学易金卷：高二数学下学期第一次月考01（人教A版，范围：选择性必修第二册第四～五章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章 数列+第五章 一元函数的导数及其应用。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 2．已知等差数列的前3项和为18，，则（   ） A．18 B．15 C．14 D．10 3．在数列中，若，则 （    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 7．已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．设是等差数列的前项和，若，，则（  ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为13 11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是函数的对称中心 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则 . 13．已知等比数列的前项和为，若，，则 . 14．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 16．（15分） 已知数列满足，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 17．（15分） 已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)当，讨论函数的零点个数. 18．（17分） 已知数列的前n项和为，，. (1)求证：数列是等差数列. (2)设，数列的前n项和为. ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分） 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章 数列+第五章 一元函数的导数及其应用。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由，得， 所以，解得． 故选：A． 2．已知等差数列的前3项和为18，，则（   ） A．18 B．15 C．14 D．10 【答案】A 【解析】设等差数列公差为，则, ，则. 从而. 故选：A. 3．在数列中，若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为且， 所以， ， ， ， ， 所以是以4为周期的周期数列， 所以. 故选：A. 4．已知函数，则的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ， 所以切线方程为，即. 故选：B. 5．已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为， 因为，，所以， 联立方程组，解得， 结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和， 由求和公式得前50项和为，故D正确. 故选：D. 6．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【解析】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为， 可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为. 故选：C. 7．已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对函数求导得：， 因为是函数的极小值点，所以， 还需分析在附近的符号变化， 令 ，则，， 当时，，即在附近单调递增， 又，所以当时，在附近， 当时，在附近，满足0是的极小值点； 当时，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以单调递增，此时无极小值点； 当时，，即在附近单调递减，又， 所以当时，在附近，当时，在附近， 此时0是的极大值点，不符合题意. 综上所述：的取值范围为. 故选：B. 8．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，可得， 当时，，此时在上单调递增， 所以在上的最小值为， 则，使得恒成立， 即，使得成立，即成立， 令，即， 因为， 令，可得， 所以在上单调递减，所以， 所以，可得在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误； 由图可知，，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率， 即，所以，D错误. 故选：AC. 10．设是等差数列的前项和，若，，则（  ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为13 【答案】AC 【解析】A：因为是等差数列的前项和， 所以由， 由，而，所以， 因为数列是等差数列，所以等差数列的公差，因此本选项说法正确； B：由上可知：，且，所以，且，所以本选项说法不正确； C：由上可知：，，因此数列的前项都是正数，从第项起每项都是负数， 所以当时，取得最大值，因此本选项说法正确； D：因为， 所以，又， 所以使成立的最大整数为，因此本选项说法不正确， 故选：AC. 11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是函数的对称中心 D． 【答案】BCD 【解析】A选项，由函数，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 当时，取得极大值，极大值为，所以极大值点为，故A错误； 选项，由知，当时，取得极小值， 极小值，且当时，， 当时，，，所以函数有3个零点，故正确； 选项，由，可得， 令，可得，又由， 所以点是函数的对称中心，故C正确； D选项，因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以 ， 所以，即，所以D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则 . 【答案】3 【解析】 . 故答案为：3. 13．已知等比数列的前项和为，若，，则 . 【答案】21 【解析】因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以. 故答案为：21. 14．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【解析】令， 则， 由当时，，所以， 即在上是增函数， 由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以， 所以是偶函数，在递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或． 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 15．（13分） 【解析】（1）当时， 则，， 所以，则切点为，切线的斜率， 所以切线方程为； （2）函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. 16．（15分） 已知数列满足，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 16．（15分） 【解析】（1）∵，∴， 即，又， ∴， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知，∴， ∴， 则， ， . 17．（15分） 已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)当，讨论函数的零点个数. 17．（15分） 【解析】（1）当时，，对其求导得. 令，即，解得. 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增. 则在处取得极小值，也是最小值. . 且，. 因为，， 综上所得，当，时，，. （2）， ①当时，，所以在上单调递增，又因为，所以函数只有1个零点； ②当时，由得，所以在上单调递减， 又由得，所以在上单调递增， 因为，且所以， 因为，所以存在使得， 所以函数有2个零点； 综上所得，当时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点. 18．（17分） 已知数列的前n项和为，，. (1)求证：数列是等差数列. (2)设，数列的前n项和为. ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分） 【解析】（1）证明：因为， 可得，所以， 两边同除以，可得，即， 又因为，可得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列. （2）解：①由（1）可得， 所以，可得， 所以， 则. 两式相减，可得 ， 所以. ②因为对任意的恒成立，所以， 则对任意的恒成立. 令，可得， 所以数列是递减数列， 当时，取得最大值，所以，即实数的取值范围是. 19．（17分） 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 19．（17分） 【解析】（1）， 时，， 函数在区间上是凹函数． （2）， ， 若在区间上为凹函数， 则在上恒成立， ，即在上恒成立， 在上恒成立， 当时，显然成立，下面讨论的情况， 令，则， 时，在上为增函数， 由，得，即， 即时，恒成立， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，则， 故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为． （3）， 令，则， 令，则， 当时，在区间上单调递增， 又， 存在，使， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 当时，的最小值为， 由，有， ，又恒成立，， 且的最大值为3． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章 数列+第五章 一元函数的导数及其应用。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 2．已知等差数列的前3项和为18，，则（   ） A．18 B．15 C．14 D．10 3．在数列中，若，则 （    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 7．已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．设是等差数列的前项和，若，，则（  ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为13 11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是函数的对称中心 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则 . 13．已知等比数列的前项和为，若，，则 . 14．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 16．（15分） 已知数列满足，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 17．（15分） 已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)当，讨论函数的零点个数. 18．（17分） 已知数列的前n项和为，，. (1)求证：数列是等差数列. (2)设，数列的前n项和为. ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分） 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A A B D C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．3 13．21 14．或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）当时， 则，， 所以，则切点为，切线的斜率， 所以切线方程为；（5分） （2）函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间；（8分） 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）∵，∴， 即，又，（2分） ∴， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列.（5分） （2）由（1）可知，∴， ∴，（8分） 则， ， .（15分） 17．（15分） 【解析】（1）当时，，对其求导得. 令，即，解得. 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增. 则在处取得极小值，也是最小值. .（2分） 且，. 因为，， 综上所得，当，时，，.（5分） （2）， ①当时，，所以在上单调递增，又因为，所以函数只有1个零点； ②当时，由得，所以在上单调递减， 又由得，所以在上单调递增，（8分） 因为，且所以， 因为，所以存在使得， 所以函数有2个零点； 综上所得，当时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）证明：因为， 可得，所以， 两边同除以，可得，即， 又因为，可得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列.（3分） （2）解：①由（1）可得， 所以，可得，（5分） 所以， 则. 两式相减，可得 ， 所以.（8分） ②因为对任意的恒成立，所以， 则对任意的恒成立.（13分） 令，可得， 所以数列是递减数列， 当时，取得最大值，所以，即实数的取值范围是.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）， 时，， 函数在区间上是凹函数．（3分） （2）， ， 若在区间上为凹函数， 则在上恒成立， ，即在上恒成立， 在上恒成立，（5分） 当时，显然成立，下面讨论的情况， 令，则， 时，在上为增函数， 由，得，即， 即时，恒成立， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，则， 故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为．（8分） （3）， 令，则， 令，则， 当时，在区间上单调递增， 又， 存在，使， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 当时，的最小值为，（13分） 由，有， ，又恒成立，， 且的最大值为3．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $