专题 1.8 二次根式全章考点与题型专题训练（7大考点20类题型）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.8 二次根式全章考点与题型专题训练（7大考点20类题型） 目录 一.基础篇 2 【考点一】二次根式的意义 2 【题型 1】二次根式的识别 2 【题型 2】求二次根式有意义的条件 4 【题型 3】求二次根式的参数 5 【考点二】二次根式的性质 7 题型 4：最简二次根式的判断 7 题型 5：化为最简二次根式 9 题型 6：已知最简二次根式求参数 11 【考点三】二次根式的运算（基础部分） 12 题型 7：二次根式的乘法 13 题型 8：二次根式的除法 13 题型 9：分母有理化 15 题型 10：同类二次根式的识别与合并 17 题型 11：二次根式的加减运算 19 二.培优篇 21 【考点四】二次根式的混合运算 23 题型 12：复合二次根式的化简 23 题型 13：二次根式的乘除混合运算 26 题型 14：二次根式的加减乘除混合运算 29 【考点五】二次根式的化简求值 31 题型 15：已知字母的值，化简求值 31 题型 16：已知条件式，化简求值 33 【考点六】二次根式的大小比较 34 题型 17：比较二次根式的大小 34 【考点七】二次根式的应用 37 题型 18：几何图形中的二次根式计算 37 题型 19：二次根式与实际问题 41 题型 20：实际问题（海伦 - 秦九韶公式） 44 一.基础篇 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【考点一】二次根式的意义 考法：二次根式的识别、求有意义的条件、求二次根式中的参数、求二次根式的值。 【题型 1】二次根式的识别 1．（2026八年级下·全国·专题练习）下列代数式中，二次根式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，逐一分析各选项是否符合定义即可． 解：∵， ∴， 由二次根式的定义可知，四个式子中只有是二次根式（当时，没有意义）， 故选：C． 2．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 【题型 2】求二次根式有意义的条件 1．（25-26八年级下·全国·周测）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义则被开方数大于等于零、分式有意义则分母不等于零是解题的关键． 根据分母不为，被开方数必须大于或等于零，列不等式求解即可． 解：∵ 函数 ， ∴ 对于 ，需 且，但分母不能为零，故 ，即 ; 对于，需，即 ; ∴ 自变量 的取值范围为 且 . 故选：D． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）方程，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，解一元一次不等式． 根据二次根式的非负性，绝对值的非负性得到，根据解不等式即可． 解：∵， ∴， 且， ， ， ， ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，则 ． 【答案】6 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，从而确定的值，再代入方程求出的值，最后计算． 本题考查了二次根式的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 解：因为和 在实数范围内有意义， 所以且， 即且， 解得， 将代入原方程，得， 所以，即； 因此， 故答案为：6． 4．（25-26八年级上·上海·月考）要使代数式有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】代数式有意义需满足根号内被开方数非负且分母不为零，分别解不等式后结合取值范围． 本题考查了代数式有意义的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 解：要使代数式有意义，需同时满足两个条件： 第一，根号下的被开方数是非负数即，解得 ； 第二，分母不为零即，解得； 故且； 故答案为：且． 【题型 3】求二次根式的参数 1．（23-24八年级下·河南新乡·月考）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 解：， ， ，即，解得， 故选：C． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 3．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知是整数，则自然数的所有可能的值为 ． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 4．（23-24八年级下·云南怒江·月考）已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 【考点二】二次根式的性质 考法：利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断、化为最简二次根式、已知最简二次根式求参数。 题型 4：最简二次根式的判断 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐一判断每个二次根式是否为最简二次根式． 解：根据最简二次根式的定义分析各根式： ①：​，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意； ②：被开方数不含分母，且和都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意； ③：被开方数不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合题意； ④：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意． 综上，是最简二次根式的有②③，共个． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个核心条件，逐一分析被开方数的形式． 2．（24-25八年级下·吉林·期末）在下列四个式子中，最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答． 解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的意义是正确判断的关键． 根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可． 解：A．，因此不是最简二次根式，不符合题意； B．，因此不是最简二次根式，不符合题意； C．，因此不是最简二次根式，不符合题意； D．的被开方数是整式，且不含能开得尽方的因数或因式，因此是最简二次根式，符合题意． 故选：D ． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【答案】①④⑤⑥ 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可． 解：①是最简二次根式； ②中含有分式，故不是最简二次根式； ③中含有小数，故不是最简二次根式； ④是最简二次根式； ⑤是最简二次根式； ⑥是最简二次根式； ⑦，故不是最简二次根式． 故答案为：①④⑤⑥． 题型 5：化为最简二次根式 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）将化为最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式． 解：先把化为分数：，则． 根据二次根式的性质，将分母有理化： ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分母有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式． 2．（25-26八年级上·上海·月考）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将带分数化为假分数，再利用二次根式的性质化简，最后进行分母有理化得到最简结果． ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、二次根式有意义的条件、不等式的性质，先根据二次根式有意义的条件以及得到，再将根号内的表达式分解为平方因子和非平方因子，并处理符号问题，得到结果即可． 解：∵二次根式有意义， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选C． 题型 6：已知最简二次根式求参数 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简． 先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可． 解：， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得：． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东泰安·月考）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是正整数，是最简二次根式，则可以是 （写出一种情况即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的概念解答即可． 解：当时，， 是最简二次根式，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·月考）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【答案】 3 5 【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案． 解：最简二次根式与最简二次根式相等， ∴， 解得：，． 故答案为：3，5． 【考点三】二次根式的运算（基础部分） 考法：二次根式的乘除、分母有理化、二次根式的加减运算、同类二次根式。 题型 7：二次根式的乘法 1．（25-26九年级上·重庆·期中）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先计算二次根式的乘法，再估计数值范围即可． 解：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海普陀·期末）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘法法则计算解答即可． 本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握法则是解题的关键． 解： ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可； （3）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法法则是解题的关键． （1）本题需要计算，根据二次根式乘法法则，将两个二次根式相乘后再化简求值． （2）本题要计算，利用二次根式乘法法则，先将系数与根式分别相乘，再化简． （3）本题计算，依据二次根式乘法法则，把系数和根式部分分别相乘后化简求值． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 题型 8：二次根式的除法 1．（2024·云南曲靖·模拟预测）设n 为正整数且，则n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，无理数的估值．先对式子进行化简，再对无理数估值即可解答． 解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】先化简除式中的根式，再转化为乘法，最后有理化分母； 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 解： ∵ ∴原式= 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法，分母有理化； （1）直接分母有理化即可； （2）先计算二次根式的除法，再分母有理化即可； （3）先计算二次根式的除法，再分母有理化即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）直接根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据二次根式的除法法则计算即可； （3）直接根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 题型 9：分母有理化 1．（24-25八年级下·四川南充·期末）下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简及运算，根据二次根式的性质逐一验证即可，掌握相关知识是解题的关键． A、，故选项不符合题意； B、，计算正确，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题需要对分母含有二次根式的式子进行化简，可通过分母有理化的方法，将分母中的根号去掉，从而得到最简形式． 为了将分母有理化，分子分母同时乘以（的有理化因式），则： 原式 【点睛】本题考查了分母有理化，掌握给分母乘以其有理化因式将分母中的根号去掉的方法是解题的关键． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）【类比思想】化简，甲，乙两位同学的解法如下： 甲：； 乙：． 以上两种化简的步骤叫作分母有理化． 仿照上述两种方法，请选择一种化简：． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式． 利用平方差公式，结合题目特征，进行分母有理化即可． 【详解】解： ； ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对二次根式进行分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （2）先对二次根式分母有理化，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 . （2）解：原式. . 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则. 题型 10：同类二次根式的识别与合并 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简和同类二次根式，先将各项进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可． A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如果与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据同类二次根式的定义，将化为最简二次根式，得到被开方数为，再令，完成求解． 解：，与最简二次根式是同类二次根式， ∴，解得：． 故答案为：． 3．（21-22八年级·全国·假期作业）分别求出满足下列条件的字母a的取值： (1)若最简二次根式与﹣是同类二次根式； (2)若二次根式与﹣是同类二次根式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案； （2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案． 【详解】（1）∵﹣＝﹣2，最简二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2， 解得． （2）∵二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2n2， 解得a＝． 【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 4．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，由已知求得，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 题型 11：二次根式的加减运算 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括合并同类项、化简以及乘法公式的应用，根据二次根式的运算法则判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：A、， 故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、 ，故选项符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025·河北·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用二次根式的性质化简二次根式以及二次根式的减法运算，掌握运用二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．先根据二次根式的性质化简，再确定、、的值，最后计算即可． 解：∵， ∴，，， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在计算时，小敏的解题过程如下： 解：原式  第一步   第二步     第三步 ．  第四步 (1)小敏从第________步开始出现错误． (2)正确的答案是______________． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减法则是解题的关键． （1）小敏在第二步去括号时，错误地将减号分配，导致符号错误； （2）正确计算需先化简根式，再去括号并合并同类项即可． 【详解】（1）解：小敏在第二步去括号时，对减号后的括号内各项未全部变号， 故从第二步开始出现错误． （2）解：正确解题过程： 原式 ． 正确的答案是． 4．（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，分母有理化，先利用二次根式的性质化简，然后去括号，最后再计算括号外面的即可． 【详解】解： 二.培优篇 【考点四】二次根式的混合运算 考法：二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减乘除混合运算、利用乘法公式简化计算。 题型 12：复合二次根式的化简 1．（2024八年级上·湖南怀化·竞赛）计算（   ） A． B． C．5 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了复合二次根式的混合运算，先利用完全平方公式化简二次根式，再加减即可． 解：∵， ∴ ． 故选：D． 2．（23-24九年级下·湖北黄冈·自主招生） ． 【答案】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，把原式化为，再进一步求解即可． 解： ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 4．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了化简复合二次根式，分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答． （2）模仿题干解题过程，得，即可作答． （3）先根据复合二次根式的性质化简，再进行分母有理化，最后运算加减法，即可作答． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型 13：二次根式的乘除混合运算 1．（23-24九年级上·河南南阳·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质及运算法则分别运算即可判断求解，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 解：、，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项正确，符合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·重庆·开学考试）计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．第一题根据二次根式的乘除法法则计算即可；第二题先将括号内的二次根式化简，然后求和，再计算二次根式的除法即可． 解： ． ． 故答案为：； 3．（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘除混合运算等知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可． 解： ． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）计算： (1)． (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式化简计算，平方差公式结合完全平方公式化简，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）根据二次根式的乘除法法则运算即可． （2）利用平方差公式结合完全平方公式化简，即可解得． （1）解： （2）解： 题型 14：二次根式的加减乘除混合运算 1．（25-26九年级上·四川内江·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加法、除法、平方根性质和乘法公式，解题的关键是需要根据二次根式的运算法则逐一判断． 解：A．和不是同类二次根式，不能合并，错误，不符合题意． B．，错误，不符合题意． C．，正确，符合题意． D．，错误，不符合题意， 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是灵活运用乘法分配律简化计算，同时熟练掌握二次根式的乘除运算法则． 先利用乘法分配律进行计算，再计算二次根式的除法，最后合并同类项． 解：原式 ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再计算加减法即可． （1）解： ； （2）解： 4．（25-26八年级上·河北承德·期末）计算题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式： （1）先利用二次根式性质化简，再根据二次根式运算法则计算即可； （2）先利用平方差公式，完全平方公式计算，再根据二次根式运算法则计算． （1）解： ． （2）解： ． 【考点五】二次根式的化简求值 考法：已知字母的值化简求值、已知条件式化简求值、整体代入求值。 题型 15：已知字母的值，化简求值 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，通过计算x与y的和与积，利用恒等式将原式转化为，代入计算即可． 解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（2025八年级上·福建福州·专题练习）已知，则 ． 【答案】 2029 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，利用已知条件变形，得到，再通过平方运算求出的值，最后代入原式计算． 解：∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 故答案为：2029． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再将a的值代入化简后的式子计算即可． 解： ， 当时，原式． 4．（25-26八年级下·全国·周测）已知，求的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式组，解不等式组求得的值，将的值代回等式求得的值，继而可得、的正负，最后化简二次根式，代入求值即可． 解：由题意，得，， ， ， ，． 故原式 ． 当时，原式． 题型 16：已知条件式，化简求值 1．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 2．（2026八年级上·四川成都·专题练习）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，根据题意，则可将原式转化为的形式，然后利用已知条件代入计算即可得到答案． 解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知对，，求的值． 【答案】 3 【分析】根据异分母分式的加减先化简，再代入求值即可． 本题考查了二次根式的加减法和分式运算，掌握的取值范围是解题关键． 解：∵, ∴, ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式化简求值，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的乘除法法则进行化简，然后将整体代入进行求值即可． 解：原式 ． 当时， 原式． 【考点六】二次根式的大小比较 考法：平方法、作差法、倒数法、有理化法等。 题型 17：比较二次根式的大小 1．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比较大小”是解题的关键． 通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系． 解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法，先化简，然后比较被开方数的大小即可，或利用平方法进行比较； （2）根据二次根式的乘法，先化简，然后比较被开方数的大小，两个负数比较大小，被开方数越大，原数越小；或利用平方法进行比较，两个负数比较大小，平方后的数越大，原数越小． （1）解：， ． ， ． 【一题多解法】，． ， ． （2）解：， ． ， ． 【一题多解法】，，，， 而， ． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，分母有理数，二次根式的大小比较，根据已知等式得出规律是解题关键． （1）观察已知等式规律作答即可； （2）观察已知等式规律作答即可； （3）根据上述规律，得到两个数的倒数，然后通过比较两个倒数的大小，即可比较这两个数的大小． （1）解：观察以上规律，第5个等式为：， 故答案为： （2）解：观察以上规律，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：， ， ， ，即， ． 【考点七】二次根式的应用 考法：结合几何图形计算、实际问题（如海伦 - 秦九韶公式）、非负性应用。 题型 18：几何图形中的二次根式计算 1．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）下列各三角形中，面积为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三线合一，勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法，根据三线合一，结合勾股定理和逆定理，逐一进行判断即可． 解：A、设底边上的高为，由三线合一和勾股定理，得：， 故三角形的面积为：为有理数；不符合题意； B、∵， ∴三角形为直角三角形， ∴三角形的面积为：为有理数；不符合题意； C、同A法可得，三角形的高为， ∴三角形的面积为：为无理数，符合题意； D、∵， ∴三角形为直角三角形， ∴三角形的面积为：为有理数；不符合题意； 故选C． 2．（23-24八年级下·河南信阳·月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，4和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是2，和，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由． (2)若Rt是奇异三角形，直角边的长为a，b（），斜边长为c，写出a和b的等量关系式． 【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析 (2) 【分析】考查了直角三角形的性质、勾股定理； （1）根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． （2）由勾股定理得出①，由是奇异三角形，且，得出②，由①②得出，即可得出结论． 熟练掌握奇异三角形的定义、勾股定理是解题的关键． （1）解：此三角形是奇异三角形；理由如下： ， 是奇异三角形， （2）中，， ， ， ，， 是奇异三角形， ， ， ， ， 3．（24-25八年级上·上海·月考）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在中，，，若是“好玩三角形”，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么．熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 分边上的中线等于，边上的中线等于两种情况，根据勾股定理计算． 解：当边上的中线等于时，如图， ， ， ． 当边上的中线等于时， ， ， 解得，， 综上所述，或， 故答案为：或． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）【定义新知】 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”． 【应用探究】 (1)如图，在中，，求证：是“奇异三角形”； (2)已知，等腰是“奇异三角形，，求底边的长．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2)底边的长为或． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，二次根式的化简以及中线定义的综合应用，解决问题的关键是运用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理进行计算求解．解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． （1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，即可得出是“奇异三角形”； （2）需要分两种情况：①当腰上的中线时，则，过B作于E，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，即可求得的长；②当底边上的中线时，则，且，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，列出方程，即可求得的长． （1）解：如图，取的中点D，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是“奇异三角形”； （2）解：分两种情况： 如图，当腰上的中线时，则，过B作于E， ∵， ∴，， ∴， ∴中，， ∴中，； 如图，当底边上的中线时，则，且， 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴． 综上所述，底边的长为或． 题型 19：二次根式与实际问题 1．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图所示，15只空油桶（每只油桶底面直径均为）堆在一起，要给它盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．此题关键是三个角处的三个油桶的圆心连线长为4个油桶的直径，考查学生分析题意的能力及勾股定理． 设每只油桶底面的直径为，，则，，再利用勾股定理求出，即可求解． 解：如图，由题意可得每只油桶底面的直径为，，则，， 这堆油桶的高度为 ． 因此，遮雨棚的高度起码要有． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． （1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）小静设计了一个长方形，已知长方形的长为，宽为．她又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、长方形与圆的面积公式，解题关键是熟练运用二次根式的乘法性质化简计算，同时准确建立不同图形面积的等量关系． 先根据长方形面积公式求出长方形面积，再结合圆的面积公式建立等式，求解圆的半径，过程中会用到二次根式的乘法运算． 解：①计算长方形的面积： ． 根据二次根式乘法性质可得：． ②设圆的半径为，根据圆的面积公式，且，则： ， ． ∵半径， ∴． 题型 20：实际问题（海伦 - 秦九韶公式） 1．（25-26八年级上·浙江·假期作业）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积． 解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4， ∴ ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东日照·期末）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式性质，无理数的估算，先计算半周长，再代入海伦-秦九韶公式求面积S，然后估算S的整数部分，最后求小数部分即可． 解：由题意得： ， ， ∵，即， ∴S的整数部分为， 小数部分为． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 【答案】能， 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，解题的关键是正确代入公式并计算． 将题目中的已知量代入到公式中计算即可． 解：，，， ， 故这块菜地的面积约为． 4．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在中，已知，，，求的面积； 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理逆定理，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． （1）通过计算三边的平方关系，判断三角形形状； （2）利用海伦公式计算三角形面积． （1）解：实践基地是直角三角形； 理由：∵三边长分别为， ，， ， ∴该三角形是直角三角形． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴的面积是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.8 二次根式全章考点与题型专题训练（7大考点20类题型） 目录 一.基础篇 2 【考点一】二次根式的意义 2 【题型 1】二次根式的识别 2 【题型 2】求二次根式有意义的条件 2 【题型 3】求二次根式的参数 3 【考点二】二次根式的性质 3 题型 4：最简二次根式的判断 3 题型 5：化为最简二次根式 4 题型 6：已知最简二次根式求参数 4 【考点三】二次根式的运算（基础部分） 4 题型 7：二次根式的乘法 4 题型 8：二次根式的除法 5 题型 9：分母有理化 5 题型 10：同类二次根式的识别与合并 5 题型 11：二次根式的加减运算 6 二.培优篇 6 【考点四】二次根式的混合运算 7 题型 12：复合二次根式的化简 7 题型 13：二次根式的乘除混合运算 8 题型 14：二次根式的加减乘除混合运算 8 【考点五】二次根式的化简求值 9 题型 15：已知字母的值，化简求值 9 题型 16：已知条件式，化简求值 9 【考点六】二次根式的大小比较 9 题型 17：比较二次根式的大小 10 【考点七】二次根式的应用 10 题型 18：几何图形中的二次根式计算 10 题型 19：二次根式与实际问题 11 题型 20：实际问题（海伦 - 秦九韶公式） 12 一.基础篇 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【考点一】二次根式的意义 考法：二次根式的识别、求有意义的条件、求二次根式中的参数、求二次根式的值。 【题型 1】二次根式的识别 1．（2026八年级下·全国·专题练习）下列代数式中，二次根式为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【题型 2】求二次根式有意义的条件 1．（25-26八年级下·全国·周测）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2026八年级下·全国·专题练习）方程，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，则 ． 4．（25-26八年级上·上海·月考）要使代数式有意义，那么的取值范围是 ． 【题型 3】求二次根式的参数 1．（23-24八年级下·河南新乡·月考）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 3．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知是整数，则自然数的所有可能的值为 ． 4．（23-24八年级下·云南怒江·月考）已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【考点二】二次根式的性质 考法：利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断、化为最简二次根式、已知最简二次根式求参数。 题型 4：最简二次根式的判断 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·吉林·期末）在下列四个式子中，最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 题型 5：化为最简二次根式 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）将化为最简二次根式为 ． 2．（25-26八年级上·上海·月考）化简： ． 3．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 题型 6：已知最简二次根式求参数 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 2．（23-24八年级下·山东泰安·月考）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是正整数，是最简二次根式，则可以是 （写出一种情况即可）． 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·月考）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【考点三】二次根式的运算（基础部分） 考法：二次根式的乘除、分母有理化、二次根式的加减运算、同类二次根式。 题型 7：二次根式的乘法 1．（25-26九年级上·重庆·期中）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 2．（25-26八年级上·上海普陀·期末）计算： ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 题型 8：二次根式的除法 1．（2024·云南曲靖·模拟预测）设n 为正整数且，则n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型 9：分母有理化 1．（24-25八年级下·四川南充·期末）下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果为 ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）【类比思想】化简，甲，乙两位同学的解法如下： 甲：； 乙：． 以上两种化简的步骤叫作分母有理化． 仿照上述两种方法，请选择一种化简：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 题型 10：同类二次根式的识别与合并 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如果与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 3．（21-22八年级·全国·假期作业）分别求出满足下列条件的字母a的取值： (1)若最简二次根式与﹣是同类二次根式； (2)若二次根式与﹣是同类二次根式． 4．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 题型 11：二次根式的加减运算 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·模拟预测）已知，则 ． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在计算时，小敏的解题过程如下： 解：原式  第一步   第二步     第三步 ．  第四步 (1)小敏从第________步开始出现错误． (2)正确的答案是______________． 4．（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： 二.培优篇 【考点四】二次根式的混合运算 考法：二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减乘除混合运算、利用乘法公式简化计算。 题型 12：复合二次根式的化简 1．（2024八年级上·湖南怀化·竞赛）计算（   ） A． B． C．5 D．1 2．（23-24九年级下·湖北黄冈·自主招生） ． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 4．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 题型 13：二次根式的乘除混合运算 1．（23-24九年级上·河南南阳·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆·开学考试）计算： ； ． 3．（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）计算： (1)． (2) 题型 14：二次根式的加减乘除混合运算 1．（25-26九年级上·四川内江·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·河北承德·期末）计算题 (1)； (2)． 【考点五】二次根式的化简求值 考法：已知字母的值化简求值、已知条件式化简求值、整体代入求值。 题型 15：已知字母的值，化简求值 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 2．（2025八年级上·福建福州·专题练习）已知，则 ． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中． 4．（25-26八年级下·全国·周测）已知，求的值． 题型 16：已知条件式，化简求值 1．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 2．（2026八年级上·四川成都·专题练习）已知，，则的值为 ． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知对，，求的值． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 【考点六】二次根式的大小比较 考法：平方法、作差法、倒数法、有理化法等。 题型 17：比较二次根式的大小 1．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）比较大小： （填“”“”或“”）． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小： (1)与． (2)与． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【考点七】二次根式的应用 考法：结合几何图形计算、实际问题（如海伦 - 秦九韶公式）、非负性应用。 题型 18：几何图形中的二次根式计算 1．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）下列各三角形中，面积为无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南信阳·月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，4和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是2，和，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由． (2)若Rt是奇异三角形，直角边的长为a，b（），斜边长为c，写出a和b的等量关系式． 3．（24-25八年级上·上海·月考）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在中，，，若是“好玩三角形”，则 ． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）【定义新知】 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”． 【应用探究】 (1)如图，在中，，求证：是“奇异三角形”； (2)已知，等腰是“奇异三角形，，求底边的长．（结果保留根号） 题型 19：二次根式与实际问题 1．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图所示，15只空油桶（每只油桶底面直径均为）堆在一起，要给它盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？ 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）小静设计了一个长方形，已知长方形的长为，宽为．她又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为 ． 题型 20：实际问题（海伦 - 秦九韶公式） 1．（25-26八年级上·浙江·假期作业）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 2．（25-26八年级上·山东日照·期末）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 4．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在中，已知，，，求的面积。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $