考点01 简单几何体表面积与体积（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点01简单几何体表面积与体积 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积 题型三：圆柱、圆锥、圆台的表面积 考点一：简单几何体表面积 简单几何体表面积与体积 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积 考点二：简单几何体体积 题型五：球的表面积与体积 题型六：简单几何体的体积之比 题型七：装水体积问题 考点查缺 精准补漏 考点一：简单几何体表面积 1、表面积公式 柱体：S直棱柱=ch+2S底；S斜棱柱=c1+2Sc为直截面周长）；S圆=2πr2+2πrl=2πr+1) 锥体：S正校维=专nah+S底；S回链=πr2+πrl=πrr+ 台体：S正枝台=吉(a+ah+S上+S下：S圆台=π(r2+r2+r1+rl 球：S=4πR2 2、求组合体的表面积：组合体的表面积要注意镂空的部分、叠加的部分的表面积的加减。 考点二：简单几何体体积 1、体积公式 柱体：V柱=Sh 锥体：V雠=Sh 台体：V台=s+Ss+s)h 球：V=青πR3 2、不规则体的体积：将不规则的几何体进行切割分成锥体或者台体等能求出体积的图形，将切割后的体 积相加。 3、组合体的体积：几个组合体分开求体积相加。 1/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型突破通洁接凉 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 点方法 1、对规则的棱柱、棱锥、棱台的表面积，直接使用公式。 2、 对不规则的图形，则可以对表面积进行分割拆解，对各处面积求解，然后求和。 科易精 注意镂空部分、叠加部分面积的加减。 1.(2026高三全国专题练习)如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A,B,C,D在同 一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是() A.225V5cm2B.1000V5cm2C.18005cm2 D.900+20005cm2 2.(25-26高三上河北沧州·月考)如图，在正六棱台ABCDEF-AB,C,D,E,E中，AE=V5,A,D,=4,四边 形ADDA,的面积为6√3，则该正六棱台的表面积为() A. 5V51+7V5 B. 9V51 2 c.155 D.9W5i+15V5 2 2 2 3.（25-26高二上江西·月考)中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可 以简化为如图2所示的几何体，其中ABCD-A,B,C,D,是长方体，且AB=6,BC=BB,=4, A,B,C,D,-A,B,C,D2是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，A,B2=3,棱台的高为2，则该几何体的表面积为 () 2/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A, D A B 图1 图2 A.110+9V5 B.119+95 C.125+9√5 D.149+9V5 4.(25-26高三上北京东城期末)如图，已知正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为1.平面ACC,A,,平面 BCDA和平面ABC,D,将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点B所在的多面体的表面积为() D D B A.33 B.2,3 c.333 D.3W23 22 22 42 42 5.(25-26高三上福建宁德期中)如图，正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为2，则两个三棱锥D-A,BC,, B,-AD,C的公共部分的表面积为(） D C B 4 D B A.32 B.35 C.42 D.4V5 2棱柱、棱锥、 棱台的体积 点方法 1、直接使用体积公式求体积。 2、对锥体，等体积法式常用的求体积方式，选用合适的底面与高。 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3、对不规则图形，可以讲几何体补成规则图形或者将图形分割成几部分。 群易结 对立体图形切割的时候，容易有遗漏的部分。 1.(25-26高二上·北京海淀·期末)如图1，取边长为6的正方形纸板ABCD，,E,F,G分别为三边 AB,CD,AD的中点，先将等腰直角三角形FDG沿虚线段FG裁去，再将剩下的五边形ABCFG沿线段EF折 起，连接AB,CG,就得到了一个《九章算术》中所载的“刍甍”五面体（如图2）.若棱CG的长为5，则该五 面体的体积为() A G F 图1 图2 A.185 B.16V5 C.10V5 D.30 2.(25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔期末)观星台是我国现存最古老的天文台，包含观星台在内的登封“天地 之中”历史建筑群已被列为世界文化遗产己知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高9.46米，台下 正四边形边长16米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为() A.1388米3 B.1398米3 C.1406米3 D.1456米3 3.(25-26高三上广东惠州期末)我国南北朝时期的数学家祖堩提出了计算几何体体积的祖堩原理：“幂势 既同，则积不容异”意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等现有 同高的三棱锥和圆锥满足祖堩原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此 推算三棱锥的体积为() A.2 B.4v5 3 C.4v2π 3 B. 4.(25-26高三上北京石景山期末)如图所示几何体ABCDMN,其中正方形ABCD边长为4， MN /AB,MN=3,且MN到平面ABCD的距离为3，则几何体ABCDMN的体积为 M 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(25-26高二上·上海松江·期末)如图，在几何体ABC-A,B,C,中，侧棱AA,BB,CC,均垂直于底面 ABC,已知AB=BC=AC=BB,=2,AA=6,CC,=4,则该几何体的体积是 B A 3 圆柱、圆锥、圆台的表面积 点方法 圆柱侧面积：展开为矩形，关键量为底面周长×高。 圆锥侧面积：展开为扇形，关键量为母线长与底面半径的关系，扇形弧长等于底面周长。 圆台侧面积：展开为大扇形减去小扇形，常用公式利用上下底半径和母线长计算，或还原为两个 圆锥侧面积之差。 将侧面展开为平面图形（矩形、扇形或扇环），利用平面几何求面积。 寻找旋转体中的直角三角形或梯形，用勾股定理求母线、高、半径之间的关系。 圆台问题常补成圆锥，利用相似比找小圆锥的母线或高。 舞易猪 1、确定图形类型（圆柱/圆锥/圆台），明确求的是侧面积还是全面积。 2、标出已知量（半径、高、母线等），通过勾股定理或相似补全未知量（尤其是母线），选择公式（或展开 法)计算侧面积。计算底面积（注意圆台有两个底面），合并得表面积。 3、区分母线长与高，圆锥、圆台的侧面积公式用母线长，不是高。 4、单位统一，尤其当半径、高单位不同时先转换。 5、题目若要求“内外表面积”（如空心圆柱），要分别计算内外侧面积。 1.(25-26高二上·北京·期中)已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切 值为2，则该圆台的表面积为() A.12V5元 B.24元 C.44元 D.20元+12V5元 2.(25-26高三上·湖南湘西·期末)己知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径， 圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为144π，则圆锥的侧面积为() A.435元 B.4√37π C.9√35π D.9N37π 5/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26高三上·湖南湘西·期末)己知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径， 圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为144π，则圆锥的侧面积为() A.4V35π B.4V37元 C.9√35π D.9√37π 4.(25-26高二上·上海期末)如图，直角梯形ABCD中，LA=90°，AB=AD=2DC=2,该图形绕直线AD旋 转一周所形成的几何体的体积为 D B 5.(25-26高三上海南海口·月考)晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面图， 圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”现使用图2 简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形ABCD为矩形，AB=20m,AE,DE,BF,CF为四段全等的 圆弧，其对应的圆半径为6m,圆心角为，已知区域ABFE和DCFE是被瓦片覆盖的区域则该模型中瓦片 覆盖区域的总面积为 E B 图1 图2 4圆柱、圆锥、圆台的体积 点方法 圆柱体积：直接利用底面积×高。 圆锥体积：重点在于确定底面半径和高，强调体积是等底等高圆柱体积的三分之一。 圆台体积：常用方法有两种：直接公式法：利用上下底半径和高计算。补形法：将圆台补成一个 大圆锥，用大圆锥体积减去补上的小圆锥体积，通过相似比求小圆锥的高。 1、抓基本量：无论题目如何变化，最终要转化为求底面半径和高。 2、利用轴截面：将旋转体问题转化为平面几何问题（矩形、直角三角形、等腰梯形），在轴截面 中寻找边长关系。 6/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3、相似比应用（尤其对圆台）：补成圆锥后，利用上下底半径之比等于对应小圆锥与大圆锥的高 之比。 科易精 1、区分母线与高，体积公式中使用的是垂直高，不是母线。 2、圆台体积公式复杂，建议理解推导过程（补成圆锥相减），避免死记硬背。 3、当题目涉及体积比、部分体积（如圆锥被平行于底的平面截成两部分）时，善用相似比的立方关系。 1.(25-26高二上·四川达州·期中)如图1，何尊是我国西周早期的青铜器，它可以近似看作由上部分圆合 和下部分圆柱组合而成的几何体，如图2所示，该几何体的高约为38cm,上口直径约为28cm,圆柱的底 面直径约为20cm,取的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为1320cm,则该几何体上部分圆台的 体积约为() 图1 图2 A.6336cm B.6656cm C.6976cm D.7296cm 2.(25-26高三上广东·月考)己知圆台002的上、下底面半径之比为3：4，若圆台002的上、下底面圆周都 在半径为5的球0（球心0在圆台内部）的表面上，且圆台的高为7，则圆台O,O,的体积为() A. 259m 3 B.86π C.133n 3 D.1036m 3.(多选)(2026云南红河·模拟预测)如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱 的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则() -------0 A.圆锥的母线长为√2 B.圆锥与圆柱的体积比为1：3 C.该几何体的表面积为5π D.圆锥侧面展开图的圆心角为√2π 4.(多选)(25-26高二上·西藏拉萨.期末)如图，AB是圆锥S0的底面圆0的直径，点C是底面圆0上异于 A、B的动点，点M是母线SB上一点，己知圆锥的底面半径为1，侧面积为4π，则下列说法正确的是() 7/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M s---0 B C A.该圆锥的体积为√5π B.该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 2 C.三棱锥S-A8C的体积的最大值为西 D.若BM=1,则从点B出发绕圆锥侧面一周到达点M的最短长度为5 5 球的表面积与体积 皮方法 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见模型与策略： 1、长方体（正方体）的外接球：球心在对角线交点，半径等于体对角线长的一半。 2、正多面体的外接/内切球：利用对称性，球心在中心，构造直角三角形求半径。 3、棱锥的外接球：关键找球心位置。常通过： 底面外心作垂线（适用于侧棱相等或侧棱与底面成等角的棱锥）。 或寻找到各顶点距离相等的点。 球与球的关系（相切、相交）：抓住球心距与两球半径的关系。 群易错 严格区分：是外接球（球过所有顶点）还是内切球（球与所有面相切），或是棱切球（球与所有棱相切）。 截面问题：明确哪个是球半径R,哪个是截面圆半径「，哪个是球心到截面的距离d。 公式记忆：避免混淆表面积与体积公式，注意两者的指数与系数差异。 1.〈2026河南简壁一模）一个圆锥的底面直径为2，体积为公，若该圆锥能够被整体放入-个球内，则该 球的表面积的最小值为( A.25 B. 25π C.25 125π D. 16 8 4 48 2.(2026湖北荆门·模拟预测)“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体.如图，圆柱的底面直径和高都等于 8/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 球的直径，球与圆柱的体积之比为2，表面积之比为4，则() A.1=2 ,业=1B.1=u= D.==月 3.(25-26高三上江苏南通·月考)在所有棱长为2的直三棱柱密闭容器内（厚度忽略)放置一个最大的球， 则球的表面积为() A.刀 B. 4π C.V3π D.4π 9 4.（25-26高二上·四川成都月考)在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AA=2,则在正三棱柱内可放入的最 大球的体积与正三棱柱外接球的体积之比亏 5.(25-26高二上潮南常德期未)一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球 内，则该球的表面积的最小值为」 6 简单几何体的体积之比 点方法 通用方法 直接公式法：若两个几何体形状规则（同底同高或等底等高），直接代入体积公式相比。 等积变形法：利用“同底等高的锥体（柱体）体积相等”进行等体积转化。 比例法：抓住影响体积的关键变量（底面积、高），分别求出它们的比例，再相乘得到体积比。 关键模型与技巧 1、“割补法”与“分割法”： 将复杂几何体切割成若干个易于求体积比的简单几何体。尤其适用于棱锥被平面分割、台体还原为锥体 相减等情况。 2、“等底面积”或“等高”模型： 若两个锥体（或柱体）底面积相等，则体积比等于高的比。若两个锥体（或柱体）高相等，则体积比等 9/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 于底面积的比。 舞易猪 找出联系的几何体的共同要素（如共高、共底、共顶点等）。 S13 1.(2025甘肃张掖模拟预测)已知正三棱锥0-4BC和正四面体0A8C,表面积之比号，4，则体积之比 是()其中，Y分别表示正三棱锥的表面积、休积，S,上分别表示正四面体的表面积，依知 A.② 2 B.② C.6 D.6 4 4 2.(25-26高二上山东潍坊·月考)己知球的半径与圆锥的底面半径相等，且它们的表面积相等，则圆锥与 球的体积之比是() A. 2 B. C. D.15 4 3.(25-26高三上·甘肃张掖期末)在直三棱柱ABC-AB,C中，E为AA的中点，F为CC,靠近C的四等分 点，点B,E,F所确定的平面把三棱柱分割成体积不同的两部分，则较大部分的体积与较小部分的体积之 比为() 号 n.号 4.(25-26高三上·重庆月考)如图，EF-ABCD为一个五面体，底面是矩形，EF与底面平行，四个侧面 中，两个侧面为全等的等腰三角形，另两个侧面为全等的等腰梯形，其中 AB=6,BC=2,EF=2,BF=2√2，设'Er-4BcD=,'E-ABcD='2,VE-BCF=V3,则下列选项正确的是() D B A.=2 3 B.5=5 4 D6-2 5.(2025河南焦作·三模)我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”.已知三棱锥0-ABC中， AB=3,D,E,F分别在棱OA,OB,OC上，且截面DEF与底面ABC平行，DE=2,则三棱锥0-ABC与三棱 锥O-DEF的相对积之比为_一· 10/15 考点01 简单几何体表面积与体积 考点一：简单几何体表面积 1、 表面积公式 柱体：；为直截面周长； 锥体：； 台体：； 球 ： 2、求组合体的表面积：组合体的表面积要注意镂空的部分、叠加的部分的表面积的加减。 考点二：简单几何体体积 1、体积公式 柱体： 锥体： 台体： 球： 2、 不规则体的体积： 将不规则的几何体进行切割分成锥体或者台体等能求出体积的图形，将切割后的体积相加。 3、 组合体的体积：几个组合体分开求体积相加。 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1、对规则的棱柱、棱锥、棱台的表面积，直接使用公式。 2、对不规则的图形，则可以对表面积进行分割拆解，对各处面积求解，然后求和。 注意镂空部分、叠加部分面积的加减。 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 【答案】C 【分析】利用八面体的结构特征，求出每个面的面积即可求得表面积. 【详解】由八面体的每一个面都是正三角形，且四边形ABCD是边长为的正方形， 因此每个面的面积为（）， 所以这个八面体的表面积（）. 故选：C 2．（25-26高三上·河北沧州·月考）如图，在正六棱台中，，，四边形的面积为，则该正六棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形先求出正六棱台的上底面边长，进而得到对角线长，利用四边形的面积求得棱台的高，再求出侧棱长，最后分别求出正棱台的侧面积和两底面面积，即得其表面积. 【详解】如图，在正六边形中，, 因 ，由，可得，故,又，则. 不妨记该棱台的高为，易知为梯形的高， 故，解得. 记点A在下底面的射影为M，则点在上， . 易知，则. 过A作，垂足为N，则， 于是， 故梯形的面积为， 于是该棱台的表面积为. 故选:D. 3．（25-26高二上·江西·月考）中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中是长方体，且，，是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据棱柱棱台的几何特征，求解每个面的面积相加可得结论. 【详解】先求下半部分，表面积为. 再求上半部分， 由于，则， 所以上长方形的面积为. 由已知， 则， 由于棱台侧面为等腰梯形，故， 前后两部分的梯形的高为，， 则这两个梯形的面积之和为. 左右两部分的梯形的高为， 则这两个梯形的面积之和为， 因此总表面积为. 故选：C. 4．（25-26高三上·北京东城·期末）如图，已知正方体的棱长为1．平面，平面和平面将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点所在的多面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到分割后顶点所在的多面体，分析该多面体表面构成，即可求得其表面积. 【详解】连接，易知三条体对角线交于一点，记为点. 则分割后顶点所在的多面体为六面体，其表面分别是. 根据正方体的性质，知， 所以. 中，边上的高为，所以的面积为； 的面积为. 所以顶点所在的多面体的表面积为. 故选：D. 5．（25-26高三上·福建宁德·期中）如图，正方体的棱长为2，则两个三棱锥，的公共部分的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体再计算求解． 【详解】连接它们的交线后如下图所示，是中点，所以， 即两个三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体， 所以表面积为．    故选：D． 棱柱、棱锥、棱台的体积 1、直接使用体积公式求体积。 2、对锥体，等体积法式常用的求体积方式，选用合适的底面与高。 3、对不规则图形，可以讲几何体补成规则图形或者将图形分割成几部分。 对立体图形切割的时候，容易有遗漏的部分。 1．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图1，取边长为6的正方形纸板，分别为三边的中点，先将等腰直角三角形沿虚线段裁去，再将剩下的五边形沿线段折起，连接，就得到了一个《九章算术》中所载的“刍甍”五面体（如图2）．若棱的长为5，则该五面体的体积为（    ） A． B． C． D．30 【答案】C 【分析】使用补形的方法将五面体的体积转化成三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可. 【详解】将五面体补回三棱柱，由题得底面， 五面体的体积可以看作是三棱柱的体积减去三棱锥的体积. 过点向作垂线，交BC于点H，则有， 在四边形中，且，则四边形为平行四边形， 故，所以， 在中，， 则，进而， 在中，，所以， 所以， 则，， 最终有. 故选：C. 2．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）观星台是我国现存最古老的天文台，包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为世界文化遗产.已知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高米，台下正四边形边长米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据正四棱台的体积公式与下底边长的范围求得正四棱台体积的范围即可判断. 【详解】设正四棱台的下底面边长为，高为，则上底面边长近似为，，； 所以正四棱台的体积，解得. 故选：D. 3．（25-26高三上·广东惠州·期末）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的侧面展开图求得圆锥的高和底面半径，得圆锥体积即得结论． 【详解】由题意可知，三棱锥的体积等于圆锥的体积， 圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一， 所以圆锥的底面周长为，故圆锥的底面半径为1，母线为3， 所以圆锥的高为，则圆锥的体积， 从而所求三棱锥的体积为. 故选：A 4．（25-26高三上·北京石景山·期末）如图所示几何体，其中正方形边长为4，，且到平面的距离为3，则几何体的体积为 ．    【答案】22 【分析】在上分别取点，使得，几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，分别求出它们的体积得解. 【详解】如图，在上分别取点，使得，连接， 易知，所以几何体为三棱柱， 所以几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥， 将三棱柱补成一个上底面与矩形全等的矩形的平行六面体， 可得该三棱柱的体积为平行六面体的体积的一半， 所以，， 所以. 故答案为：22.    5．（25-26高二上·上海松江·期末）如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是 ．    【答案】 【分析】分别在上取点，连接，将在几何体分成一个三棱柱和四棱锥的体积求解即可. 【详解】分别在上取点，连接， 所以平面平面， 取的中点，连接，因为平面， 所以平面，平面，所以， 又因为，，平面， 平面， ，梯形， ∴所求几何体的体积为.    故答案为：. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱侧面积：展开为矩形，关键量为底面周长 × 高。 圆锥侧面积：展开为扇形，关键量为 母线长 与底面半径的关系，扇形弧长等于底面周长。 圆台侧面积：展开为大扇形减去小扇形，常用公式利用 上下底半径和母线长 计算，或还原为两个圆锥侧面积之差。 将侧面展开为平面图形（矩形、扇形或扇环），利用平面几何求面积。 寻找旋转体中的 直角三角形或梯形，用勾股定理求母线、高、半径之间的关系。 圆台问题常补成圆锥，利用相似比找小圆锥的母线或高。 1、确定图形类型（圆柱/圆锥/圆台），明确求的是侧面积还是全面积。 2、标出已知量（半径、高、母线等），通过勾股定理或相似补全未知量（尤其是母线），选择公式（或展开法）计算侧面积。计算底面积（注意圆台有两个底面），合并得表面积。 3、区分母线长与 高，圆锥、圆台的侧面积公式用母线长，不是高。 4、单位统一，尤其当半径、高单位不同时先转换。 5、题目若要求“内外表面积”（如空心圆柱），要分别计算内外侧面积。 1．（25-26高二上·北京·期中）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，借助圆台轴截面等腰梯形的性质求出圆台的高，再利用圆台的表面积公式求解. 【详解】依题意，圆台轴截面等腰梯形的上下底边长分别为，底角的正切值为2， 因此圆台的高，即该等腰梯形的高，则母线， 所以圆台的表面积. 故选：D 2．（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三者半径均为，根据圆锥、圆柱、球的体积公式结合题设可求得，再求得圆锥的高、母线长，进而根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】不妨设三者半径均为，由题意知圆柱的高为，故其体积为， 故圆锥的体积为，而球的体积为， 故，解得， 记圆锥的高为，由，得， 故圆锥的母线长， 于是圆锥的侧面积. 故选：D 3．（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三者半径均为，根据圆锥、圆柱、球的体积公式结合题设可求得，再求得圆锥的高、母线长，进而根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】不妨设三者半径均为，由题意知圆柱的高为，故其体积为， 故圆锥的体积为，而球的体积为， 故，解得， 记圆锥的高为，由，得， 故圆锥的母线长， 于是圆锥的侧面积. 故选：D 4．（25-26高二上·上海·期末）如图，直角梯形中，，该图形绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为 ．    【答案】 【分析】分析可知几何体为圆台，利用台体体积公式可求得结果. 【详解】直角梯形绕直线旋转一周形成的几何体为圆台， 且该圆台上底面圆的面积为，下底面面积为， 圆台的高为， 因此，该几何体的体积为. 故答案为： 5．（25-26高三上·海南海口·月考）晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面图，圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为，已知区域和是被瓦片覆盖的区域则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为 . 【答案】 【分析】将区域还原到圆柱中，结合圆柱的侧面积公式求得其面积，再由区域和全等可求得总面积. 【详解】依题意，区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分，将区域还原到圆柱中，如图： 由图可知，，， 由扇形的弧长公式知，的长为， 由圆柱的侧面积公式知，则， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故答案为： 圆柱、圆锥、圆台的体积 圆柱体积：直接利用底面积×高。 圆锥体积：重点在于确定底面半径和高，强调体积是等底等高圆柱体积的 三分之一。 圆台体积：常用方法有两种：直接公式法：利用上下底半径和高计算。补形法：将圆台补成一个大圆锥，用大圆锥体积减去补上的小圆锥体积，通过相似比求小圆锥的高。 1、抓基本量：无论题目如何变化，最终要转化为求 底面半径 和 高。 2、利用轴截面：将旋转体问题转化为平面几何问题（矩形、直角三角形、等腰梯形），在轴截面中寻找边长关系。 3、相似比应用（尤其对圆台）：补成圆锥后，利用上下底半径之比等于对应小圆锥与大圆锥的高之比。 1、区分母线与高，体积公式中使用的是垂直高，不是母线。 2、圆台体积公式复杂，建议理解推导过程（补成圆锥相减），避免死记硬背。 3、当题目涉及体积比、部分体积（如圆锥被平行于底的平面截成两部分）时，善用 相似比的立方关系。 1．（25-26高二上·四川达州·期中）如图1，何尊是我国西周早期的青铜器，它可以近似看作由上部分圆台和下部分圆柱组合而成的几何体，如图2所示，该几何体的高约为38 cm，上口直径约为28 cm，圆柱的底面直径约为20 cm，取的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为，则该几何体上部分圆台的体积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合圆柱的侧面积、体积公式，以及圆台的体积公式求解即可． 【详解】设圆台、圆柱的高分别为，圆台的上口半径和下口半径分别为， 则由题意可得，，， 由题意，1320，得， 所以， 故． 故选：C． 2．（25-26高三上·广东·月考）已知圆台的上､下底面半径之比为，若圆台的上､下底面圆周都在半径为5的球（球心在圆台内部）的表面上，且圆台的高为7，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆台的上､下底面半径分别为，利用勾股定理求出，再根据台体的体积公式即可得解. 【详解】设圆台的上､下底面半径分别为， 由题意可得，解得， 所以圆台的体积为. 故选：A. 3．（多选）（2026·云南红河·模拟预测）如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【分析】根据给定的几何体，利用圆锥、圆柱的结构特征，结合体积公式、侧面积公式逐项求解判断. 【详解】对于A，由勾股定理得圆锥母线长，A正确； 对于B，圆锥的体积为，圆柱的体积为， 因此圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 对于C，该几何体的表面积为，C错误； 对于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得，圆心角，D正确． 故选：ABD 4．（多选）（25-26高二上·西藏拉萨·期末）如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（    ） A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C．三棱锥的体积的最大值为 D．若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 【答案】BCD 【分析】利用扇形的侧面积公式求出圆锥的母线长，进而得出其高，结合锥体的体积公式可判断A选项；根据扇形的弧长公式可判断B选项；求出面积的最大值，结合锥体的体积公式可判断C选项；将圆锥沿着展开，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，设圆锥的母线长、底面半径、高分别为、、， 由题知，圆锥的侧面积，所以，圆锥高， 故该圆锥的体积为，A错； 对于B选项，侧面展开图弧长，圆心角，B对； 对于C选项，由圆的几何性质可知，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，故， 当且仅当，即当时，等号成立， 此时，故，C对； 对于D选项，由B选项知，侧面展开图扇形圆心角， 点在上且，则， 展开后的扇形中，与（对应底面同一点）的圆心角为， 最短路径为线段，且，D对. 故选：BCD. 球的表面积与体积 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见模型与策略： 1、长方体（正方体）的外接球：球心在对角线交点，半径等于体对角线长的一半。 2、正多面体的外接/内切球：利用对称性，球心在中心，构造直角三角形求半径。 3、棱锥的外接球：关键找球心位置。常通过： 底面外心作垂线（适用于侧棱相等或侧棱与底面成等角的棱锥）。 或寻找到各顶点距离相等的点。 球与球的关系（相切、相交）：抓住球心距与两球半径的关系。 严格区分：是外接球（球过所有顶点）还是内切球（球与所有面相切），或是棱切球（球与所有棱相切）。 截面问题：明确哪个是球半径 R，哪个是截面圆半径 r，哪个是球心到截面的距离 d。 公式记忆：避免混淆表面积与体积公式，注意两者的指数与系数差异。 1．（2026·河南鹤壁·一模）一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小，设球的半径为，再根据勾股定理求出球的半径可得答案. 【详解】由题意知，当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小， 圆锥的底面半径为，体积为高， 设球的半径为，由图可得，解得， 故球的表面积的最小值为 故选：C    2．（2026·湖北荆门·模拟预测）“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（    ）    A．， B． C．， D． 【答案】B 【分析】设球的半径为 ，分别求出球的体积与圆柱体积，以及球的表面积与圆柱的表面积，即可得解． 【详解】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的体积为， 球的表面积为，圆柱的表面积为， 所以，，所以． 故选：B. 3．（25-26高三上·江苏南通·月考）在所有棱长为2的直三棱柱密闭容器内（厚度忽略）放置一个最大的球，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直三棱柱底面的内切圆半径，并比较此时圆的直径与直三棱柱的高的大小，求出能放置的最大的球的半径，可得其表面积. 【详解】易知所有棱长为2的直三棱柱底面是边长为2的正三角形， 因为边长为2的正三角形的内切圆半径满足, 解得； 因为球的直径要同时小于等于直三棱柱的高和底面内切圆的直径， 即且，所以球的最大半径为， 则球的表面积为. 故选：B. 4．（25-26高二上·四川成都·月考）在正三棱柱中，，则在正三棱柱内可放入的最大球的体积与正三棱柱外接球的体积之比 . 【答案】/ 【分析】分别求出正三棱柱内可放入的最大球的体积与正三棱柱外接球的体积，进而求出它们的体积之比. 【详解】设底面正三角形为，，其内切圆半径为， 由， 得，若内切球与上、下底面相切，则半径为1，因为， 所以该三棱柱内可放入的最大球的半径为， 则其体积. 根据正三角形外接圆半径（正三角形的边长），所以. 又正三棱柱的高，可得球心到底面的距离为1， 根据勾股定理，则. 所以， 所以. 故答案为： 5．（25-26高二上·湖南常德·期末）一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，可得当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小，设球的半径为，再根据勾股定理求出球的半径可得答案. 【详解】由题意知，当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小， 圆锥的底面半径为，体积为， 高， 设球的半径为，由图可得，解得， 故球的表面积的最小值为 故答案为： 简单几何体的体积之比 通用方法 直接公式法：若两个几何体形状规则（同底同高或等底等高），直接代入体积公式相比。 等积变形法：利用“同底等高的锥体（柱体）体积相等”进行等体积转化。 比例法：抓住影响体积的关键变量（底面积、高），分别求出它们的比例，再相乘得到体积比。 关键模型与技巧 1、“割补法”与“分割法”： 将复杂几何体切割成若干个易于求体积比的简单几何体。尤其适用于棱锥被平面分割、台体还原为锥体相减等情况。 2、“等底面积”或“等高”模型： 若两个锥体（或柱体）底面积相等，则体积比等于高的比。若两个锥体（或柱体）高相等，则体积比等于底面积的比。 找出联系的几何体的共同要素（如共高、共底、共顶点等）。 1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知正三棱锥和正四面体，表面积之比，则体积之比是（    ）（其中，分别表示正三棱锥的表面积、体积，，分别表示正四面体的表面积，体积） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图设正三棱锥和正四面体底面边长为，高分别为，由题可得，然后由可得，据此可得答案. 【详解】如图设正三棱锥和正四面体底面边长为，高分别为， 如图过O做平面ABC垂线，垂足为D，则在线段OD上，则. 注意到D为三角形ABC外心，则为三角形ABC外接圆半径， 则， 则， 则， 再取AB中点为E，连接， 则 则，， 因，则. 则. 故选：C 2．（25-26高二上·山东潍坊·月考）已知球的半径与圆锥的底面半径相等，且它们的表面积相等，则圆锥与球的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合圆锥和球的表面积公式和体积公式，准确计算，即可求解. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，高为， 则圆锥的母线长为，球的半径为， 因为圆锥与球的表面积相等， 所以，解得， 所以圆锥和球的体积比为. 故选：A. 3．（25-26高三上·甘肃张掖·期末）在直三棱柱中，E为的中点，F为靠近的四等分点，点B，E，F所确定的平面把三棱柱分割成体积不同的两部分，则较大部分的体积与较小部分的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直三棱柱补形成直四棱柱，设出各个长度，根据体积公式，求出四棱锥的体积，进而可求出直三棱柱中，剩余部分的体积，分析计算，即可得答案. 【详解】将直三棱柱补形成直四棱柱，使底面ABCD为平行四边形，如图所示， 设底面面积为S，AC边上的高为，， 则直四棱柱的体积，， 四边形AEFC的面积， 所以四棱锥的体积， 所以直三棱柱中，剩余部分的体积， 所以较大部分的体积与较小部分的体积之比为. 故选：C 4．（25-26高三上·重庆·月考）如图， 为一个五面体，底面是矩形，EF与底面平行，四个侧面中，两个侧面为全等的等腰三角形，另两个侧面为全等的等腰梯形，其中，设，，，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用分割法将五面体分割为四棱锥和三棱锥，求出各部分体积，代入选项验证即可. 【详解】过作底面的垂线，垂足为，过作于点，连接、、， 则五面体可分为四棱锥和三棱锥. 由题意知，， 在中，， 在中，，即五面体的高为. 如图取、三等分点、、、，连接、、、、、， 则五面体可分为三棱柱、四棱锥和四棱锥， 且. ， ， . ，，. 故选：D. 5．（2025·河南焦作·三模）我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”．已知三棱锥中，分别在棱上，且截面与底面平行，，则三棱锥与三棱锥的相对积之比为 ． 【答案】 【分析】利用相似比以及棱锥的体积和表面积公式即可. 【详解】设三棱锥、三棱锥的体积分别为，表面积分别为， 高分别为， 因为，所以，，， 则，， 则三棱锥与三棱锥的相对积之比为． 故答案为： 装水体积问题 核心思想：1、水的体积是定值：无论容器如何放置，水的体积保持不变。2、转化思想：将“求水位高度”转化为“已知体积（水体积）和几何体形状，反求高度”。 1、画轴截面图：将立体问题转化为平面几何问题，在截面中观察水位线与容器边界的交点关系。 2、相似比优先：对于锥体或台体，优先考虑相似关系建立方程。 3、临界点判断：若容器被倾斜或非标准放置，先确定水平面与容器边界的交点，判断水的形状（可能是棱柱、棱台或不规则体，常分割为规则体求和）。 1、水的形状判断：仔细分析最终状态下水的实际形状，特别是当水面切割容器产生复杂截面时，正确识别水的几何体模型（如柱体、锥体、台体或其组合）。 2、分类讨论意识：当容器形状不规则（如上下底面不等）或放置角度特殊时，水位高度可能有多个解或需要分情况讨论。 1．（多选）（25-26高二上·安徽芜湖·期中）一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为3的水（如图所示，底面处于水平状态）.记水面为，现以所在直线为旋转轴，将容器逆时针旋转的过程中，下列说法正确的是（    ）    A．水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形 B．水面不可能是正三角形 C．当经过时，与面的交线长为 D．当逆时针旋转时，水面的面积为4 【答案】ACD 【分析】找到临界情况，利用等体积、体积转化，分析此时的情况，逐个选项判断即可. 【详解】A选项，水的体积， ， 所以当水面经过时，水面与棱相交，如图3， 当水面经过点时，水面与面相交，如图4， 则在此之前水面形状均为三角形， 继续旋转直至之前，水面形状为等腰梯形，如图5， 转至时，水面形状为矩形，如图6，故A选项正确； B选项，初始位置，如图1，， 当水面经过时，如图3，此时， 所以，， 所以在转动过程中，存在，使得水面是正三角形，故B选项不正确； C选项，如图4，，且由于与相似， 则， ，故C选项正确； D选项，当逆时针旋转时，如图6，， 且由于与相似，则，则， 则水面的面积为，故D选项正确.    故选：ACD. 2．（25-26高二上·上海松江·期末）有趣的金马徐高想运用所学祖暅原理（如图1）解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为4的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为 ．（结果保留）    【答案】 【分析】根据条件和图1可得半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积，然后在图2中运用此原理可求得答案. 【详解】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，设半球中阴影截面圆的半径， 球体半径为，则，截面圆面； 圆柱中截面小圆半径，大圆半径为，则截面圆环面积， 所以，又高度相等， 所以半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积. 同理，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积.    如图2，设球体和水接触的上部分为，没和水接触的下部分为， 小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积. 已知球体半径为，为等边三角形， ，， 根据祖暅原理， . 设图2中轴截面为梯形的圆台体积为，且， . 故答案为： 3．（2025·辽宁·模拟预测）有一个圆柱形量筒（不计厚度），底面直径为8，高为，量筒中有适量水，缓慢倾斜量筒至水恰好溢出，此时量筒的母线与水平面的夹角为.继续缓慢倾斜量筒，停止倒水时量筒的母线与水平面的夹角为，则所倒出的水的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到纵截面示意图，结合柱体的体积公式，即可求解. 【详解】由题意得，纵截面示意图，如图所示： 其中虚线部分为过实际水面中点垂直于母线的垂线为水平时的水位线， 则，且，所以体积为. 故答案为：    4．（25-26高三上·湖北荆州·月考）在一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为的水，如图所示，底面处于水平状态．记水面为．现以所在的直线为旋转轴，将容器缓慢地顺时针旋转（点开始离开桌面），直到侧面水平，过程中始终保持水面处于水平状态．（1）若旋转过程中，在某时刻水面恰好经过三点，则 ；（2）设，则在旋转过程中，当水面的形状为梯形时，水面与侧面的交线的中点到直线的距离的最大值为 ．（用含有的式子表达．） ．   【答案】 / 【分析】找到临界情况利用等体积法，等体积转化，分析情况即可. 【详解】（1）若旋转过程中，在某时刻水面恰好经过三点， 此时水的体积， 所以在初始状态，所以可以得到． （2）结合第（1）间，当时，水面经过时，依旧与棱相交， 当水面经过点后，水面的形状变为直角梯形（平面，所以必为直角梯形）． 此时如图所示，，且由于与共面， 所以两条直线相交，且交于各自所在平面和平面的交线上，所以为台体． 根据体积相等可知，． 设，则， 则可得：，即，    由梯形性质可知，中点到的距离就是中位线长，所以．由， 可得：，当且仅当时等号成立． 所以，所以．所以最大值为． 故答案为：； 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置时，水面高度为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由注水四棱台部分的体积等于注水四棱锥部分的体积求解. 【详解】设正四棱锥的底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 所以注水四棱台的上底边长为，体积， 设注水四棱锥的水面高度为，底面边长为，则，所以， 所以注水四棱锥部分的体积， 因为，即，解得， 故选：A. 1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆锥的母线、底面半径和高，再由轴截面内切圆求出内切球半径，分别求出体积，根据体积比与高之比的关系即可得解. 【详解】由题意，，则， 则圆锥母线，底面半径，高， 圆锥内能放入的最大球即为圆锥的内切球，且其半径为，轴截面如图所示， ，得， 则，而， 设水面高度为，则，得. 故选：D. 2．（25-26高三上·北京顺义·期末）由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图），  ，分别在上，满足，则几何体的体积为 ； . 【答案】 【分析】先求面积，再求三棱锥和的高度，进一步求三棱锥的体积，且根据两个三棱锥和全等得出几何体的体积；构建直角三角形，利用勾股定理，根据已知线段长度计算，得出长度. 【详解】几何体看作以为公共底面的两个三棱锥和的组合， 又因为在正四棱台中，，， 所以，又因为，连接，则为等腰直角三角形， 其面积为：， 连接，交于点，连接，交于点，则垂直于面且为三棱锥的高，平移到，则，即四边形是平行四边形， 所以， 又因为四边形是正方形，所以，分别是，的中点， 且，为等腰直角三角形， 所以，， ， 在直角三角形中，由勾股定理可得， 所以几何体的体积, 连接，交于点，连接，， 由题意可得，几何体是由两个全等的正四棱台组合， 所以平行且，所以四边形是平行四边形， 所以，且平行， 又因为是两个全等的正四棱台组合的组合体的高， 所以，为直角三角形，由勾股定理可得： . 故答案为：，. 3．（25-26高三上·山东日照·月考）如图，一个三棱柱容器中盛有水，若底面水平放置时，水面高为3，那么当侧面水平放置时，水面恰好经过，，，的中点，则（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先求出水的体积，再得到四边形的面积，根据水的体积得到方程，求出答案. 【详解】水的体积， 又分别为，的中点， 故四边形的面积为， 故， 又，所以，解得. 故选：C 4．（2025高二·上海·专题练习）如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该球的体积与圆台的体积之比为 . 【答案】 【分析】由题意得，均为圆的切点，所以，过作于点，则，，则球的半径，利用球的体积与圆台的体积公式即可得解. 【详解】过作于点，如图： 则，. 由题意得，均为圆的切点， 由切线的性质可知 所以. 则，所以,所以球的半径， 所以，， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高三上·广东广州·月考）如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为    【答案】/ 【分析】由已知可得出圆锥的母线，进而根据圆锥、圆台的轴截面，即可得出答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，设圆台的上底面半径为，母线长为，则， 由已知可得，所以，如图，作出圆锥、圆台的轴截面，    则有，所以，故圆台的则面积为. 故答案为： 6．（25-26高二上·广东肇庆·期中）将一个上底为2，下底为5，高为4的直角梯形绕着直角腰旋转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（   ） A．14π B．21π C．28π D．35π 【答案】D 【分析】根据已知确定几何体为圆台，再应用圆台的侧面积求法求几何体侧面积. 【详解】由题意，所得几何体上底是半径为2的圆，下底是半径为5的圆，高为4的圆台， 所以母线长，几何体的侧面积为. 故选：D 735．（24-25高一上·山东青岛·月考）如图，一个盛满水的可以转动的三棱锥容器，三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且知道，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的 . 【答案】 【分析】要使容器盛水最多，水面只能与平面平行，所以所装水体积就是几何体的体积，结合棱锥的性质得出. 【详解】如图，因，则，又因为， 得与相似，所以， 设点到平面的距离分别为，则. 要使容器盛水最多，水面只能与平面平行， 所以所装水体积就是几何体的体积. 所以， 得 故答案为：. 7．（2026·江西九江·一模）圆台的母线长为分别为上､下底面的直径，且.设四面体外接球的表面积为，圆台的表面积为，则（    ） （附：圆台的侧面积公式 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题给出的公式，圆台的表面积可以由侧面积加上下两个圆的面积求出，再由四面体的外接球即为圆台的外接球，计算出外接球半径即可求出. 【详解】    设圆台的上､下底面的半径分别为，母线， ， 由题意可知圆台的表面积为， 如图四面体的外接球即为圆台的外接球， 设外接球的球心为，半径为， 圆台的高， 设到上底面的距离为，到下底面的距离为 由外接球性质，， 则， ， 联立解得， 故， 即， 所以， 所以. 故选：C. 8．（2025高三·全国·专题练习）已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 . 【答案】 【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解. 【详解】由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 故答案为：. 9．（2025·河南·模拟预测）我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”，已知三棱锥中，，、、分别在棱、、上，且截面与底面平行，，则三棱锥与三棱锥的相对积之比为 ． 【答案】 【分析】根据相似锥体的体积比是边长比的立方，表面积比为边长的平方比，结合“相对积”的定义求解即可. 【详解】设三棱锥、三棱锥的体积分别为，表面积分别为， 因为，，、、分别在棱、、上， 且截面与底面平行，所以两个棱锥相似， 所以，， 则三棱锥与三棱锥的相对积之比为. 故答案为：. 10．（25-26高三上·河南商丘·期末）某圆锥的侧面积与底面积之比为2，则该圆锥外接球的表面积与圆锥的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据圆锥的面积公式及题意可得，圆锥的高，进而结合勾股定理可得圆锥外接球半径，进而求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据题意，得，所以， 则圆锥的高，因为圆锥外接球的球心在圆锥的高上，设圆锥外接球半径为， 则，解得， 则圆锥外接球的表面积为 圆锥的表面积为， 所以圆锥外接球的表面积与圆锥的表面积之比为. 故选：D. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $