5.2.1基本初等函数的导数（教学课件）数学沪教版选择性必修第二册

5.2 导数的运算 第五章 导数及其应用 5.2.1 基本初等函数的导数 沪教版选择性必修第二册·高二 学 习 目 标 1 2 3 能用定义求导几种基本初等函数的导数. 掌握几种基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用. 会判断及求解函数的驻点. 复习回顾 导数的几何意义 1. f(x)在x=x0处切线的斜率： 2. f(x)在x=x0处切线的方程： 3. 函数的驻点：导数为零的点. 研究方法 无限逼近的极限思想. 2 新知探究 从求函数 y＝f (x) 在 x＝x0 处导数的过程可以发现， 当 x＝x0 时， 是一个唯一确定的数. 当 x 变化时， 就是关于 x 的函数，我们称它为 y＝f (x) 的导函数 (简称为导数). 其中 求一个函数的导（函）数的过程常简称为求导. 2 新知探究 思考：对于函数 y=f(x)，如何更便捷地求出它在某一点处的导数？ 如果能够求出函数 y=f(x) 的导数 ，那么求该函数在某点处导数的问题就可以通过简单的代入求值来解决. 根据导数的定义可以求一些基本初等函数的导数. 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数被称为基本初等函数. 3 举例分析 例1 求常数函数 y=C 的导数. 解：记f(x)=C . 当h≠0时， 因此，当h趋近于0时， 思考：你能从导数几何意义的角度来解释该结论吗？ 对于函数f(x)=C，坐标平面中的相应曲线是平行于x轴的直线y=C，连接该直线上任何两点的割线都是这条直线本身，从而该直线上任何一点处的切线也是这条直线本身. 由此可见，该直线上任何一点处的切线的斜率都是0，即对任何的x，都有 . 3 举例分析 类似的，对于函数f(x)=kx+b.直线y=kx+b上任何一点处的切线都是这条直线本身，从而都具有斜率k，即对任何的x，都有 思考：你能试着从导数的定义来证明此结论？ 例2 求函数 y=kx+b 的导数. 解：记f(x)=kx+b . 当h≠0时， 因此，当h趋近于0时， 3 举例分析 例3 求下列幂函数y=f(x)的导数，其中. 解：(1) 当h≠0时， 因此，当h趋近于0时， 解：(2) 当h≠0时， 因此，当h趋近于0时， 3 举例分析 例3 求下列幂函数y=f(x)的导数，其中. 解：(3) 当h≠0时， 因此，当h趋近于0时， 为了更便捷地处理求导问题，我们通常将以下基本初等函数的导数作为公式使用： 4 新知讲授 5 举例应用 例4 已知函数y=f(x)的导数，其中 解：因为， 所以， 5 举例应用 例5 求正弦函数y=sinx 的驻点. 解： 因为， ， 而 的解是 所以，当且仅当 时，正弦函数的导数为零， 即正弦函数y=sinx 的驻点为 5 举例应用 例5 求正弦函数y=sinx 的驻点. 从函数图像上看，这些驻点有什么特殊性质？ 在该处，函数图像的切线是水平的. 即若x0是函数 y=f(x)的驻点，则在函数 图像上对应的点(x0，f(x0))处，切线斜率k= 6 巩固练习 用导数的定义求函数y= x2+3x﹣5的导数. 1 解：记f(x)=x2+3x﹣5. 当h≠0时， 因此，当h趋近于0时， 6 巩固练习 用公式求下列函数 y=f(x) 的导数，其中： 2 解：(1) 解：(2) 6 巩固练习 求函数 y=cosx 在 的导数. 3 解：记 f(x)=cosx . 所以 解： 6 巩固练习 证明函数 y=lnx 与 y=ex 没有驻点 . 4 解：记 f(x)=lnx . 所以 令 方程无解， 所以函数 y=lnx 没有驻点 . 解：记 f(x)=ex . 所以 令 方程无解， 所以函数 y=ex 没有驻点 . 课堂小结 基本初等函数的导数公式 补充强化练 7 C 1．下列求导结果正确的是（    ）. A． B． C． D． 补充强化练 7 2x+y﹣3=0 2．函数 在x=1处的切线方程为___________ . e 3．若直线y=kx是曲线y=ex的一条切线，则k=___ . 4．已知函数 f(x)=sinx，则 ___ . 1 感谢聆听! 沪教版选择性必修第二册·高二 $