考点01 复数常考题型归纳（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

考点01 复数常考题型归纳 考点一：复数的概念 1、叫虚数单位，满足，当时，． 2、形如的数叫复数，记作． 复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． 3、复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数 4、复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 考点二：复数的四则运算 1、 复数的加法与减法 设, 是任意两个复数，那么 复数的加法：. 复数的减法：. 由此可见，两个复数相加（相减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（相减）。 2、 复数的加法满足的运算律 交换律 结合律 3、 复数的乘法与除法 设, 是任意两个复数，那么 复数的乘法：. 复数的除法：. 4、 复数的乘法满足的运算律 交换律 结合律 分配律 5、 复数的乘方 在复数范围内，正整数指数幂的运算律成立() 6、 的乘方的周期性 虚数单位的乘方有周期性， 考点三： 共轭复数的性质 1、 定义：把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。如果复数,那么它的共轭复数为 2、 共轭复数的一些性质： (1)；； (2)若,则z为实数，反之也成立 (3) 若则z为纯虚数或者0 (4) 考点四： 复数范围内方程的解 若一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实根； 当时，方程有两个相等的实根； 当时，方程有两个虚根，且两个虚数根互为共轭复数. 复数的实部与虚部 复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． 虚部指的是虚数单位前面的系数，不包含 1．（25-26高三上·贵州遵义·月考）设为虚数单位，复数的虚部是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接利用虚部的概念求解即可. 【详解】根据虚部的概念知，复数的虚部是. 故选：A 2．（25-26高二上·贵州·期中）复数的虚部为（   ） A．2025 B． C．1121 D．1120 【答案】D 【分析】由虚部的概念即可求解. 【详解】由可知，虚部为1120. 故选：D 3．（25-26高二上·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果. 【详解】易知复数的实部为，虚部为； 所以，解得. 故选：B 4．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】直接根据复数的概念可得. 【详解】由复数的实部与复数的虚部相等，且为实数，所以. 故选：D. 5．（25-26高三上·贵州·月考）若复数的虚部是实部的3倍，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据实部和虚部的关系列方程，化简求得的值. 【详解】因为的虚部是实部的3倍，所以，解得. 故答案为： 复数的类型 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数 了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件，之间关系。 1．（25-26高二上·江苏扬州·期末）已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列出等式，然后计算即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由纯虚数的定义，结合充要条件的定义即可判断。 【详解】当时，复数为纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得； 综上，p为q的充要条件. 故选：C 3．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D．或1 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列方程求解即可. 【详解】依题意，，解得． 故选：B． 4．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知是纯虚数，则实数的值为（    ） A．-1或3 B．1或3 C．-1 D．3 【答案】D 【分析】由纯虚数定义结合题意可得答案. 【详解】由题意可知解得. 故选：D. 5．（2025高二上·辽宁营口·学业考试）若复数是纯虚数，则实数（   ） A．2或3 B．3 C．2 D．0 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念即可求解. 【详解】由题意，得，解得. 故选：C. 根据复数相等求参 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等当且仅当且，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小。 1．（2025·河北邢台·三模）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数相等的概念可得. 【详解】由题意得，，解得，所以. 故选：C 2．（25-26高三上·河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数相等的性质列等式运算即可. 【详解】由题得解得所以. 故选：. 3．（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，再根据复数的运算及相等的条件求解即可. 【详解】设， 则， ，即， 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用交集的结果，结合复数相等求出值，验证即得. 【详解】由集合，，且， 得，因此，所以， 当时，，因，故，符合题意. 故选：C 5．（2025高一·全国·专题练习）满足的有序实数对有 组. 【答案】四 【分析】分别令，可得答案. 【详解】由，，解得或，或， 可得，或，或，或. 所以共有四组实数对. 故答案为：四. 复数的模 复数的模的几何意义：若复数对应平面上的点，则复数的模则表示点到原点的距离。若模长为定值（大于0），则复数对应的点的轨迹为圆。 理解复数的模的几何意义，将代数问题转化成几何问题解决，利用数形结合思想。 1．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）设复数，且，则（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合复数的模长公式运算求解即可. 【详解】因为复数， 则，解得. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏扬州·期末）若复数满足，则|z|的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模长的几何意义可求答案. 【详解】由题意的几何意义为复数对应复平面内的点到点的距离为3， 点到原点的距离为， 所以的最大值为. 故选：D    3．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用复数模的三角不等式可求得的取值范围. 【详解】因为复数的模长， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立； ， 当且仅当时，等号成立， 因此的取值范围是. 故答案为：. 4．（2025高一·全国·专题练习）若对一切，复数的模不超过2，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由复数的模转化为，再得解得. 【详解】由， 可得， 因此，所以， 即，则， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用复数模的意义求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】依题意，，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 复数对应平面上的点 复数对应的点( 第一象限： 且 第二象限： 且 第三象限： 且  第四象限： 且 坐标轴上：  或（单独讨论，不属任何象限）。 将复数问题转化为点的横纵坐标（实部与虚部）的符号条件，解参数不等式。注意点在坐标轴上的讨论。 1．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）已知复数在复平面上对应的点在上，则实数 . 【答案】2 【分析】根据复数的几何意义得点的坐标，代入直线方程中即可求解. 【详解】解：复数在复平面上对应的点,， 依题意，，所以，结合，得． 故答案为：2． 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义及复数模计算即可. 【详解】由复数的几何意义可知，， 所以，. 故选：A 3．（25-26高三上·广西柳州·月考）在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的对称性得出复数对应点进而得出复数. 【详解】在复平面内，对应的点关于实轴对称点为，则. 故选：B. 4．（25-26高三上·山东青岛·月考）已知在复平面内对应的点的横坐标为3，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法将整理为，则在复平面内对应的点为，故有，解出的值即可. 【详解】， ， 在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点的横坐标为3， ，. 故选：A. 4．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为 ； 【答案】. 【分析】应用复数的几何意义得出不等关系，再应用对数运算计算求解. 【详解】因为复数在复平面内的对应点在第三象限， 则，所以 则x的取值集合为； 故答案为：. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知复数满足，且所对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】依题意，化简得，再根据所对应的点在第二象限，列不等式求解即可. 【详解】由，即， 由于对应的点在第二象限，，解得 又， ，即． 又． 复数的概念综合 复数的常考问题： 1、虚部是个实数，它不包含虚数单位 2、实数、虚数、纯虚数的概念，对应的复数的实部跟虚部的条件，对应平面坐标的点。 3、共轭虚数的特征、性质。 4、模长的概念，模长可以比较大小，但是复数不可以。 注意概念中容易出错的点。 1．（多选）（25-26高三上·安徽·月考）已知复数，则（    ） A．不可能为实数 B．不可能为纯虚数 C．在复平面内表示的点不可能在第一象限 D．恒成立 【答案】BCD 【分析】A：考虑且时的情况；B：计算出的范围并判断；C：根据的范围作出判断；D：计算出的范围，则的范围可知. 【详解】选项A：当且时，为实数，故A错误； 选项B：因为，所以，所以的实部不为，所以不可能为纯虚数，故B正确； 选项C：因为，所以在复平面内表示的点在虚轴的左侧，故C正确； 选项D：因为，所以， 又因为，所以， 所以，故D正确； 故选：BCD. 2．（多选）（2026·安徽芜湖·一模）（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 【答案】AD 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】由题意可得， 所以的实部为，虚部为，， 复数对应的点为，在第一象限， 故选：AD 3．（多选）（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上 C．若复数z满足，则复数z的虚部为 D．若，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BC 【分析】根据复数的性质逐一判断选项. 【详解】对于A，复数无法比大小，复数的模可以比大小，A选项错误； 对于B，纯虚数时，在复平面内对应的点在虚轴上，B选项正确； 对于C，，则， 复数的虚部为，C选项正确； 对于D，， 即复数在复平面内对应的点所构成的图形是一个半径为的圆， 则圆的面积，D选项错误. 故选：BC 4．（多选）（25-26高一上·四川成都·月考）已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（　　） A．z的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BD 【分析】先将的分母实数化，再求出的共轭复数，虚部，模长，点的坐标. 【详解】， ，故选项A错误；的虚部为，故选项B正确； ，故选项C错误； 在复平面内对应的点为，在第一象限，故选项D正确. 故选：BD. 5．（多选）（24-25高一下·青海海南·期末）已知复数，则下列结论正确的是（   ） A．的实部是 B．的虚部为 C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限 【答案】BD 【分析】复数的乘法运算可得，从而可求其实部与虚部，可对A、B判断；可求其模对C判断；利用复数的几何意义可对D判断； 【详解】由题意可得， A、B：的实部为7，虚部为，故A错误、B正确； C：，故C错误； D：在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确. 故选：BD. 复数的四则运算 1、两个复数相加（相减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（相减）。 2、复数的乘法满足的运算律 3、在复数范围内，正整数指数幂的运算律成立 1、两个复数的和（差）仍是一个复数，复数的减法是加法的逆运算。 2、两个复数的积仍是一个复数。两个复数的商（除数不为0）也是复数 1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知为虚数单位，为复数的共轭复数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由复数除法运算求出即可由共轭复数定义得解. 【详解】由题， 所以. 故选：C 2．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知复数在复平面上所对应的点位于第二象限，且满足，若复数，且为纯虚数，则= ． 【答案】 【分析】利用待定系数法，设，根据题意列出相关方程即可求出答案. 【详解】设， 由题意得，且为纯虚数，则，解得， 代入，解得， 又因为复数在复平面上所对应的点位于第二象限，则，则， 所以. 故答案为：. 3．（多选）（25-26高三上·河南商丘·期末）已知复数满足，则（   ） A．的实部是 B．的虚部是 C． D．在复平面内所对应的点位于第二象限 【答案】AD 【分析】根据复数除法运算可化简得到，由共轭复数、复数的实部和虚部定义、复数模长运算与几何意义依次判断各个选项即可. 【详解】； 对于A，由实部定义知：的实部为，A正确； 对于B，，的虚部是，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，对应的点为，位于第二象限，D正确. 故选：AD. 4．（25-26高三上·河南信阳·期末）设复数，则复数z的虚部为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘方和复数的除法运算法则即可得到答案. 【详解】由题意，得 ．所以 的虚部为． 故选：B． 5．（湖北省黄石市2026届高三上学期期末数学试题）若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的乘方运算化简，再由复数除法求出，根据虚部的概念求解. 【详解】由题，复数，所以， 所以的虚部为， 故选：C. 共轭复数的特征 (1)；； (2)若,则z为实数，反之也成立 (3) 若则z为纯虚数或者0 (4) 共轭复数在复数中是常考内容 1．（多选）（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知虚部不为的复数互为共轭复数，则（   ） A．是实数 B．是纯虚数 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据共轭复数的定义，设，，然后根据复数的运算，逐个选项判断即可. 【详解】由题设，， 则，故A，B正确； 又，C选项错误； 又，D选项正确. 故选：ABD 2．（多选）（25-26高三上·江苏无锡·期末）设，是共轭复数，则下列运算结果一定是实数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用复数及共轭复数的定义和性质，运用复数的加减、乘除法运算规则计算求解． 【详解】设，则其共轭复数， ，当时为纯虚数，不一定是实数，故A错误； ，是实数，故B正确； ，当时，虚部，不一定是实数，故C错误； ，是实数，故D正确． 故选：BD． 3．（25-26高二上·上海·期末）设，则“”是“是实数”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【分析】根据复数与共轭复数及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】设复数，则它的共轭复数. 若，则，化简得，所以，此时，是实数. 所以“”能推出“是实数”，充分性成立. 若是实数，则，此时，，所以. 所以 “是实数”能推出“”，必要性成立. 故“”是“是实数”的充分必要条件. 故选：C. 4．（25-26高一上·广东广州·期末）若复数满足，则共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算法则与共轭复数的定义求出复数和共轭复数，结合复数的几何意义即可判断. 【详解】由，得，所以； 所以，所以在复平面内对应的点，所以在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 5．（2026·四川攀枝花·一模）设复数z满足（i为虚数单位），记为z的共轭复数，则（   ） A． B．复数z的虚部为 C． D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 【答案】AC 【分析】由已知计算出，根据复数模的计算公式求解判断A，根据复数的概念判断B，根据复数的加法和乘法计算判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】因为，所以， 对于A：，A正确； 对于B：因为复数，所以复数的虚部为，B错误； 对于C：因为，所以，所以， 又，所以，C正确； 对于D：因为复数，所以复数在复平面内对应的点坐标为，在 第四象限，D错误； 故选：AC. 复数范围内方程的根 无论是实根还是虚根，方程的两个根都满足。 当时，方程有两个虚根，且两个虚数根互为共轭复数. 1．（多选）（25-26高三·全国·假期作业）已知，关于x的方程有一个根为，i为虚数单位，另一个根为z，则（    ） A．该方程不存在实数根 B．， C．在复平面内对应的点在第四象限 D． 【答案】ABD 【分析】根据相等复数求得，即可判断B；根据计算即可判断A；根据韦达定理求出，结合共轭复数的概念和几何意义即可判断C；根据复数的乘、除法运算即可判断D． 【详解】，关于的方程有一个根为， 得， 整理得，因此，解得， 所以方程为，故B正确； 对于A，根据方程，可得， 所以方程无实数根，故A正确； 对于C，D，方程，由韦达定理可知，得， ,对应的点为，在第一象限． ， 所以，故C错误，D正确． 故选：ABD． 2．（多选）（25-26高三上·河北·期中）已知是关于的方程的根（其中，为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B． C．方程可能只有这一个根 D．设方程的另一根为，则 【答案】AD 【分析】根据复数相等的概念解方程即可判断AB，根据共轭复数也是对应的方程的根判断CD. 【详解】由于是关于的方程的根， 所以，即， 因为， 所以，解得，故A正确，B错误； 所以关于的方程 将代入上述方程得：， 即也是关于的方程的根，故C错误； 所以， 则，故D正确； 故选：AD 3．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是方程的根，代入方程求解即可. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，所以，解得， 故选：C 4．（25-26高三上·上海金山·月考）设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（   ） A．0 B．-1 C．-2 D．1 【答案】A 【分析】由题意，设，则，根据复数的运算法则，可得，，根据是实数，结合复数的除法法则，化简可得，化简整理，代入所求，即可得答案. 【详解】由题意，设，则， ∴，， ∵是实数， ∴，即， ∴，， ∴，即， ∴， 故选：A 5．（25-26高三上·上海松江·期中）若复数为方程的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实系数多项式方程的共轭根定理，复数根成共轭对出现，据此即可解答． 【详解】解：∵方程的一个根是复数， ∴该方程的另一个根是其共轭复数， 故选：B． 1．（河南新乡市普通高中2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题）已知为虚数单位，复数的实部为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算结合实部的概念即可得解. 【详解】因为，所以复数的实部为． 故选：D． 2．（2026·江西萍乡·一模）已知复数，，，其中为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，进而得，再求复数的模即可. 【详解】因为复数，，所以， 所以，故，， 所以. 故选：A 3．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知复数满足，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据复数的运算结合复数相等的条件，列式即可求解. 【详解】设，则， 由，得， 则，解得，即， 所以的虚部为1. 故选：A． 4．（山东菏泽市2025-2026学年度第一学期高三期末学情检测数学试题）复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘方化简复数，结合共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为，故. 故选：C. 5．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 ． 【答案】 【分析】将代入实系数方程，结合复数运算知识可得答案. 【详解】因是关于x的实系数方程的一个复数根， 则，则. 故答案为： 6．（25-26高二上·上海·期中）若关于的方程的一个虚根的模为2，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】求出方程的根，再利用复数模的意义列式求出. 【详解】由方程，得，依题意得，即， 所以方程得两虚根为， 因为模为，所以，所以. 故答案为：2. 7．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知复数，（）， (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解； （2）利用复数的几何意义列不等式组求解； （3）将复数z对应的点的坐标代入直线方程求解. 【详解】（1）若z为纯虚数，则， 解得； （2）若复数z对应的点位于第二象限，则， 解得； （3）若复数z对应的点位于直线上，则， 解得或， 则或. 8．（2024·湖南·二模）关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（    ） A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 B． C．必为实数，必为纯虚数 D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义可判断A正确，时可排除BC，易知当一元二次方程有两实根时正确，若可得方程两根互为共轭复数，即D正确. 【详解】对于选项A，表示复数和的点关于实轴对称，故A错误： 对于选项B和选项C，当时均不成立，故BC错误； 对于选项D，若方程的可得为实数，即，符合题意； 若，则方程的两个复数根为和， 此时两根互为共轭复数，因此D正确. 故选：D 9．（多选）（25-26高三上·云南昆明·期中）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【分析】利用复数模的运算即可判断AB，利用复数的几何意义即可判断CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为当时，满足，故B错误； 对于C，因点的坐标为，则，，则对应的点在第三象限，故C正确； 对于D，由，可知点的集合所构成的图形为圆环,其面积为，故D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高三上·上海·期中）下列命题，其中正确的是 （填序号） ①已知 为实数，若 ，则 ②已知 为复数，若 ，则 ③已知 为向量，若 ，则 【答案】①③ 【分析】对于①两边平方化简即可判断，对于②设，，计算和进而判断，对于③由两边平方化简即可判断. 【详解】对于①：由两边平方有：，故①正确； 对于②：设，， 所以， 由平方得：，化简得； 又，若与不等价，故②错误； 对于③：由两边平方化简有：，故③正确. 故答案为：①③. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点01复数常考题型归纳 题型一：复数的实部与虚部 题型二：复数的类型 题型三：根据复数相等求参 考点一：复数的概念 题型四：复数的模 考点二：复数的四则运算 复数常考题型归纳 题型五：复数对应平面上的点 考点三：共轭复数的性质 题型六：复数的概念综合 考点四：复数范围内方程的解 题型七：复数的四则运算 题型八：共轭复数的特征 题型九：复数范围内方程的根 考点查缺 精准补渴 考点一：复数的概念 1、叫虚数单位，满足2=-1，当k∈Z时，=1，k+1=i,张+2=-1，k+3=-i. 2、形如a+bi(a,b∈R的数叫复数，记作a+bieC 复数z=a+b(a,b∈R)与复平面上的点Zab)一一对应，a叫z的实部，b叫z的虚部； b=0台z∈RZ点组成实轴；b≠0，z叫虚数；b≠0且a=0,z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不 包括原点)·两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数 3、复数的分类 对于复数a+bi,当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数； 当a0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数=abi可以分类如下： 复数 实数(b=0) 虚数(b≠0)（当a=0时为纯虚数） 4、 复数a+b(a,bER)的模，也就是向量O之的模，即有向线段O之的长度，其计算公式为 4=h+b=Va2+b2,显然，园=a-b=Va2+b2,zz=a2+b2 考点二：复数的四则运算 1、复数的加法与减法 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,G,d∈R是任意两个复数，那么 复数的加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c+(b+d)i 复数的减法：z1z2=(a+bi)-(c+d=(a-c+(b-d)i 由此可见，两个复数相加（相减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（相减）。 2、复数的加法满足的运算律 交换律z1+22=22+z1结合律(21十22)十23=21十(22十2 3、复数的乘法与除法 设z1=a十bi,z2=c十di(a,b,G,d∈R是任意两个复数，那么 复数的乘法：z122=(a+bic+d)=(ac-bd)+(bc+adi 复数的除法：号= (a+bi以cd) 4、复数的乘法满足的运算律 交换律2122=2221结合律(122)23=z1(Z22)分配律z1(22+z3)=2122+2123 5、复数的乘方 在复数范围内，正整数指数幂的运算律成立(z,z1Z2EC,m,n∈N z0z=zm+n(z=zmn(z122)”=zz时 6、的乘方的周期性 虚数单位的乘方有周期性，+1=i+2=-1,4+3=-i,44=1,(n=0,1,2……) 考点三：共轭复数的性质 1、定义：把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。如果复数z=a十bi,那么它的共轭 复数为z=a-bi 2、共轭复数的一些性质： (1)(z=z:21士22=21±222122=2122 (2)若2=2，则z为实数，反之也成立 (3)若z=-Z,则z为纯虚数或者0 (4)zz=1台z=1 考点四：复数范围内方程的解 若一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0，且a,b,ceR), 当△>0时，方程有两个不相等的实根x=站Bc 2a 当△=0时，方程有两个相等的实根x=·会： 当△<0时，方程有两个虚根x=站4aB ,且两个虚数根互为共轭复数 2/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型突破 遥法接凉 1 复数的实部与虚部 点方法 复数z=a+b(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)一一对应，a叫z的实部，b叫z的虚部； b=0台z∈RZ点组成实轴；b≠0，z叫虚数；b≠0且a=0,z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴 (不包括原点)·两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数. 辩易精 虚部指的是虚数单位前面的系数，不包含 1.(25-26高三上贵州遵义月考)设i为虚数单位，复数2-6i的虚部是() A.-6 B.-6i C.2 D.-2 2.(25-26高二上贵州期中)复数z=2025+1120i的虚部为() A.2025 B.1120i C.1121 D.1120 3.(25-26高二上湖南期中)已知aeR,复数2a+5+(5-a)i的实部是虚部的3倍，则a=() A.-2 B.2 C.1 D.-1 4.（25-26高二上·江苏扬州月考)己知复数z,=1+3i的实部与复数z2=-1+ai的虚部相等，则实数☑等于() A.-3 B.3 C.-1 D.1 5.(25-26高三上贵州月考)若复数2a-1+(8-a)i的虚部是实部的3倍，则实数a= 2 复数的类型 点方法 对于复数a+bi,当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b0时，它叫做虚数；当 a=0且b0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC 复数z=a+bi可以分类如下： 实数(b=0) 复数 虚数(b≠0)（当a=0时为纯虚数） 辨》多结 了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件，之间关系。 1.(25-26高二上江苏扬州期末)已知复数m(m-2)+(m-1)(m-2)i是纯虚数，则实数m的值为（). A.0或2 B.0 C.1或2 D.1 3/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2025贵州遵义模拟预测)已知p:m=2,q:复数z=m2-4+(m+2)i〔m∈R)为纯虚数，则p是q的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(25-26高三上江西南昌期中)已知复数z=a2-1+a2-2a-3)i,其中aeR,i是虚数单位，若z为纯 虚数，则a的值为() A.-1 B.1 C.3 D.-1或1 4.(2026高二上辽宁.学业考试)已知m2-2m-3+(m+)i是纯虚数，则实数m的值为() A.-1或3 B.1或3 C.-1 D.3 5.(2025高二上辽宁营口学业考试)若复数z=m2-5m+6+m2-3m)i是纯虚数，则实数m=() A.2或3 B.3 C.2 D.0 3 根据复数相等求参 点方法 在复数集C={a+ba,b∈R中任取两个数a+bi,c+d(a,b,G,dER),我们规定：a+bi与c十di相 等当且仅当a=c且b=d,即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相 等 舞易转 实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小。 1.(2025河北邢台·三模)若a+i=b+2-ai(a,b∈R),则a+b=() A.2 B.4 C.-4 D.-2 2.(25-26高三上河南月考)设a>0,b>0,i为虚数单位，若2a+bi=b+2ai,则ab=() A.-1 B C. D.1 3.(2025山东模拟预测)若复数z满足2(z++2i=4+z-z,则z=() A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 4.(2025高三·全国专题练习)己知集合A={0,m+(m2-1)i(m∈R),B=红，-21，若A∩B={四，则() A.m=-1 B.m=0 C.m=1 D.m=2 5.(2025高一·全国专题练习)满足2x2+5x+2)+y2-y-2)i=0的有序实数对(x,y)有组 4复数的模 4/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点方法 复数的模的几何意义：若复数对应平面上的点，则复数的模则表示点到原点的距离。若模长为定值（大 于0)，则复数对应的点的轨迹为圆。 耕多猪 理解复数的模的几何意义，将代数问题转化成几何问题解决，利用数形结合思想。 1.(25-26高二上·湖南衡阳期末)设复数z=6+ai(aeR),且z=10,则a=() A.4 B.8 C.±4 D.±8 2.(25-26高二上江苏扬州期末)若复数z满足引z-1+2i=3,则z的最大值为(). A.3-5 B.3-√2 C.3+√2 D.3+V5 3.(25-26高三上江苏常州期末)已知复数z=a+bi(a,beR)的模长2=2，则z+3+4i的取值范围 为 4.(2025高一全国.专题练习)若对一切0eR,复数z=(a+cos0)+(2a-sin0)i的模不超过2，则实数a的 取值范围为 5.(24-25高一下四川德阳·期末)已知复数：z=m+i(m∈R),则“zk√10”是“m<3”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5 复数对应平面上的点 点方法 复数z=a+bi对应的点(a,b) 第一象限：a>0且b>0 第二象限：a<0且b>0 第三象限：a<0且b<0 第四象限：a>0且b<0 坐标轴上：a=0或b=0(单独讨论，不属任何象限)。 群易猪 将复数问题转化为点的横纵坐标（实部与虚部）的符号条件，解参数不等式。注意点在坐标轴上的讨论。 1.(25-26高三上·内蒙古包头·月考)已知复数z=m2-m-2+(m2-3m+2)i(m>0)在复平面上对应的点在 y=-x上，则实数n= 2.(25-26高三上河北秦皇岛月考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(5,12，则自（） 4. 5,12i B. 512i C.125i D. 125i 1313 1313 1313 1313 5/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26高三上广西柳州月考)在复平面内，复数z与1+i对应的点关于实轴对称，则？=() A.1+2i B.1-i C.-1+i D.-1-i 4.(25-26高三上山东青岛月考)已知2-2+m(meR)在复平面内对应的点的横坐标为3，则m=() 1+i A.4 B.-4 C.3 D.-3 4.(25-26高三上·上海杨浦·期中)设x∈R,若复数z=-2+il0g2x+3)在复平面内的对应点在第三象限， 则x的取值集合为 5.(2025高三·全国.专题练习)己知复数z满足zz+2i迈=3+ai(a∈R),且z所对应的点在第二象限，求实 数a的取值范围. 6 复数的概念综合 点方法 复数的常考问题： 1、虚部是个实数，它不包含虚数单位 2、实数、虚数、纯虚数的概念，对应的复数的实部跟虚部的条件，对应平面坐标的点。 3、共轭虚数的特征、性质。 4、模长的概念，模长可以比较大小，但是复数不可以。 群易猪 注意概念中容易出错的点。 1.(多选)(25-26高三上·安徽月考)已知复数z=cos0-2+(sin0-ai(a∈R),则() A.z不可能为实数 B.z不可能为纯虚数 C.z在复平面内表示的点不可能在第一象限 D.z≥1恒成立 2.(多选)(2026安徽芜湖一模)（多选》若复数z=cos兀+isin亚，则下列说法正确的有(） 6 6 A.实部为⑤ B.虚部为 cA月 D.复数z对应的点在第一象限 3.(多选)(25-26高一上·四川绵阳·期中)己知i为虚数单位，下列说法正确的是() A.若1=1+i,22=-1+i,则>z2 B.若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.若复数z满足zi+1=1-21,则复数z的虚部为-1 D.若®≤3，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为6π .多选)(25-26高一上四刀成都已知为虚数单位，复数2生}十2则以下命题为真命趣的是（一 4.7i A.z的共轭复数为二+ 55 B.z的虚部为 c.=3 D.z在复平面内对应的点在第一象限 5.(多选)(24-25高一下·青海海南期末)已知复数z=(1+2i(1-3i,则下列结论正确的是() A.z的实部是-5 B.z的虚部为-1 C.2=26 D.z在复平面内所对应的点位于第四象限 7复数的四则运算 点方法 1、两个复数相加（相减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（相减）。 2、复数的乘法满足的运算律 3、在复数范围内，正整数指数幂的运算律成立 舞易结 1、两个复数的和（差）仍是一个复数，复数的减法是加法的逆运算。 2、两个复数的积仍是一个复数。两个复数的商（除数不为0）也是复数 1.(25-26高二上贵州毕节·期末)己知i为虚数单位，≥为复数z的共轭复数，且(1+21z=4+3i,则：=（) A.-2+i B.-2-i C.2+i D.2-i 2.(25-26高三上·上海嘉定·期中)已知复数乙在复平面上所对应的点位于第二象限，且满足=√2，若 复数z2=1,且，+2为纯虚数，则z,= 3.(多选)(25-26高三上河南商丘期末)已知复数z满足z1+i)=1-3i,则() A.z的实部是-1 B.z的虚部是-2 C.2=5 D.z在复平面内所对应的点位于第二象限 7/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高三上河南信阳期末)设复数2=2+1 202， 则复数z的虚部为() A.2 B.-2 C.2i D.-2i 5.(湖北省黄石市2026届高三上学期期末数学试题)若复数z满足：=i+,则的虚部为() A.i B.1 C.-1 D.-i 8 共轭复数的特征 点方法 (1)(z)=z:21士22=名1士82：Z122=2122 (2)若z=2,则z为实数，反之也成立 (3)若z=·Z,则z为纯虚数或者0 (4)zz=1→|z=1 舞易猪 共轭复数在复数中是常考内容 1.(多选)(25-26高三上·安微阜阳·期末)已知虚部不为0的复数z1,22互为共轭复数，则() A.+2是实数 B.3-22是纯虚数 C.z=22 D.al= 2.(多选)(25-26高三上江苏无锡期末)设，32是共轭复数，则下列运算结果一定是实数的有() A.21-22 B.31z2 C. D.+项 3.(25-26高二上·上海期末)设z∈C,则“z=z”是“z是实数”的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分又不必要 4.(25-26高一上·广东广州期末)若复数z满足(1-i)z=(2-i,则共轭复数z在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.(2026四川攀枝花一模)设复数z满足i·z=1+i(i为虚数单位)，记z为z的共轭复数，则() A.22 B.复数z的虚部为-1 C.+7= D,复数z在复平面内对应的点在第一象限 9 复数范围内方程的根 8/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点方法 无论是实根还是虚根，方程的两个根都满足x1十x2=-皇，xX2=景。 舞易绪 当△<0时，方程有两个虚根x=处4a子！， 且两个虚数根互为共轭复数. 22 1.(多选)（(25-26高三全国假期作业)已知a,b∈R,关于x的方程x2+ax+b=0有一个根为1+2i,i为 虚数单位，另一个根为2，则() A.该方程不存在实数根 B.a=-2,b=5 C.z在复平面内对应的点在第四象限 D. -0 1+i2 2.(多选)(25-26高三上河北期中)己知z=1+i是关于x的方程x2+px+q=0的根（其中p,9∈R,i为 虚数单位)，则下列说法正确的是() A.p=-2 B.9=0 C.方程x2+px+g=0可能只有z这一个根 2025 D.设方程x2+px+g=0的另一根为，则 =i 、1 3.(25-26高三上·黑龙江·月考)已知a是实数，1+i是关于x的方程ax2-2x+2=0的一个根，则a=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.(25-26高三上·上海金山·月考)设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数， 是实数则4=1任}[传 X, x2（x2 A.0 B.-1 C.-2 D.1 5.(25-26高三上·上海松江·期中)若复数3+2i为方程x2+mx+n=0m,n∈R)的一个根，则该方程的另一 个根是() A.-3-2i B.3-2i C.2i-3 D.2+3i 能力经化 融汇黄通 1.河南新乡市普通高中2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题)已知1为虚数单位，复数2十的实一 部为() 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2 B.1 C.0 D.-1 2.(2026江西萍乡.一模)已知复数z1=2-i,z2=3+ai,a∈R,其中i为虚数单位，若z+z2∈R,则 2=() A.V10 B.11 C.25 D.3 3.(25-26高二上·云南昆明·期末)已知复数z满足z+2z=3-i,则z的虚部为() A.1 B.-1 C.i D.-i 4.(山东菏泽市2025-2026学年度第一学期高三期末学情检测数学试题)复数：=-2+i225的共轭复数2=（) 品29 C.-2-i D.-2+i 5.(25-26高一上四川绵阳期中)若1+√3i是关于x的实系数方程x2+bx+4=0的一个复数根，则 b= 6.(25-26高二上·上海期中)若关于x的方程x2-x+2m=0的一个虚根的模为2，则实数m的值为」 7.(25-26高二上广西钦州期中)己知复数z=m2-2m-3+m2-1i,(m∈R), (1)若z为纯虚数，求m的值； (②)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点位于直线y=2x上，求复数z 8.(2024湖南二模)关于复数z与其共轭复数z,下列结论正确的是() A.在复平面内，表示复数z和z的点关于虚轴对称 B.z·z>0 C.z+z必为实数，z-z必为纯虚数 D.若复数z为实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的一根，则z也必是该方程的根 9.(多选)(25-26高三上·云南昆明期中)设复数z在复平面内对应的点为Z,0为坐标原点，i为虚数单位， 则下列说法正确的是() A.若z=3-2i,则z=V13 B.若=1，则z=±1或z=i C.若点Z的坐标为(-1,1，则2对应的点在第三象限 D.若1≤z≤√2，则点Z的集合所构成的图形的面积为刀 10.(25-26高三上·上海期中)下列命题，其中正确的是 (填序号) ①已知y为实数，若x+y=x-y,则xy=0 ②已知xy为复数，若x+y=x-y,则xy=0 ③已知，)为向量，若民+=：-列，则元=0 10/11