根据平面向量加减运算法则得到答案. 【详解】（1）；（2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 故答案为：，，，，， 10．（24-25高一下·上海·期中）化简 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的减法运算求解. 【详解】解：， 故答案为： 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简的结果等于 . 【答案】 【分析】利用平面向量的加法运算求解. 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为： 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简下列向量： （1） ； （2） . 【答案】 【分析】（1）由向量的加减法运算可得； （2）由向量的加减法运算可得. 【详解】（1）； （2） . 故答案为：；. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，已知四边形是边长为1的正方形，求下列向量的模：    ； ； ； . 【答案】 0 1 2 【分析】利用平面向量的加法和减法运算求解. 【详解】解：如图所示：   ， 则， ， ， 如图所示：   ， ，则. 故答案为：，0，1，2 14．若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为 . 【答案】直角三角形 【分析】利用向量的线性运算和向量的中线公式得到，从而得到，进而得到角间的关系，再利用三角形内角和为即可求出结果. 【详解】如图，取中点，因为，所以，即，所以，，所以，又三角形内角和为，所以，所以为直角三角形， 故答案为：直角三角形. 15．如图，在中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，则用、表示的式子为 . 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算，以及AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，，可得到，化简整理即可求出结果. 【详解】因为AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P， 所以 ， 所以，即， 故答案为：. 16．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 【答案】13 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，， ， 当且仅当，即时取等. 故答案为：13. 三、解答题 17．（24-25高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 18．根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （2）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （3）直接利用平面向量的加减混合运算求解中的． 【详解】（1）由， 得， 即， ； （2）由， 得， 得； （3）由， 得， ， 可得． 19．（24-25高一上·上海·课前预习）在中，已知D是的中点，G是的重心，记，，试用、表示、、． 【答案】     【分析】画图运用向量的线性运算法则,结合重心性质计算即可. 【详解】如图所示，； 根据重心性质知道，，则. . 20．如图，在中，点D、E、F分别是、、的中点，根据下列条件，写出相应的向量： (1)与向量相等的向量； (2)向量的负向量； (3)与向量平行的向量． 【答案】(1)， (2)，， (3)，，，，，， 【分析】（1）利用向量相等概念求解； （2）向量的相反向量的概念求解； （3）向量共线的定义求解． 【详解】（1）与向量相等的向量：，； （2）向量的负向量：，，； （3）与向量平行的向量：，，，，，，. 21．作图验证： (1)； (2)． 【答案】(1)答案详见解析 (2)答案详见解析 【分析】根据三角形法则以及平行四边形法则证得等式成立 【详解】（1）设，四边形是平行四边形，设， 则， 所以. （2）由（1）得.    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 向量的应用 知识清单 知识点01：向量的定义及表示 知识点02：向量的有关概念 知识点03：向量的加法 知识点04：向量的减法 知识点05：向量的数乘运算 题型讲解 （举三反三） 题型1：向量的概念 题型2：向量加法的法则 题型3：向量加法法则的几何应用 题型4：向量减法的法则 题型5：向量减法法则的几何应用 题型6：向量数乘的有关计算 题型7：平面向量的混合运算 题型8：向量的线性运算的几何应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01向量的定义及表示 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度； ②向量的表示： 知识点02向量的有关概念 相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 （共线向量） 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b， 规定：零向量与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b 知识点03向量的加法 （1）定义：求两个向量和的运算. （2）运算法则： 向量求和的法则 图示 几何意义 三角形法则 使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和 （3）规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. （4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. （5）一般地我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. （6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同 知识点04向量的减法 （1）相反向量（利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法） 定义：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量 性质：①对于相反向量有：a＋（－a）＝0；②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0；③零向量的相反向量仍是零向量 （2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算） 定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法. a－b＝a＋（－b），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量. 几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 知识点05 向量的数乘运算 （1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反. ③由①可知，当λ＝0时，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a. （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb； 特别地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb. （3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向 量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a±μ2b）＝λμ1 a±λμ2 b. （4）共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 题型1：向量的概念 【例1-1】（24-25高一下·上海长宁·月考）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 【例1-2】（24-25高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例1-3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在中， ． 【变式1-1】若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ） A． B．如果，那么 C． D．如果，那么或 【变式1-2】在长方体中，与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】 ． 题型2：向量加法的法则 【例2-1】（2024高一下·上海·专题练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则与方向相同或相反 B．若，，则 C．若，，则 D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 【例2-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）设表示“向东走2千米”，表示“向西走1千米”，表示“向南走2千米”，表示“向北走1千米”，说明下列向量的意义. （1）： ； （2）： ； （3）： ； （4）： ； 【例2-3】已知A、B、C、D、E是平面上任意五个点，求证：．这个结果可以推广到更多点的情况吗？ 【变式2-1】（2024高一下·上海·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反 D．若，都是单位向量，则 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，化简： ； ； ； . 【变式2-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 题型3：向量加法法则的几何应用 【例3-1】已知，，则的最大值为 ． 【例3-2】（24-25高一·上海·随堂练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为 ． 【例3-3】设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】（24-25高一下·上海·期末）如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线的中点，为对角线与的交点，用的线性组合表示向量为： ．    【变式3-2】化简 . 【变式3-3】如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 题型4： 向量减法的法则 【例4-1】下列式子中，不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】化简：= 【例4-3】如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【变式4-1】如图，A、B、C、D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一·上海·课堂例题）在中，化简： （1） ；     （2） ． 【变式4-3】化简下列向量运算； (1)， (2)， (3)． 题型5： 向量减法法则的几何应用 【例5-1】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，化简 【例5-2】已知正六边形，若，，则用，表示为 ． 【例5-3】已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形． 【变式5-1】已知，，则的取值范围是 ． 【变式5-2】已知，，则的取值范围是 ． 【变式5-3】（25-26高一·上海·假期作业）如图，已知向量、、，作出下列向量：    (1)和； (2)和． 题型6： 向量数乘的有关计算 【例6-1】已知平面上不共线的四点，若，则等于（    ） A． B． C．3 D．2 【例6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非零向量，且，则向量的单位向量 .（用表示） 【例6-3】（24-25高一上·上海·课前预习）如图，已知向量，请作出和这两个向量. 【变式6-1】若点是所在平面内的一点，满足，则（    ） A． B．4 C． D．3 【变式6-2】若非零向量，且设，则实数 ． 【变式6-3】（24-25高一上·上海·课前预习）请指出和这两个向量与向量在长度和方向上有什么变化？ 题型7： 平面向量的混合运算 【例7-1】（24-25高一下·上海普陀·月考）已知向量、，则等于 . 【例7-2】若，则 . 【例7-3】（24-25高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若存在一个使，则； (2)对于任意给定的实数和向量、，均有； (3)对于任意给定的实数、和向量，均有． 【变式7-1】已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量 【变式7-2】已知向量，则 ． 【变式7-3】化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 题型8： 向量的线性运算的几何应用 【例8-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则平分线上的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（24-25高一上·上海·课前预习）已知，边、、的中点分别为D、E、F，则 ． 【例8-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，在中，，，求证：，且. 【变式8-1】若平面四边形满足，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【变式8-2】设是内部一点，且，则 ． 【变式8-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知、，试确定、、在网格中的位置：；；. 一、填空题 1．向量化简后等于 2．设四边形中，且，则这个四边形是 ． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列等式：①；②；③；④；⑤，正确的序号为 . 4．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是 ． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）化简： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 6．（24-25高一下·上海·期中）化简 ． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简的结果等于 . 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简下列向量： （1） ； （2） . 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，已知四边形是边长为1的正方形，求下列向量的模：    ； ； ； . 10．若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为 . 11．如图，在中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，则用、表示的式子为 . 12．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 二、单选题 13．（24-25高一下·上海·期中）已知为单位向量，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 15．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（    ） A．在同一条直线上 B．构成一个三角形 C．有两个向量的终点重合 D．不确定 16．（2024高一下·上海·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 三、解答题 17．（24-25高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 18．根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 19．（24-25高一上·上海·课前预习）在中，已知D是的中点，G是的重心，记，，试用、表示、、． 20．如图，在中，点D、E、F分别是、、的中点，根据下列条件，写出相应的向量： (1)与向量相等的向量； (2)向量的负向量； (3)与向量平行的向量． 21．作图验证： (1)； (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $