微专题 平面向量的数量积及其应用（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

微专题 平面向量的数量积及其应用（不含坐标） 题型一 向量数量积的夹角及运算律 向量数量积的运算律 （1）；（交换律） （3）；（数乘结合律） （3）；（分配律） （4）平面向量数量积运算的常用公式 1．（2025高一·全国·单元测试）以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 【答案】C 【分析】根据数量积的定义和向量夹角的范围确定答案. 【详解】对于任意得两个非零向量，，其中. 若两个非零向量同向共线，则，，，故A正确； 若两个非零向量反向共线，则，，，故B正确； 若这两个非零向量的数量积是负的，则，，故C错误； 若两个非零向量的数量积是0，则，，互相垂直，故D正确. 故选: C. 2．（2025高一·陕西榆林·月考）下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】数乘的性质即可求解①④，根据数量积的性质即可求解②③. 【详解】，，， 表示与共线的向量，表示与共线的向量，故两者不一定相等， 故①②③正确，④错误， 故选：D 3．【多选】（2025高一·河南周口·月考）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 【答案】CD 【分析】利用数量积的运算律判断AB；利用数量积推理判断C；由共线向量的意义判断D. 【详解】对于A，由向量的运算法则，得A正确； 对于B，向量数量积满足分配律，B正确； 对于C，由，得，当时，满足题设，C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误. 故选：CD 4．【多选】（2025高一·贵州贵阳·月考）下列叙述正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则与的夹角为钝角 C．若为非零向量，则与同向 D．在等边三角形中，与的夹角为 【答案】ACD 【分析】根据相等向量的定义即可判断A；举出反例即可判断B；根据的意义即可判断C；根据向量夹角的定义即可判断D. 【详解】对于A，由，得同向且模相等， 由，得同向且模相等， 所以同向且模相等，所以，故A正确； 对于B，若与的夹角为，则，故B错误； 对于C，表示与同向的单位向量，故C正确； 对于D，在等边三角形中，， 则与的夹角为，故D正确. 故选：ACD. 5．（2025高一·江苏淮安·月考）在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（    ） A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是锐角 D．与的夹角是钝角 【答案】C 【分析】作出图形，结合向量夹角的定义可得出合适的选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，与的夹角为，为钝角，A错； 对于B选项，与的夹角为，为钝角，B错； 对于CD选项，与的夹角等于，为锐角，C对D错； 故选：C. 6．（2025高一·上海·课堂例题）若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量夹角的定义即可求解； （2）由向量夹角的定义即可求解； （3）由向量夹角的定义即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 7．（2025高一·辽宁辽阳·月考）在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质及向量夹角的定义判断即可. 【详解】如图设与交于点，由正六边形的性质可知为等边三角形， 所以，则向量与的夹角为. 故选：B 题型二 向量数量积的简单计算 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为） (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　 8．（25-26高二·江苏连云港·期末）已知，，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算法则计算出答案. 【详解】. 故选：B 9．（2025高二·河南·学业考试）已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义求解即可 【详解】根据题意，. 故选：C 10．（25-26高二·河北张家口·开学考试）已知向量，满足，，，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．-2 【答案】A 【分析】根据向量的模和向量的数量积的知识进行求解即可. 【详解】∵， ∴， ∴. 故选：A. 11．（2025高一·黑龙江哈尔滨·月考）向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】应用平面向量的数量积定义及运算律计算求解. 【详解】因为，向量与的夹角为， 则. 故选：A. 12．（2025高一·江苏淮安·月考）已知向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】5 【分析】根据数量积的运算律以及定义即可求解. 【详解】, 故答案为：5 13．（2025高一·全国·课后作业）已知两个单位向量的夹角为，且向量，则 ． 【答案】0 【分析】利用数量积的运算律及定义计算得解. 【详解】两个单位向量的夹角为，向量， 所以. 故答案为：0 14．【多选】（2025高一·内蒙古包头·期末）已知平面向量，，两两的夹角相等，且，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意平面向量，，两两的夹角相等，则夹角可以为或，然后根据向量数量积的定义分类计算即可. 【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角可以为或， 当夹角为时，， 当夹角为时，. 故选：AD. 15．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 【答案】D 【分析】应用平面向量数量积的定义及运算律计算即可. 【详解】因为向量和的夹角为，且， 则. 故选：D. 题型三 平面几何图形中的向量的数量积的计算 基底化运算——选取图形中不共线的向量作为基底（如菱形的邻边、三角形的两边），将待求数量积的向量用基底表示，再结合数量积定义和运算律计算。 解题步骤：1.确定合适基底（优先选已知模长、夹角的向量）；2.利用向量线性运算（加、减、数乘），将目标向量转化为基底表达式；3.代入数量积公式（为基底夹角），结合图形性质（如正方形邻边垂直、菱形邻边相等）化简计算。 常用技巧：涉及中点、三等分点等线段比例时，利用数乘向量表示分点向量（如中点）。 16．（2025高一·河北唐山·期末）已知等边△ABC的边长为2，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】因为向量，的夹角为，所以， 故选：B. 17．（25-26高三·重庆·月考）在直角三角形中，斜边的中点为，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】以为基底向量得到向量，然后即可求得. 【详解】，∵为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 在直角中，，∴， ∴. 故选：C 18．（2025高三·吉林长春·期末）在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 【答案】D 【分析】直接利用向量数量积的定义计算即可. 【详解】因为在中，，，， 所以，. 故选：D. 19．（25-26高三·陕西宝鸡·月考）正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则 ． 【答案】0 【分析】用表示，再根据向量数量积运算求解. 【详解】在正方形中，，且， ，， . 故答案为：0. 20．（25-26高三·河南·月考）如图，已知菱形的边长为，，点是对角线上靠近点的一个四等分点，点为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平面向量的线性运算，将和用、表示，再结合向量数量积的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，点是对角线上靠近点的一个四等分点，所以， 所以， 又点为边的中点，所以， 所以， 又四边形为菱形，所以，， 所以， 又菱形的边长为，， 所以 . 故选：D 21．（25-26高三·全国·月考）如图所示在中，，，，，，为边的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用向量的线性运算求出和，再利用向量的数量积公式即可求出答案. 【详解】由题意得，， ， 所以， 因为，，， 所以，，， 所以. 故选：A. 题型四 向量数量积的最值范围 几何意义法+函数法 0. 几何意义法：数量积（为在上的投影（老教材的概念）），通过分析投影的最值确定数量积范围（如动点在多边形边上时，投影的极值出现在端点）； 0. 函数法：设参数表示动点向量（如设，），将数量积表示为关于参数的函数（一次函数或二次函数），结合参数取值范围求最值。 22．（25-26高三·江苏·月考）P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】利用数量积的几何意义，结合图形分析即可得解. 【详解】因为， 如图，过点作， 由图可知，当与点重合时，向量在上的投影取得最大值， 此时取得最大值，则， 因为，则，， 所以. 故选：C. 23．（25-26高三·云南曲靖·月考）如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，，结合数量积运算性质即可求解. 【详解】过点作，垂足为， ， 又，且共线同向， 所以 故选：B 24．（2025高三·全国·专题练习）在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意分点在上时，点在上两种情况进行运算求解即可. 【详解】当点在上时，如图1，，，，为的中点， 所以为等边三角形，即， 所以，又， 所以． 当点在上时，如图2， 此时，所以， 又，所以． 综上，． 故答案为： 题型五 利用向量数量积判断平面图形形状 通过数量积判断边的垂直关系、长度关系，进而确定形状： 0. 垂直判断：若，则（对应图形中两边垂直）； 0. 夹角判断：，（锐角）、（钝角）、（同向）； 0. 长度判断：结合，比较不同向量的模长（如则为等腰）。 解题步骤：1.选取向量表示图形的边；2.计算关键向量的数量积（如、）；3.由数量积结果推导边的垂直、长度关系，确定图形形状。 25．（2025高一·全国·课后作业）已知三角形中，，则三角形的形状为_________三角形（    ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角 【答案】C 【分析】根据数量积的定义可判断为钝角，从而可得正确的选项. 【详解】因为，故，故， 而，故，故三角形为钝角三角形， 故选：C. 26．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据向量垂直得到数量积为，再由数量积的运算律得到，从而求出，即可得解. 【详解】是非零向量且满足，， ，， 即，， ， ，且，又， 所以， ∴是等边三角形. 故选：B． 27．（2025高一·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 【答案】D 【分析】根据数量积的概念即可判断为锐角，再利用三角形的定义判断即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状， 故可为任意三角形. 故选：D 题型六 求向量的模 求向量模的一般思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　　　　 28．（25-26高三·湖北武汉·月考）平面向量，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】对两边平方可得，再计算从而可得结果. 【详解】由，两边平方可得，解得， 则，. 故答案为：. 29．（2025高一·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【详解】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 30．（2025高一·浙江杭州·期中）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的数量积可求的值. 【详解】, 故选：A. 31．（2025高一·四川泸州·期末）已知向量，，，则 . 【答案】2 【分析】根据向量垂直、向量的数量积和向量的模进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：2. 32．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用，可求模. 【详解】， 故． 故选：D． 33．（2025·四川成都·模拟预测）已知向量满足，则 . 【答案】2 【分析】先根据垂直关系求出数量积，再利用模长公式可求答案. 【详解】因为，所以，所以. 又因为，所以. 故答案为：2 34．（2025·河北·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】，又，，， 则，所以. 故选：D. 35．（2025高一·湖北·期末）已知向量满足．若与夹角是，则 ． 【答案】/ 【分析】先由题意求，再由计算即可得解. 【详解】由题意可得， 所以即， 解得. 故答案为： 题型七 已知模求参数 平方转化法——利用，将模长条件转化为数量积方程，求解参数。 解题步骤：1.对含参数的模长等式两边平方（如平方得）；2.展开等式，代入已知的、、的值；3.得到关于参数的一元二次方程（或一次方程），求解参数；4.若有额外条件（如夹角范围），检验参数合理性。 36．（2025高一·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）利用向量的数量积的运算律即可求解； （2）两边平方，结合向量的数量积的运算可得，求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，可得. （2）因为， 所以， 即，解得或. 37．（2025高一·广东佛山·期中）已知向量，满足，，且． (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，求得，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据，利用向量模的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，满足，，且． 可得，可得， 设向量与的夹角为，可得， 因为，所以，即向量与的夹角为. （2）解：因为，可得， 即，解得或. 38．（2025高一·辽宁辽阳·月考）设向量，满足，，且. (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据条件求，再利用求向量的夹角. （2）根据列式求的值. 【详解】（1）因为， 所以. 所以，又， 所以，即向量，的夹角为. （2）因为，所以， 所以， 所以或. 题型八 模的最值问题 平方转化+函数最值 0. 平方转化：将（为参数）平方得，转化为关于的二次函数； 0. 二次函数最值：当时，二次函数的最值在处取得；若有取值范围（如），需结合区间端点和对称轴位置求最值； 0. 几何意义：模长表示向量的长度，可结合图形分析最值 39．（2025高三·全国·专题练习）若且与夹角为，那么实数 时，的值最小． 【答案】/ 【分析】根据结合数量积的运算律及二次函数的性质即可得解. 【详解】因为且与夹角为， 所以， ， 当时，取得最小值. 故答案为：. 40．（2025高一·辽宁沈阳·月考）已知，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积定义和运算性质，化简条件，用模长表示夹角余弦值的函数，求出模长范围. 【详解】已知，得，变形得， 设，则，变形得， 因为，所以，因为，所以， 解不等式组，当时，解得. 故选：D. 41．（2026·河北邢台·模拟预测）若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】C 【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求即可求出. 【详解】， ， ，即， 在上的投影向量为， ，即， 整理得：，化简得：， ， ， ， ， ， ， 令，则， 时，， ， 解得：. 故选：C 42．（2025高二·上海嘉定·期中）已知向量，满足，且. （1）试用表示，并求出的最大值及此时与的夹角的值. （2）当，取得最大值时，求实数，使的值最小，并对这一结果做出几何解释. 【答案】（1），最大值为，； （2），几何解释见解析. 【解析】（1）由，得到，整理得，再结合基本不等式和向量的夹角公式，即可求解. （2）由（2）知的最大值为，化简，结合二次函数的性质，求得取得最小值，再根据向量的线性运算，即可求得几何解释. 【详解】（1）由题意，向量，满足，且， 可得，整理得， 即，可得， 又由， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为， 又由，所以. （2）由（2）知的最大值为， 所以， 所以当时，取得最小值，最小值为, 这一结果的几何解释：平行四边形中，，当且仅当时，对角线最短为. 【点睛】对于向量的数量积和向量的模的运算方法： 1、定义法：已知或可求得两个向量的模和夹角； 2、基底法：直接利用定义法求得数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量的基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解； 3、坐标法：已知条件中（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求解数量积； 4、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算； 5、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 43．（25-26高一·江苏徐州·期末）已知向量与的夹角为，且，，. (1)当时，求； (2)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据得到，代入计算即可得到答案； （2）求得，即可求出答案. 【详解】（1）当时，， 即， 因为，， 所以， 解得. （2）， 所以当时，有最小值2， 故的最小值为. 题型九 向量垂直问题 解决向量垂直问题一般思路 解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握. 44．（25-26高三·安徽阜阳·期末）已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数= . 【答案】 【分析】先根据向量点积公式计算出的值，再利用向量垂直的点积为这一性质，建立方程求解出实数. 【详解】由题可知， 因为，所以， 即，解得. 故答案为：. 45．（2026·河南鹤壁·模拟预测）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【详解】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 46．（25-26高一·湖南长沙·期末）已知平面向量与的夹角为，且. (1)求； (2)若与垂直，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的定义及运算律，结合模长公式即可求解； （2）根据向量垂直可得，再结合向量数量积的运算律和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，得， 则. （2）因为与垂直， 所以， 即，解得. 47．（25-26高一·湖南长沙·期末）已知，，． (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对展开并代入即可求解； （2）根据与垂直可得，代入，即可求解k． 【详解】（1）因为，， 所以，则． （2）若与垂直，则， 从而，又因为，， 所以，解得． 48．（2025高三·河南鹤壁·专题练习）已知非零向量满足，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】两边平方得到，根据向量垂直得到方程，求出，从而，得到答案. 【详解】，两边平方得， 所以 又，故，即， 所以，故，. 故选：C 题型十 求向量的夹角 求向量a，b的夹角θ的思路 (1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值． (2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． 49．（江西省萍乡市2026届高三学期一模考试数学试题）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用展开，结合向量数量积公式即可求解夹角. 【详解】已知， 则， 所以，则. 设与的夹角为，则， 又，故，所以与的夹角为. 故选：C 50．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知，若，则与的夹角为 ． 【答案】/ 【分析】利用向量垂直，数量积为零，再利用数量积求夹角余弦值，即可求解. 【详解】由可得：， 又因为，所以， 即， 又因为，所以， 故答案为： 51．（25-26高一·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为 . 【答案】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，均为单位向量，且， 所以， 所以， 所以， 所以,的夹角余弦值为，所以,的夹角为. 故答案为：. 52．（2026高二·辽宁·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量数量积的运算律结合条件求出，再根据向量夹角的计算公式列式求解即得. 【详解】由得， 又因为，代入解得， 由， 因为，所以. 故选：C. 53．（2026·云南红河·模拟预测）已知非零向量，的夹角为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】因为，所以，即，即． 又因为，所以，又， 解得． 故选：D． 54．（2026高二·辽宁·学业考试）已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据计算即可. 【详解】（1）由整理得，又， 代入得，解得， 则； （2）因为， 又， 所以. 55．【多选】（25-26高三·湖南湘西·期末）在菱形中，，点满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据数量积的定义结合可判断A；由题意判断出的位置，利用反证的思想可判断B；根据向量线性运算可判断C；根据数量积的运算律可判断D. 【详解】对于A，在菱形中，由， 得，所以，故A正确； 对于B，由得是的中点，由，知是上靠近点的三等分点， 若，则F为的中点，与是的三等分点矛盾，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ,故D错误, 故选 ；AC 题型十一 已知向量的夹角求参数 根据夹角类型列不等式（或方程），注意排除共线情况： 0. 夹角为锐角：且与不同向共线； 0. 夹角为钝角：且与不反向共线； 0. 夹角为直角：。 解题步骤：1.计算，根据夹角条件列不等式（如锐角则）；2.求解不等式得参数初步范围；3.检验共线情况（假设，求和参数值，排除该参数）；4.综合得到参数最终范围。 56．（2025高一·福建福州·期末）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由数量积的定义、投影向量的定义即可求解； （2）由题意当且仅当向量与的数量积大于0且不共线，进一步列不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以在方向上的投影向量为； （2）若向量与的夹角为锐角， 则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线， 而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量， 所以，且， 解得或， 故所求为. 57．（2025高一·山东淄博·期中）已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解； （2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于且两向量不同向共线来确定参数的取值范围. 【详解】（1）对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. （2）因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 58．【多选】（2025高一·福建福州·期末）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 【答案】AB 【分析】利用向量模的知识即可求解A；利用投影即可求解B；利用数量积即可求解C；当时，与共线可求解D. 【详解】A：由，是夹角为的单位向量则，则对两边同时平方得，则，故A正确； B：在方向上的投影向量为，故B正确； C：由，，则，故C错误； D：当时，，此时夹角不为锐角，故D错误； 故选：AB. 59．（2025高一·天津武清·月考）已知，，与的夹角为． (1)求； (2)求； (3)若向量与夹角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且. 【分析】（1）先由数量积公式求出，故； （2）利用数量积运算法则计算出的值； （3）且与不同向共线，从而得到不等式，求出且.. 【详解】（1） ， 故； （2） ； （3）由题意得且与不同向共线， ，解得 令，即，解得，则， 综上，且. 60．（2025高一·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的定义求解即可； （2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不同向共线，再利用向量积的运算和共线运算即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以； （2）因为向量与的夹角为锐角， 所以且与不同向共线. 可得：， 将，，代入上式可得：， 整理得：，可得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 题型十二 求投影向量 1.投影与投影向量 （1）设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3） 几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积． 2.解决向量投影问题应注意以下三点 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 61．（2025·四川凉山·模拟预测）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量的公式计算可得. 【详解】因，， 则在上的投影向量为. 故选：A. 62．（25-26高三·湖南常德·月考）设单位向量，的夹角为，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量数量积的运算性质得到，再由投影向量计算公式即可求解. 【详解】依题意得， ， ， 因此在上的投影向量为. 故选：B 63．（25-26高三·甘肃兰州·月考）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的运算律计算可得，结合投影向量的概念计算即可求解. 【详解】因， 则， 得， 在方向上的投影向量为 ． 故答案为： 64．（2025高一·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 65．（25-26高一·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简得到，利用投影向量的公式进行求解. 【详解】因为，所以，化简得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 66．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据得到，再根据投影向量的概念求解. 【详解】由， 所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 平面向量的数量积及其应用（不含坐标） 题型一 向量数量积的夹角及运算律 向量数量积的运算律 （1）；（交换律） （3）；（数乘结合律） （3）；（分配律） （4）平面向量数量积运算的常用公式 1．（2025高一·全国·单元测试）以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 2．（2025高一·陕西榆林·月考）下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 3．【多选】（2025高一·河南周口·月考）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 4．【多选】（2025高一·贵州贵阳·月考）下列叙述正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则与的夹角为钝角 C．若为非零向量，则与同向 D．在等边三角形中，与的夹角为 5．（2025高一·江苏淮安·月考）在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（    ） A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是锐角 D．与的夹角是钝角 6．（2025高一·上海·课堂例题）若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 7．（2025高一·辽宁辽阳·月考）在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型二 向量数量积的简单计算 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为） (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　 8．（25-26高二·江苏连云港·期末）已知，，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 9．（2025高二·河南·学业考试）已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 10．（25-26高二·河北张家口·开学考试）已知向量，满足，，，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．-2 11．（2025高一·黑龙江哈尔滨·月考）向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 12．（2025高一·江苏淮安·月考）已知向量与的夹角为，，，则 ． 13．（2025高一·全国·课后作业）已知两个单位向量的夹角为，且向量，则 ． 14．【多选】（2025高一·内蒙古包头·期末）已知平面向量，，两两的夹角相等，且，则（    ） A．3 B． C． D． 15．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 题型三 平面几何图形中的向量的数量积的计算 基底化运算——选取图形中不共线的向量作为基底（如菱形的邻边、三角形的两边），将待求数量积的向量用基底表示，再结合数量积定义和运算律计算。 解题步骤：1.确定合适基底（优先选已知模长、夹角的向量）；2.利用向量线性运算（加、减、数乘），将目标向量转化为基底表达式；3.代入数量积公式（为基底夹角），结合图形性质（如正方形邻边垂直、菱形邻边相等）化简计算。 常用技巧：涉及中点、三等分点等线段比例时，利用数乘向量表示分点向量（如中点）。 16．（2025高一·河北唐山·期末）已知等边△ABC的边长为2，则（    ） A．2 B． C． D． 17．（25-26高三·重庆·月考）在直角三角形中，斜边的中点为，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 18．（2025高三·吉林长春·期末）在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 19．（25-26高三·陕西宝鸡·月考）正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则 ． 20．（25-26高三·河南·月考）如图，已知菱形的边长为，，点是对角线上靠近点的一个四等分点，点为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高三·全国·月考）如图所示在中，，，，，，为边的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 题型四 向量数量积的最值范围 几何意义法+函数法 0. 几何意义法：数量积（为在上的投影（老教材的概念）），通过分析投影的最值确定数量积范围（如动点在多边形边上时，投影的极值出现在端点）； 0. 函数法：设参数表示动点向量（如设，），将数量积表示为关于参数的函数（一次函数或二次函数），结合参数取值范围求最值。 22．（25-26高三·江苏·月考）P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 23．（25-26高三·云南曲靖·月考）如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．（2025高三·全国·专题练习）在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是 ． 题型五 利用向量数量积判断平面图形形状 通过数量积判断边的垂直关系、长度关系，进而确定形状： 0. 垂直判断：若，则（对应图形中两边垂直）； 0. 夹角判断：，（锐角）、（钝角）、（同向）； 0. 长度判断：结合，比较不同向量的模长（如则为等腰）。 解题步骤：1.选取向量表示图形的边；2.计算关键向量的数量积（如、）；3.由数量积结果推导边的垂直、长度关系，确定图形形状。 25．（2025高一·全国·课后作业）已知三角形中，，则三角形的形状为_________三角形（    ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角 26．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 27．（2025高一·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 题型六 求向量的模 求向量模的一般思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　　　　 28．（25-26高三·湖北武汉·月考）平面向量，满足，，，则 ． 29．（2025高一·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 30．（2025高一·浙江杭州·期中）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 31．（2025高一·四川泸州·期末）已知向量，，，则 . 32．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 33．（2025·四川成都·模拟预测）已知向量满足，则 . 34．（2025·河北·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A． B．2 C． D． 35．（2025高一·湖北·期末）已知向量满足．若与夹角是，则 ． 题型七 已知模求参数 平方转化法——利用，将模长条件转化为数量积方程，求解参数。 解题步骤：1.对含参数的模长等式两边平方（如平方得）；2.展开等式，代入已知的、、的值；3.得到关于参数的一元二次方程（或一次方程），求解参数；4.若有额外条件（如夹角范围），检验参数合理性。 36．（2025高一·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 37．（2025高一·广东佛山·期中）已知向量，满足，，且． (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值． 38．（2025高一·辽宁辽阳·月考）设向量，满足，，且. (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值. 题型八 模的最值问题 平方转化+函数最值 0. 平方转化：将（为参数）平方得，转化为关于的二次函数； 0. 二次函数最值：当时，二次函数的最值在处取得；若有取值范围（如），需结合区间端点和对称轴位置求最值； 0. 几何意义：模长表示向量的长度，可结合图形分析最值 39．（2025高三·全国·专题练习）若且与夹角为，那么实数 时，的值最小． 40．（2025高一·辽宁沈阳·月考）已知，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 41．（2026·河北邢台·模拟预测）若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 42．（2025高二·上海嘉定·期中）已知向量，满足，且. （1）试用表示，并求出的最大值及此时与的夹角的值. （2）当，取得最大值时，求实数，使的值最小，并对这一结果做出几何解释. 43．（25-26高一·江苏徐州·期末）已知向量与的夹角为，且，，. (1)当时，求； (2)求的最小值. 题型九 向量垂直问题 解决向量垂直问题一般思路 解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握. 44．（25-26高三·安徽阜阳·期末）已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数= . 45．（2026·河南鹤壁·模拟预测）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 46．（25-26高一·湖南长沙·期末）已知平面向量与的夹角为，且. (1)求； (2)若与垂直，求的值. 47．（25-26高一·湖南长沙·期末）已知，，． (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 48．（2025高三·河南鹤壁·专题练习）已知非零向量满足，，则（    ） A．2 B． C． D． 题型十 求向量的夹角 求向量a，b的夹角θ的思路 (1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值． (2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． 49．（江西省萍乡市2026届高三学期一模考试数学试题）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 50．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知，若，则与的夹角为 ． 51．（25-26高一·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为 . 52．（2026高二·辽宁·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 53．（2026·云南红河·模拟预测）已知非零向量，的夹角为，且，，则（    ） A． B． C． D． 54．（2026高二·辽宁·学业考试）已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 55．【多选】（25-26高三·湖南湘西·期末）在菱形中，，点满足，，则（    ） A． B． C． D． 题型十一 已知向量的夹角求参数 根据夹角类型列不等式（或方程），注意排除共线情况： 0. 夹角为锐角：且与不同向共线； 0. 夹角为钝角：且与不反向共线； 0. 夹角为直角：。 解题步骤：1.计算，根据夹角条件列不等式（如锐角则）；2.求解不等式得参数初步范围；3.检验共线情况（假设，求和参数值，排除该参数）；4.综合得到参数最终范围。 56．（2025高一·福建福州·期末）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 57．（2025高一·山东淄博·期中）已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 58．【多选】（2025高一·福建福州·期末）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 59．（2025高一·天津武清·月考）已知，，与的夹角为． (1)求； (2)求； (3)若向量与夹角为锐角，求实数k的取值范围． 60．（2025高一·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 题型十二 求投影向量 1.投影与投影向量 （1）设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3） 几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积． 2.解决向量投影问题应注意以下三点 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 61．（2025·四川凉山·模拟预测）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 62．（25-26高三·湖南常德·月考）设单位向量，的夹角为，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 63．（25-26高三·甘肃兰州·月考）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为 ． 64．（2025高一·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 65．（25-26高一·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 66．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $