重难点专训01 构造法、累加、累乘、奇偶项数列等常见方法求通项公式（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点专训01 构造法、累加、累乘、奇偶项数列等常见方法求通项公式 解题方法及技巧提炼 2 题型通法及变式提升 3 题型一：累加法 3 题型二：累乘法 4 题型三：同除法或取倒数法 6 题型四：因式分解法 8 题型五：已知或 10 题型六：等式含 13 题型七：等式含与或与 16 题型八：前n项积 17 题型九：加减常数构造或加减构造 19 题型十：奇偶数列形如 21 题型十一：隔项等差（比）数列 24 重难专题分层过关练 26 巩固过关 26 创新提升 31 一、累加法、累乘法 ①累加法：适用于，求 具体过程：两边分别相加得 ②累乘法：适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 二、同除法及取倒数法 ①形如整式，两边同时除以 ②形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） ③形如,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 三、已知或 ①用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. ②若等式中为与或与，则替换题目中的 四、构造法 ①形如且，化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ①形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 五、隔项等差（比）数列 ①形如可推出，即奇数项构成以为首项的等差数列，公差为；偶数项构成以为首项的等差数列，公差为； ②形如，，可推出，即奇数项构成以为首项的等比数列，公比为；偶数项构成以为首项的等比数列，公比为 六、分段递推求通项 奇偶项的递推关系不同，一般利用递推关系推出奇数项或偶数项之间的关系，分别求出奇偶项的通项公式 题型一：累加法 典例1-1．已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，即 ，且， 所以， 由满足上式，故. 故选：B 典例1-2．数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. 变式1-1．在数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】，， 当时， ， 当时，，与相符， 数列的通项公式为. 变式1-2．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，知， 所以，即， 故，又适合上式，故． 故选：C. 题型二：累乘法 典例2-1．在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 【答案】B 【详解】因为，所以，即，得. 所以. 因为，所以. 故选：B. 典例2-2．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 变式2-1．数列递推指的是通过数列第项与前几项或者后几项的关系，计算出数列的任一项．若数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由及已知，得 ， 相乘可得，故. 故选：C 变式2-2．数列中，若,，则 . 【答案】 【详解】若，，则且， 所以， 所以. 故答案为：. 题型三：同除法或取倒数法 典例3-1．已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列的首项，且各项满足公式，则，，， 以此类推，对任意的，， 由可得，所以，， 所以，数列是等差数列，且首项为，公差为， ，因此，. 故选：B. 典例3-2．已知数列满足，若，则数列的通项 ． 【答案】 【详解】∵ ∴，即 ∵ ∴数列是以为首项，公比为的等比数列 ∴ ∴ ∴ 故答案为. 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项． 变式3-1．已知数列满足，，则数列的通项公式 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，可得， 从而， 所以是首项为，公差为2的等差数列， 所以，即． 故答案为： 变式3-2．已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若，求的最大值． 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）因为，所以， 故，又，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，解得， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，则， 所以 ， 因为 恒成立， 所以是单调递增数列， 且，， 故使得的的最大值为3. 题型四：因式分解法 典例4-1．已知正项数列满足，且，求的通项公式 【答案】 【详解】由已知，得， 因为数列是正项数列，所以， 即， 故 累乘得，， 又也满足上式 故的通项 典例4-2．在数列中，，且递增，则 ． 【答案】 【详解】解法一 根据题意，有， 于是， 考虑到，于是， 所以 进而． 解法二 根据题意，有， ， 两式相减，得， 因为数列单调递增，所以，， 两式相减，得． 解上式对应的特征方程, 得，因此． 将代入上式，得 变式4-1．已知正项数列满足，设． (1)求，； (2)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (3)的通项公式，并求其前项和为． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 (3)， 【详解】（1），当时，，， 可得， 则或，因为为正项数列，所以. 数列为首项为1，公比为2的等比数列， 可得； ， ，； （2）数列为等差数列，理由：， 则数列为首项为0，公差为1的等差数列； （3）， 前项和为． 变式4-2．已知数列各项均为正数且满足，数列满足，且．求的通项公式. 【答案】， 【详解】由可得， ， 因为，左右两边同除以，得， 所以数列是公差为1的等差数列， ，， . 题型五：已知或 典例5-1．已知数列的前n项和，则 . 【答案】 【详解】， ∴当时，； 当时，， 由时，，∴. 故答案为：. 典例5-2．记为数列的前n项和，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）令时，，即得， 当时，①，②， 由①②得，，又由，又，， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. （2），， 因为，所以， ， 两式相减得： ， 所以. 变式5-1．已知数列的前项和为. (1)证明：是常数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）已知数列的前项和为. 当时，. 当时，，∴. 当时，， ∴， 即， ∴， 当时也符合上式，∴数列是常数列. （2）由（1）知，∴，∴， ， ∴. 变式5-2．已知正项数列 (1)求数列的通项公式； (2)记，求的前项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，解得. 当时，，. 两式相减得:. 整理得到:. . 数列是首项为1，公差为2的等差数列. . （2）由（1）得. 则 . 题型六：等式含 典例6-1．已知正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为， 当时，， 两式相减得，因为，可得，， 令，可得，满足， 所以的通项公式为； （2）， 所以. 典例6-2．已知数列满足，若，则数列的前n项和 . 【答案】 【详解】数列中，由， 得， 当时，， 两式相减得，整理得，而满足上式， 因此，， 所以. 故答案为： 【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 变式6-1．已知数列是等差数列，其前n和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)数列满足求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d， 因为，， 所以，即， 解得，所以 ① 当时，②，   可得，，，所以，    当时，适合， 所以 （2）由（1）可得，n为奇数时，， n为偶数时，.      变式6-2．已知对于任意的，数列都满足. (1)求数列的通项公式； (2)求证：时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题设有①， 当时，②， ①－②得，所以. 又当时，由得，不符合上式， 综上，数列的通项公式为. （2）由（1）可知：当时，， 所以， 所以当时，. 题型七：等式含与或与 典例7-1．已知在数列中，，前项和为，若，则数列的前15项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以．又， 所以是首项为1，公差为1的等差数列，则． 所以． 又也满足，所以． 所以． 所以数列的前15项和为 ． 故选：A． 变式7-1．已知正项数列中，且，其中为数列的前项和，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】在数列中，①，又②，， 所以①除以②得． 又，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 则，所以． 当时，，当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． 故答案为：． 变式7-2．设数列的前n项和为,若且（n≥2）则的通项公式 ． 【答案】 【详解】解：时，由 可得化为 是公差为 ，首项为的等差数列，，时， ，又因为 ， 故答案为. 【点睛】本题主要考查求数列的通项公式其中，将数列，判断 是公差为 ，首项为的等差数列是解题的关键. 题型八：前n项积 典例8-1．记为数列的前项之积，已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以是公差2的等差数列， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故选：C. 典例8-2．已知数列的前项和为，且，首项为1的正项数列满足，则数列的前项和 ． 【答案】 【详解】因为，当时，，解得， 当时，，两式相减可得，即， 所以，故数列是以为首项、为公比的等比数列，故． 记， 故当时，，即， 故，因为，故， 故数列是以1为首项，为公比的等比数列，故． 故答案为： 变式8-1．记为正项数列的前项积，，则 . 【答案】2025 【详解】数列的各项均为正，当时，，解得， 由，得当时，， 即，因此， 数列是以为首项，公差为的等差数列，， 所以. 故答案为：2025 变式8-2．已知数列的前n项和为，在数列中，，，，求数列，的通项公式 【答案】， 【详解】由已知得，当时有： ． ∴ 当时，，也满足上式，所以. 当时，，∴， 当时，，符合上式 当时，，所以，也符合上式，综上， ∴，． 题型九：加减常数构造或加减构造 典例9-1．已知，当时，，则的通项公式为 【答案】 【详解】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 典例9-2．设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 【答案】C 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，于是，所以． 故选：C 变式9-1．已知数列满足，则 ． 【答案】 【详解】解法一 由，可设， 其中为常数，整理得， 故，得， 所以． 又，所以是各项均为0的常数列， 故，即； 解法二  由，得， 两式相减得． 令，则， 则，又， 所以，即，又， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以； 解法三  由得， 即，，…， ， 所以， 所以，所以． 当时也符合上式． 综上所述，． 故答案为：. 变式9-2．已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，数列满足：，且. (1)求和的通项公式； (2)若为数列的前项和，求. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设的公差为，因为，，成等比数列， 所以，即， 整理有：，解得（舍）， 所以，； 因为，所以， 又，， 所以为首项为，公比为的等比数列， 所以， （2）因为， ①， ② 两式相减，得： ， 所以. 题型十：奇偶数列形如 典例10-1．已知是数列的前项和，，，是等比数列，则 ， . 【答案】 1 【详解】， 则， 又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 故，所以，即， 所以， 因为， 所以. 故答案为：1；. 典例10-2．已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 又，∴成以首项为，公比为的等比数列 ，，即． 故选：C 变式10-1．（多选）已知是数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等比数列 D．若恒成立，则的取值范围为 【答案】ABD 【详解】对于A，由题可知，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列，A正确； 对于B，， ，B正确； 对于C，， 所以 ， 则， 故不是等比数列，C错误. 对于D，由题可知 易知当为奇数时，单调递增且；当为偶数时，单调递减，且； 若恒成立，则当为奇数时，，所以； 当为偶数时，，所以. 综上，的取值范围为，D正确. 故选：ABD. 变式10-2．在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）依题意，， 当为偶数时，，则数列的奇数项是首项为2，公比为2的等比数列， 于是，即当为奇数时，，当为偶数时，， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， . 题型十一：隔项等差（比）数列 典例11-1．（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】ABD 【详解】解：数列中，，， 所以，即 因为，所以 所以 所以数列的奇数项和偶数项，均为以为公比的等比数列 所以 对A，，故A正确； 对B，由分析知，是等比数列，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过对已知数列的递推公式进行变形整理，得到新的递推公式，从而得到数列的奇数项和偶数项均为等比数列. 典例11-2．在数列中，已知，，求通项公式． 【答案】 【解析】 当时，．它与相减得． 因为，，所以 变式11-1．（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，因为，，则， ，则，，则，故A正确； 对于B，，所以，，所以， ，故不是等比数列，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，由可得， 由，两式相减可得：， 所以，，，……， ， 上式相加可得：， ， 又因为，所以，故D正确. 故选：AD. 变式11-2．已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由 ，得 以上两式相比，得, 由，得, 所以，数列是首项为3，公比4为的等比数列，, 数列是首项为6，公比为4的等比数列，, 综上，数列的通项公式为 . （2）假设数列中存在三项数列 (其中）成等差数列，则 . 由（1）得，即,两边同时除以，得(*) (*）式左边为奇数，右边为偶数 (*）等式不成立，假设不成立. 所以，数列中得任意三项均不能构成等差数列． 巩固过关 1．已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为数列的首项为1，且其前n项积是公差为3的等差数列. 所以，令，得. 所以数列是公差为3，首项为1的等差数列. 故，即. 所以. 故选：C. 2．（多选）已知数列的前n项和，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由时，，可得，整理得， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 即，， 则当时，， 所以 故选：AD． 3．记数列的前n和为，已知，，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为，， 又，， 所以，，即， 可得，又， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 有，所以， 则， 故答案为： 4．数列中，，，则通项 ． 【答案】 【详解】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则， 所以. 故答案为： 5．已知数列满足，． (1)若，，成等差数列，求k； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知数列满足，． 因为，，成等差数列，所以， 所以， 整理得，解得，或（负值舍去）. （2）因为，又， 所以时， ， 时,也满足上式， 所以． 6．（1）已知数列的前项和，求的通项公式； （2）在数列中，，求的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）由， 当时，； 当时，， 所以的通项公式为. （2）由，得， 当时， ， 显然满足上式， 所以的通项公式为. 7．已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）当时， 由， 得， 两式相减得， 即． 是正项数列， ． 当时，， ， 数列是以为首项，1为公差的等差数列， ． （2）由（1）知， ， 两式相减得 ． ， 单调递增． 当时，， 当时，， 使的最小的正整数的值为8． 8．已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为， 所以当时， ， 是首项为1的正项数列， 则， 又满足上式，所以. （2）由（1）可得，， 所以. 9．（山东省天一大联考2025-2026学年高三上学期十月份阶段性检测数学试题）记为数列的前项和，且，. (1)求； (2)证明：为等比数列； (3)求. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）令，得，而， 则，得. （2）由， 当时，，                两式相减，可得，即， 而，则，满足上式，                         故是首项为，公比为的等比数列. （3）方法一：由（2）可得，故，         故.            方法二：由，得，         而，故数列是首项为1，公比为的等比数列，            故，故. 创新提升 1．大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理.已知大衍数列满足，，数列满足，则 ，数列的前项和与数列的前 项和相等. 【答案】 【详解】当时，①； 当时，②； 由①②得：， ，，，， 累加得：； 令，则当且为奇数时，； 当时，满足；当为奇数时，； 此时，当为偶数时，； ，，， 的前项和为； 的前项和为， 令，解得：（舍）或，. 故答案为：；. 2．已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由数列为递增数列，，得，由， 得，即，因此， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 整理得，而， 则，整理得， 因此，解得，所以的取值范围是. 故选：C 3．已知数列中，，求． 【答案】 【详解】解：因为， 所以， 令， 则， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 所以，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 即， 所以． 4．设数列的前n项和为，且满足：． (1)求； (2)设数列满足：． （ⅰ）求的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若对任意，有，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ） 【详解】（1）当时， 当时，，即， 记，则． 由累加得，是也适合， 故； （2）（i）由题，由累乘得， ① ② ①-②得， ； （ⅱ）， 记． ， 当时，，当时，， 所以，故， ，数列单调递增，所以， 于是只需，得，所以最大值为. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 构造法、累加、累乘、奇偶项数列等常见方法求通项公式 解题方法及技巧提炼 2 题型通法及变式提升 3 题型一：累加法 3 题型二：累乘法 4 题型三：同除法或取倒数法 6 题型四：因式分解法 8 题型五：已知或 10 题型六：等式含 13 题型七：等式含与或与 16 题型八：前n项积 17 题型九：加减常数构造或加减构造 19 题型十：奇偶数列形如 21 题型十一：隔项等差（比）数列 24 重难专题分层过关练 26 巩固过关 26 创新提升 31 一、累加法、累乘法 ①累加法：适用于，求 具体过程：两边分别相加得 ②累乘法：适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 二、同除法及取倒数法 ①形如整式，两边同时除以 ②形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） ③形如,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 三、已知或 ①用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. ②若等式中为与或与，则替换题目中的 四、构造法 ①形如且，化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ①形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 五、隔项等差（比）数列 ①形如可推出，即奇数项构成以为首项的等差数列，公差为；偶数项构成以为首项的等差数列，公差为； ②形如，，可推出，即奇数项构成以为首项的等比数列，公比为；偶数项构成以为首项的等比数列，公比为 六、分段递推求通项 奇偶项的递推关系不同，一般利用递推关系推出奇数项或偶数项之间的关系，分别求出奇偶项的通项公式 题型一：累加法 典例1-1．已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 典例1-2．数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．在数列中，，，求数列的通项公式. 变式1-2．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 题型二：累乘法 典例2-1．在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 典例2-2．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 变式2-1．数列递推指的是通过数列第项与前几项或者后几项的关系，计算出数列的任一项．若数列满足，则（   ） A． B． C． D． 变式2-2．数列中，若,，则 . 题型三：同除法或取倒数法 典例3-1．已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 典例3-2．已知数列满足，若，则数列的通项 ． 变式3-1．已知数列满足，，则数列的通项公式 ． 变式3-2．已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若，求的最大值． 题型四：因式分解法 典例4-1．已知正项数列满足，且，求的通项公式 典例4-2．在数列中，，且递增，则 ． 变式4-1．已知正项数列满足，设． (1)求，； (2)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (3)的通项公式，并求其前项和为． 变式4-2．已知数列各项均为正数且满足，数列满足，且．求的通项公式. 题型五：已知或 典例5-1．已知数列的前n项和，则 . 典例5-2．记为数列的前n项和，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 变式5-1．已知数列的前项和为. (1)证明：是常数列； (2)设，求数列的前项和. 变式5-2．已知正项数列 (1)求数列的通项公式； (2)记，求的前项和 题型六：等式含 典例6-1．已知正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求. 典例6-2．已知数列满足，若，则数列的前n项和 . 变式6-1．已知数列是等差数列，其前n和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)数列满足求数列的前项和. 变式6-2．已知对于任意的，数列都满足. (1)求数列的通项公式； (2)求证：时，. 题型七：等式含与或与 典例7-1．已知在数列中，，前项和为，若，则数列的前15项和为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知正项数列中，且，其中为数列的前项和，则数列的通项公式为 ． 变式7-2．设数列的前n项和为,若且（n≥2）则的通项公式 ． 题型八：前n项积 典例8-1．记为数列的前项之积，已知，则（     ） A． B． C． D． 典例8-2．已知数列的前项和为，且，首项为1的正项数列满足，则数列的前项和 ． 变式8-1．记为正项数列的前项积，，则 . 变式8-2．已知数列的前n项和为，在数列中，，，，求数列，的通项公式 题型九：加减常数构造或加减构造 典例9-1．已知，当时，，则的通项公式为 典例9-2．设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 变式9-1．已知数列满足，则 ． 变式9-2．已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，数列满足：，且. (1)求和的通项公式； (2)若为数列的前项和，求. 题型十：奇偶数列形如 典例10-1．已知是数列的前项和，，，是等比数列，则 ， . 典例10-2．已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 变式10-1．（多选）已知是数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等比数列 D．若恒成立，则的取值范围为 变式10-2．在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 题型十一：隔项等差（比）数列 典例11-1．（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 典例11-2．在数列中，已知，，求通项公式． 变式11-1．（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．为等比数列 C． D． 变式11-2．已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列. 巩固过关 1．已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（   ） A．4 B．3 C． D． 2．（多选）已知数列的前n项和，当时，，则（   ） A． B． C． D． 3．记数列的前n和为，已知，，则的值为 ． 4．数列中，，，则通项 ． 5．已知数列满足，． (1)若，，成等差数列，求k； (2)求． 6．（1）已知数列的前项和，求的通项公式； （2）在数列中，，求的通项公式. 7．已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值． 8．已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 创新提升 1．大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理.已知大衍数列满足，，数列满足，则 ，数列的前项和与数列的前 项和相等. 2．已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知数列中，，求． 4．设数列的前n项和为，且满足：． (1)求； (2)设数列满足：． （ⅰ）求的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若对任意，有，求实数的最大值． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $